শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: a³ + a²b, a²b + ab² এর ল.সা.গু কোনটি?

সমাধান:
১ম রাশি = a³ + a²b
= a²(a + b)

২য় রাশি = a²b + ab²
= ab(a + b)

∴ ল.সা.গু = a²b(a + b)

প্রশ্ন: a² + b² = 13 এবং ab = 6 হলে (b - a)² এর মান কত?

সমাধান:
(b - a)² =  b² - 2ba + a²
= a² + b² - 2ab
= 13 - (2 × 6)
= 13 - 12
= 1

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: a + b = √7 এবং b = a - √2 হলে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √7
এবং b = a - √2
⇒ a - b = √2

∴ ab = {(a + b)² - (a - b)²}/4
= {(√7)² - (√2)²}/4
= (7 - 2)/4
= 5/4

প্রশ্ন: p + q + r = 0 হলে, (1/3)(p³ + q³ + r³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + q + r = 0

এখন,
(1/3)(p³ + q³ + r³)
= (1/3)(p³ + q³ + r³ - 3pqr + 3pqr)
= (1/3)(p³ + q³ + r³ - 3pqr) + (1/3)(3pqr)
= (1/3)(p³ + q³ + r³ - 3pqr) + pqr
= (1/3){(p + q + r)(p² + q² + r² - pq - qr - rp)} + pqr [∵ a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca]
= (1/3) × 0 × (p² + q² + r² - pq - qr - rp) + pqr [∵ p + q + r = 0]
= 0 + pqr
= pqr

প্রশ্ন: a² - 4 এবং 4a² + 20a + 24 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = a² - 4
= a² - 2²
= (a + 2)(a - 2)

২য় রাশি = 4a² + 20a + 24
= 4(a² + 5a + 6)
= 4(a² + 3a + 2a + 6)
= 4{a(a + 3) + 2(a + 3)}
= 4(a + 3)(a + 2)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (a + 2)

প্রশ্ন: a + b = 4, ab = 3 হলে, (a³ + b³)² = কত?

সমাধান:
(a³ + b³)² = {(a + b)³ - 3ab(a + b)}²
= {4³ - (3 × 3 × 4)}²
= (64 - 36)²
= 28²
= 784

প্রশ্ন: p⁴ - 3p - 2 কে p + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
f(p) = p⁴ - 3p - 2
p + 1 = 0 হলে f(p) = - 1

∴ f(- 1) = (- 1)⁴ - 3(- 1) - 2
= 1 + 3 - 2
= 4 - 2
= 2

প্রশ্ন: q^{- 1} = 2 - q হলে q² + (1/q²) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
q^{- 1} = 2 - q
⇒ 1/q = 2 - q
⇒ q + (1/q) = 2

∴ q² + (1/q²) = {q + (1/q)}² - 2 ⋅ q ⋅ (1/q)
= 2² - 2
= 4 - 2
= 2

প্রশ্ন: a = √3 + √2 হলে, (a⁶ -1)/a³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a = √3 + √2
∴ (1/a) = 1/(√3 + √2)
= (√3 - √2)/(√3 + √2)(√3 - √2)
= (√3 - √2)/(3 - 2)
= √3 - √2

∴ a - (1/a) = √3 + √2 - √3 + √2 = 2√2

এখন, (a⁶ -1)/a³ = (a⁶/a³) - (1/a³)
= a³ - (1/a³)
= {a - (1/a)}³ + 3 ⋅ a ⋅ (1/a){a - (1/a)}
= (2√2)³ + 3 ⋅ 2√2
= 8 ⋅ 2√2 + 6√2
= 22√2

প্রশ্ন: p² - 4p + 3, p² + pq এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = p² - 4p + 3
= p² - 3p - p + 3
= p(p - 3) - 1(p - 3)
= (p - 3)(p - 1)

২য় রাশি = p² + pq
= p(p + q)

1 ব্যাতিত p² - 4p + 3 এবং p² + pq এর কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই।
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = 1

প্রশ্ন: y = (5x/2) + 4 এবং 15x - 2 = 40 হলে, y = ?

সমাধান:
15x - 2 =40
⇒ 15x = 42
⇒ x = 42/15

এখন,
y = [{5(42/15)}/2] + 4
= (14/2) +4
= 7 + 4
= 11

প্রশ্ন: a² - a - (x + 1)(x + 2) এর পদসংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
a² - a - (x + 1)(x + 2)
= a² - a - x² - 2x - x - 2
= a² - a - x² - 3x - 2

∴ নির্ণেয় পদসংখা = 5 টি।

প্রশ্ন: a^-1/2 = 3 - (1/a^{- 1/2}) হলে √a - (1/√a) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a^-1/2 = 3 - (1/a^{- 1/2})
⇒ 1/√a = 3 - √a
⇒ √a + (1/√a) = 3

এখন,
{√a - (1/√a)}² = {√a + (1/√a)}² - 4 ⋅ √a ⋅ (1/√a)
= 3² - 4
= 9 - 4
= 5
∴ √a - (1/√a) = √5

প্রশ্ন: p - [p - {p - (p - 1)}] = ?

