Math Master

দেয়া আছে,
a + b + c = 9
ab + bc + ca = 31


আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)
                      = 9² - 2 × 31 
                       = 81 - 62 
                        = 19

(2a + 1)² - 4a(2a + 1) +4a² 
ধরি,
2a + 1 =x

প্রদত্ত রাশি = (2a + 1)² - 4a(2a + 1) +4a²
                  =x² - 4ax + 4a²
                  = x² - 2.2a. x + (2a)²
                  =(x - 2a)²
                  =(2a + 1 - 2a)² 
                  = 1²
                  = 1

দেয়া আছে,
x + y = 2,
x² + y² = 4

আমরা জানি,
(x + y)²  = x² + y² + 2xy
 2² = 4 + 2xy
4 = 4 + 2xy
2xy = 0
xy = 0

 x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy (x + y)
             = 2³ - 3 . 0 . 2
             = 8 - 0 
             = 8

১ম রাশি = a³ + b³
             = (a + b)(a² - ab + b²)

২য় রাশি  =(a + b)³ 
               = (a + b)(a + b)(a + b)

৩য় রাশি = (a² - b²)
             = (a + b)(a - b)
৪র্থ রাশি = (a² − ab + b²)²
             =  (a² − ab + b²) (a² − ab + b²)

গ.সা.গু  = 1

দেয়া আছে, 
a + b + c = 0
a + b = - c

 a³ + b³ - 3abc = (a + b)³ - 3ab(a + b) - 3abc
                         = (- c)³ - 3ab(- c) - 3abc
                         = - c³ + 3abc - 3abc 
                         = - c³

দেয়া আছে,
x⁴ - 2x² - 1= 0
x⁴ - 1 = 2x²
x⁴/x² - 1/x² = 2x²/x²
x² - 1/x² = 2

{(x² - 2x + 1)/(a²- 2a + 1)} ÷ {(x -1)/(a - 1)} 
{(x² - 2x.1 + 1²)/(a²- 2a.1 + 1²)} ÷ {(x -1)/(a - 1)}
{(x -1)²/(a - 1)²} ÷ {(x -1)/(a - 1)}
{(x -1)(x -1)/(a - 1)(a - 1)} × {(a - 1)/(x -1)}
(x - 1)/(a - 1)

দেয়া আছে,
x²- 4x + 4 = 0
x² - 2 .x .2 + 2² = 0
(x - 2)² = 0
x - 2 = 0
x = 2

এখানে, 
(x⁴ + 2x² + 1)/ x² = {(x²)² + 2 .x² .1 + 1²}/x²
                             = (x² + 1)²/x²
                              = (2² + 1)²/2²
                               = (4 + 1)²/4
                               = 25/4

১ম রাশি  = x² + 3x + 2
               = x² + 2x + x + 2
               = x(x + 2) + 1 (x + 2)
               = (x + 2) (x + 1)

২য় রাশি = x² - 1
             = x² - 1²
             = (x + 1) (x - 1)

৩য় রাশি  = x² + x - 2
               = x² + 2x - x - 2
               = x(x + 2) - 1 (x + 2)
               = (x + 2)(x - 1)

নির্ণেয় ল.সা.গু = (x + 2)(x + 1)(x - 1)

দেয়া আছে,
x + 1/x = 2
y - 1/y = 3

এখন 
x² + y² +(1/x²) + (1/y²) = x² + (1/x²) + y² + (1/y²) 
                                      = {(x + 1/x)² - 2.x.1/x} + {(y - 1/y)² + 2.y.1/y }
                                      = (2² - 2) +(3² + 2)
                                      =(4 - 2) + (9 + 2)
                                      = 2 + 11
                                      = 13 

{(a - b)/a} + {(a + b)/b}
{b(a - b) + a(a + b)}/ab
(ab - b² + a² + ab)/ab
(a² + 2ab - b²)/ab

দেওয়া আছে 
 a - 1/a = - 2

এখন
∴ a⁴ + (1/a⁴) = (a²)² + (1/a²)²
                      = {a² + (1/a²)}² - 2.a².(1/a²)
                      = {a² + (1/a²)}² - 2
                       = {(a - 1/a)² + 2.a.(1/a)}² - 2
                       = {(- 2)² + 2}² - 2
                       = (4 + 2)² - 2
                       = 36 - 2
                       = 34

(x⁴y⁴ - 4)/(x²y² + 2) 
(x⁴y⁴ - 4)/(x²y² + 2) 
{(x²y²)² - 2²}/(x²y² + 2) 
(x²y² + 2) (x²y² - 2)/(x²y² + 2) 
(x²y² - 2)

   (9a² + b²)(3a + b)(3a - b) 
= (9a² + b²){(3a)² - b²}
= (9a² + b²)(9a² - b²)
= (9a²)² - (b²)²
= 81a⁴ - b⁴ 

দেয়া আছে,
y = x + z
y = 5 
x + z = 5

 xy + yz = y(x + z) = 5 × 5 = 25 

১ম রাশি = x + 5 
২য় রাশি = x² + 5x
              = x(x + 5)
৩য় রাশি = x² + 7x +10
              = x² + 2x + 5x + 10 
               = x(x + 2) + 5(x + 2)
               =(x + 2)(x + 5)

নির্ণেয় গ.সা.গু = (x + 5)

x³ + y³/(x + y) = (x + y) (x² - xy + y²)/(x+ y)
                        = (x² - xy + y²)

দেয়া আছে, 
(x + 1) = 2√x
(x + 1)/√x = 2√x/√x
x/√x + 1/√x = 2
√x + 1/√x = 2
(√x + 1/√x)² = 2²
(√x)² + (1/√x)² + 2 .√x. 1/√x = 4 
x + (1/x) + 2 = 4 
x + (1/x)  = 2
(x + 1/x)² = 2²
x² + (1/x)² + 2x.1/x = 4
x² + 1/x² + 2 = 4
x² + 1/x² = 2 

- 2a - [- 3b - {- 2a - (- a - 4b)}] 
= - 2a - [- 3b - {- 2a + a +4b}]
= - 2a - [- 3b - {- a + 4b}]
= - 2a - [- 3b + a - 4b]
= - 2a - [a - 7b]
=- 2a - a + 7b
= 7b - 3a