মানসিক দক্ষতা

প্রশ্ন: চালের দাম ২৫% বেড়ে গেলে, মাসিক ব্যয় অপরিবর্তিত রেখে চালের ব্যবহার শতকরা কত কমাতে হবে?

সমাধান:
মাসিক ব্যয় অপরিবর্তিত রাখতে হলে চালের ব্যবহার কমাতে হবে।

২৫% বৃদ্ধিতে চালের বর্তমান মূল্য = (১০০ + ২৫) টাকা
= ১২৫ টাকা

বর্তমান মূল্য ১২৫ টাকা হলে পূর্ব মূল্য = ১০০ টাকা
বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্ব মূল্য = ১০০/১২৫ টাকা
∴ বর্তমান মূল্য ১০০ টাকা হলে পূর্ব মূল্য = (১০০ × ১০০)/১২৫ টাকা
= ১০,০০০/১২৫ টাকা
= ৮০ টাকা

∴ চালের ব্যবহার কমিয়েছেন = (১০০ - ৮০)%
= ২০%

প্রশ্ন: মা ও মেয়ের বয়সের যোগফল ৪৮ বছর। ৩ বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৫ : ২। মেয়ের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি, ৩ বছর আগে মায়ের বয়স = ৫ক বছর
৩ বছর আগে মেয়ের বয়স = ২ক বছর

বর্তমানে মায়ের বয়স = (৫ক + ৩) বছর
এবং মেয়ের বয়স = (২ক + ৩) বছর

প্রশ্নমতে, বর্তমানে দুজনের বয়সের যোগফল ৪৮ বছর
∴ (৫ক + ৩) + (২ক + ৩) = ৪৮
⇒ ৫ক + ২ক + ৩ + ৩ = ৪৮
⇒ ৭ক + ৬ = ৪৮
⇒ ৭ক = ৪২
⇒ ক = ৬

∴ মেয়ের বর্তমান বয়স = ২ক + ৩ = (২ × ৬) + ৩
= ১৫ বছর

প্রশ্ন: চট্টগ্রাম ও রাজশাহীর দূরত্ব ৪২০ কিমি। একটি বাস চট্টগ্রাম থেকে সকাল ৬:৩০ মিনিটে ছেড়ে বিকাল ৪:৩০ মিনিটে রাজশাহী পৌঁছালে বাসটির গড় গতিবেগ কত কিমি/ঘণ্টা?

 সমাধান:
ছাড়ার সময় = ৬:৩০
পৌঁছানোর সময় = ১৬ : ৩০ [৪:৩০ মিনিটকে ২৪ ঘন্টা ফরম্যাটে = ১৬ : ৩০]

∴ মোট সময় = ১০ ঘন্টা

গড় গতিবেগ = দূরত্ব/সময়
= ৪২০ / ১০
= ৪২ কিমি/ঘন্টা

∴ গতিবেগ ৪২ কিমি/ঘন্টা

প্রশ্ন: একটি ঘড়ি প্রতিদিন ৩৬ মিনিট সময় হারায়। কতদিন পর ঘড়িটি সঠিক সময় নির্দেশ করবে? 

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘড়ির কাঁটার সম্পূর্ণ ঘন্টা = ১২ ঘন্টা
অর্থাৎ ১২ ঘণ্টা = ১২ × ৬০ মিনিট
= ৭২০ মিনিট সময় হারালে ঘড়িটি পুনরায় সঠিক সময় নির্দেশ করবে।

এখন, ৩৬ মিনিট সময় হারায় = ১ দিনে
∴ ৭২০ মিনিট সময় হারায় = ৭২০/৩৬ দিনে
= ২০ দিনে

অতএব, ঘড়িটি ২০ দিন পর সঠিক সময় নির্দেশ করবে।

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের প্রতিকূলে ৪৮ কি.মি. পথ ১২ ঘণ্টায় অতিক্রম করেন। স্থির পানিতে একই সময়ে ২ গুণ দূরত্ব অতিক্রম করতে পারেন। স্রোতের অনুকূলে একই পথ অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার গতি = ৪৮/১২ কি.মি./ঘন্টা
= ৪ কি.মি./ঘন্টা