সমাধান:
p - [p - {p - (p - 1)}]
= p - [p - {p - p + 1}]
= p - [p - p + p - 1]
= p - p + p - p + 1
= 1

প্রশ্ন: a, b, c ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা এবং a < b < c । সংখ্যা তিনটির সমষ্টি বিজোড় সংখ্যা হলে, কোনটি অবশ্যই সত্য?

সমাধান:
সমষ্টি বিজোড় সংখ্যা হতে হলে একটি সংখ্যা বিজোড় হতে হবে।
যেহেতু সংখ্যাত্রয় ক্রমিক ফলে ২য় টি অর্থাৎ b বিজোড় হবে সেক্ষেত্রে a, c অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: (p⁴/p²) - √5p + 1 = 0 হলে, p² + p^{- 2} = কত?

সমাধান:
(p⁴/p²) - √5p + 1 = 0
⇒ p² - √5p + 1 = 0
⇒ p² + 1 = √5p
⇒ (p²/p) + (1/p) = √5p/p
⇒ p + (1/p) = √5

এখন,
p² + p^{- 2} = p² + (1/p²)
= {p + (1/p)}² - 2 ⋅ p ⋅ (1/p)
= (√5)² - 2
= 5 - 2
= 3

প্রশ্ন: a√(0.09) = 3 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
a√(0.09) = 3
⇒ {a√(0.09)}² = 3²
⇒ a² × (.09) = 9
⇒ a² = 9/(.09)
⇒ a² = (9 × 100)/9
⇒ a² = 100
∴ a = 10

প্রশ্ন: 6 - x - (9/x) = 0 হলে x² ÷ (x² - x - 3) এর মান -

সমাধান:
6 - x - (9/x) = 0
⇒ 6 = x + (9/x)
⇒ (x² + 9)/x = 6
⇒ x² + 9 = 6x
⇒ x² - 6x + 9 = 0
⇒ x² - (2 ⋅ x ⋅ 3) + 3² = 0
⇒ (x - 3)² = 0
⇒ x - 3 = 0
⇒ x = 3

∴ x² ÷ (x² - x - 3) = 3² ÷ (3² - 3 - 3)
= 9 ÷ (9 - 6)
= 9 ÷ 3
= 3

প্রশ্ন: 9a² + 30a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
9a² + 30a
= (3a)² + 2 ⋅ 3a ⋅ 5 + 5² - 5²
= (3a + 5)² - 5²
= (3a + 5)² - 25

∴ 25 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: a = 1 + √5 হলে, a³ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 1 + √5
বা, a³ = (1 + √5)³ [ঘন করে]
= 1³ +  3 ⋅ 1² ⋅ √5 + 3 ⋅ 1 ⋅ (√5)² + (√5)³
= 1 + 3√5 + 3 ⋅ 5 + 5√5
= 1 + 3√5 + 15 + 5√5
= 16 + 8√5

∴ a³ এর মান 16 + 8√5

প্রশ্ন: a³ - 1, a³ + 1, a⁴ + a² + 1 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = a³ - 1
=(a - 1)(a² + a + 1)

২য় রাশি = a³ + 1
=(a + 1)(a² - a + 1)

৩য় রাশি = a⁴ + a² + 1
= (a²)² + 2a² + 1 - a²
= (a² + 1)² - a²
= (a² + 1 + a)(a² + 1 - a)

∴ ল.সা.গু = (a - 1)(a² + a + 1)(a + 1)(a² - a + 1)
= (a³ - 1)(a³ + 1)
= a⁶ - 1

প্রশ্ন: x, x², x(x + y) এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক কোনটি?

সমাধান:
x, x², x(x + y) এর ল.সা.গু = x²(x + y)

প্রশ্ন: x - y = 3, xy = 4 হলে, x + y = ?

সমাধান:
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
= 3² + (4 × 4)
= 9 + 16
= 25
∴ x + y = ±5

প্রশ্ন: যদি a - b = 8 এবং ab = 5 হয়, তবে a³ - b³ + 8(a + b)² এর মান কত?

সমাধান:
a³ - b³ + 8(a + b)² 
= (a - b)³ + 3ab(a - b) + 8{(a - b)² + 4ab}
= 8³ + (3 × 5 × 8) + {8 (8² + 4 × 5)}
= 512 + 120 + (8 × 84)
= 512 + 120 + 672
= 1304

প্রশ্ন: p + q = 14, pq = 45 এবং p > q হলে p - q এর মান কত?

সমাধান:
(p - q)² = (p + q)² - 4ab
= 14² - (4 × 45)
= 196 - 180
= 16
∴ p - q = √16 = 4