Math Master

প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ = (n - 2) × 180°

∴ ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণ = (6 - 2) × 180°
= 4 × 180°
= 720°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ভূমি ১৬ মিটার এবং অপর দুই বাহুর প্রতিটি ১০ মিটার । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের ভূমি = ১৬ মিটার
অপর দুই বাহুর প্রতিটি = ১০ মিটার

∴ ত্রিভুজটির পরিসীমা 2s = (১৬ + ১০ + ১০) মিটার
= ৩৬ মিটার
∴ s = (৩৬ ÷ ২) = ১৮ মিটার

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √{১৮ × (১৮ - ১৬) × (১৮ - ১০) × (১৮ - ১০)} বর্গমিটার
= √(১৮ × ২ × ৮ × ৮) বর্গমিটার
= √(৩ × ৩ × ২ × ২ × ৮ × ৮) বর্গমিটার
= (৩ × ২ × ৮) বর্গমিটার
= ৪৮ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ৭ সে.মি. ছোট, কিন্তু অতিভুজ, ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি. বড়। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজটির ভূমি = ক সে.মি.
∴ ত্রিভুজটির লম্ব = (ক - ৭) সে.মি.
এবং ত্রিভুজটির অতিভুজ = (ক + ২) সে.মি.

পীথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,
ক^২ + (ক - ৭)^২ = (ক + ২)^২
⇒ ক^২ + ক^২ - ১৪x + ৪৯ = ক^২ + ৪ক + ৪
⇒ ২ক^২ - ১৪ক + ৪৯ - ক^২ - ৪ক - ৪ = ০
⇒ ক^২ - ১৮ক + ৪৫ = ০
⇒ ক^২ - ১৫ক - ৩ক + ৪৫ = ০
⇒ ক(ক - ১৫) - ৩(ক - ৪৫) = ০
⇒ (ক - ১৫)(ক - ৩) = ০
∴ ক = ১৫ অথবা ৩

কিন্তু ক = ৩ গ্রহণযোগ্য নয় [কারণ লম্ব = (৩ - ৭) = - ৪ গ্রহণযোগ্য নয়]

∴ ত্রিভুজটির ভূমি = ১৫ সে.মি.
∴ ত্রিভুজটির অতিভুজ = (১৫ + ২) = ১৭ সে.মি.

প্রশ্ন: ∆ABC এ ∠A = 55° এবং ∠B = 75°। ∠C এর সমদ্বিখন্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA = ?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
∆ABC এ ∠A = 55° এবং ∠B = 75°
∠C = 180° - 55° - 75°
= 50°

∠C এর সমদ্বিখণ্ডক CD, AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
∴ ∠ACD= ∠BCD = 25°

এখন,
∆ACD এ ∠CAD = 55° এবং ∠ACD = 25°
∴ ∠CDA = 180° - 25° - 55° = 100°

প্রশ্ন: 24 মি পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ABCD বর্গের পরিসীমা = 24 মিটার
ABCD বর্গের বাহু = (24 ÷ 4) = 6 মিটার

যেহেতু বর্গটি অন্তর্লিখিত
∴ বৃত্তের ব্যাস = বর্গটির কর্ণ
= বাহু × √2
= 6√2 মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6√2 ÷ 2 = 3√2 মিটার

∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π (3√2)² বর্গ মিটার
= (π × 9 × 2) বর্গ মিটার
= 18π বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্ব যথাক্রমে ১২ সে.মি. ও ৫ সে.মি.। উহার অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব = 5 সে.মি.
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = 12 সে.মি.

আমরা জানি,
(অতিভুজ)² = লম্ব² + ভূমি²
⇒ (অতিভুজ)² = 5² + 12²
⇒ (অতিভুজ)² = 25 + 144
⇒ (অতিভুজ)² = 169
⇒ অতিভুজ = √169
∴ অতিভুজ = 13

∴ অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (13)² = 169 বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা ১০ মিনিটে ১০০০ বার ঘুরে ১০ কি. মি. পথ অতিক্রম করে। চাকার পরিধি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ কি. মি. = ১০০০ মিটার
∴ ১০ কি. মি. = ১০০০০ মিটার

আমরা জানি,
চাকা একবার ঘুরে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।

প্রশ্নমতে,
পরিধি × ১০০০ = ১০০০০
⇒ পরিধি = ১০০০০/১০০০
∴ পরিধি = ১০

∴ চাকার পরিধি = ১০ মিটার

প্রশ্ন: ABCD রম্বসের ∠ABC = 100° এবং কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু O। OE ⊥ AB হলে, ∠BOE = কত?

সমাধান:

একটি রম্বসের কর্ণ প্রতিটি শীর্ষ কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ BD কর্ণ ∠ABC = 100° কে সমদ্বিখণ্ডিত করে
∴ ∠ABD = ∠EBO = 100°/2 = 50°

ΔΟΒΕ এ,
∠OEB+ ∠EBO+ ∠BOE = 180°
⇒ 90° + 50° + ∠BOE = 180°
⇒ ∠BOE = 180° - 140°
∴ ∠BOE = 40°

প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় হবে-

সমাধান:
ত্রিভুজ সংক্রান্ত কিছু অনুসিদ্ধান্ত:
১. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় স্থুলকোণ হবে।
৩. সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হবে।

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২০% কমালে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত কমবে?

সমাধান:
ধরি,
ব্যাসার্ধ = ১০
তাহলে, ক্ষেত্রফল = π(১০)^২ = ১০০π

ব্যাসার্ধ ২০% কমালে নতুন ব্যাসার্ধ = ১০ - ১০ এর ২০%
= ১০ - ২
= ৮

তাহলে, নতুন ক্ষেত্রফল = π(৮)^২ = ৬৪π

∴ ক্ষেত্রফল কমে= ১০০π - ৬৪π = ৩৬π

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা কমবে = {(৩৬π/১০০)× ১০০}%
= ৩৬%

প্রশ্ন: △ABC এর AB = 25 মিটার, BC = 40 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 250 বর্গ মিটার হলে, ∠B = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
AB = 25 মিটার
BC = 40 মিটার
এবং ABC ত্রিভুজে ক্ষেত্রফল = 250 বর্গ মিটার

আমরা জানি,
একটি ত্রিভুজের সন্নিহিত বাহুদ্বয় a, b হলে এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ হলে,
ক্ষেত্রফল = (1/2)ab sinθ

∴ △ABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × AB × BC × sin ∠B
⇒ 250 = (1/2) × 25 × 40 × sin ∠B
⇒ 250 = 500 × sin ∠B
⇒ 250/500 =sin ∠B
⇒ sin ∠B = 1/2
⇒ sin ∠B = sin 30°
∴ ∠B = 30°

প্রশ্ন: রম্বসের ১টি কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০ মি. এবং অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য প্রথমটির ৩/২ গুণ হলে, রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের ১টি কর্ণের দৈর্ঘ্য = ১০ মি
অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = (১০ এর ৩/২) = ১৫ মিটার

আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ১০ × ১৫ বর্গ মি.
= ৭৫ বর্গ মি.

∴ ক্ষেত্রফল = ৭৫ বর্গ মি.।

প্রশ্ন: দুটি পূরক কোণের অনুপাত 11 : 7 হলে কোণ দুটির পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পূরক কোণের সমষ্টি = 90°

ধরি,
১ম কোণ = 11x
২য় কোণ = 7x

শর্তমতে,
11x + 7x = 90°
বা, 18x = 90°
বা, x = 90°/18
∴ x = 5°

১ম কোণ = 11 × 5° = 55°
২য় কোণ = 7 × 5°  = 35°

∴ কোণ দুটির পরিমাণ = 55°, 35°

প্রশ্ন: 6 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 10 সেমি দূরত্বের কোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত সেমি?

সমাধান:

ব্যাসার্ধ OB = 6 সেমি
কেন্দ্র হতে বিন্দু C এর দূরত্ব OC = 10 সেমি

এখানে, OB ⊥ CB

∴ OCB ত্রিভুজ এর জন্য পিথাগোরাসের সূত্র হতে পাই,
OB² + CB² = OC²
⇒ (6)² + CB² = (10)²
⇒ CB² = 100 - 36
⇒ CB² = 64
∴ CB = 8

∴ অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 8 সেমি

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৮ হলে, বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৮

আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২
= ৮(৮ - ৩)/২
= ২০ টি

প্রশ্ন: একটি ১৫ মিটার লম্বা মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত দেয়াল থেকে ১২ মিটার দূরে থাকলে, মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের কত উচ্চতায় স্পর্শ করেছে?

সমাধান:
ধরি,
মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের "ক" মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে।

দেওয়া আছে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = ১৭ মিটার
দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব = ১৫ মিটার
যেহেতু দেয়াল মাটির সাথে ৯০° কোণ উৎপন্ন করে।

∴ পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে,
(দেয়ালের উচ্চতা)^২ + (দেয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব)^২ = (মইয়ের দৈর্ঘ্য)^২
⇒ (দেয়ালের উচ্চতা)^২ + (১২)^২ = (১৫)^২
⇒ (দেয়ালের উচ্চতা)^২ + ১৪৪ = ২২৫
⇒ (দেয়ালের উচ্চতা)^২ = ২২৫ - ১৪৪
⇒ (দেয়ালের উচ্চতা)^২ = ৮১
⇒ দেয়ালের উচ্চতা = √৮১
∴ দেয়ালের উচ্চতা = ৯

∴  মইয়ের অপর প্রান্ত দেয়ালের ৯ মিটার উচ্চতায় স্পর্শ করেছে