স্থির পানিতে নৌকার গতি = ২ × স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার গতি
= ২ × ৪
= ৮ কি.মি./ঘন্টা

নদীর স্রোতের গতি = স্থির পানিতে নৌকার গতি - স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার গতি
= ৮ - ৪ কি.মি./ঘন্টা
= ৪ কি.মি./ঘন্টা

অনুকূলের গতি = স্থির পানিতে নৌকার গতি + নদীর স্রোতের গতি
= ৮ + ৪ কি.মি./ঘন্টা
= ১২ কি.মি./ঘন্টা

একই পথ অতিক্রম করতে সময় লাগবে = ৪৮/১২ ঘন্টা
= ৪ ঘন্টা

∴ একই পথ অতিক্রম করতে সময় লাগবে ৪ ঘন্টা।

প্রশ্ন: যদি মাসের ২য় দিন সোমবার হয় তাহলে মাসের ১৮ তম দিন কী বার হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, কোনো নির্দিষ্ট দিনের সাথে ৭ দিন যোগ করলে একই বার ফিরে আসে।

মাসের ২য় দিন সোমবার হলে ,
২ + ৭ = ৯ তম,
৯ + ৭ = ১৬ তম,
১৬ + ৭ = ২৩ তম দিন গুলোও হবে সোমবার।

∴ ১৬ + ২ = ১৮ তম দিন হবে সোমবার + ২ দিন = বুধবার

প্রশ্ন: দুজন শ্রমিক একটি কাজ যথাক্রমে ৮ ও ১২ মিনিটে করতে পারে। দুজনে একত্রে কত মিনিটে শেষ করবে?

সমাধান:
প্রথম শ্রমিক একা কাজটা ৮ মিনিটে করে।
১ মিনিটে করে = ১/৮ অংশ

দ্বিতীয় শ্রমিক একা কাজটা ১২ মিনিটে করে।
১ মিনিটে করে = ১/১২ অংশ

∴ দুইজন একত্রে, ১ মিনিটে করে = (১/৮) + (১/১২) অংশ
= (৩ + ২)/২৪ অংশ
= ৫/২৪ অংশ

কাজের ৫/২৪ অংশ শেষ হয় = ১ মিনিটে

∴ কাজের ১ বা সম্পূর্ণ অংশ শেষ হয় = (২৪/৫) মিনিটে
= ৪.৮ মিনিট
= ৪ মিনিট + (০.৮ × ৬০) সেকেন্ড
= ৪ মিনিট ৪৮ সেকেন্ড

∴ দুজনে একত্রে কাজ শেষ করবে = ৪ মিনিট ৪৮ সেকেন্ড

প্রশ্ন: একটি ঘড়ির আয়নায় দেখানো সময় ৮ : ২৫ মিনিট হলে প্রকৃত সময় কত? 

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘড়ির আয়নায় দেখানো সময় এবং প্রকৃত সময়ের যোগফল সর্বদা ১২ : ০০ (অথবা ১১ : ৬০) হয়।

∴ প্রকৃত সময় = ১১ : ৬০ - আয়নার দেখা সময়
= ১১ : ৬০ - ৮ : ২৫
= ৩ : ৩৫

∴ প্রকৃত সময় হল ৩ : ৩৫ মিনিট।

প্রশ্ন: দুইটি ঘড়ি প্রতিটি ৬০০ টাকা বিক্রয়মূল্যে বিক্রি হয়েছে। একটি ২০% লাভে বিক্রি হয়েছে, অন্যটি ২৫% ক্ষতিতে বিক্রি হয়েছে। মোট কত টাকা লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
২০% লাভে ১০০ টাকার ঘড়ির বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা
৬০০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য = (৬০০ × ১০০) / ১২০ টাকা
= ৫০০ টাকা

২৫% ক্ষতিতে ১০০ টাকার ঘড়ির বিক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা
৬০০ টাকায় বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য = (৬০০ × ১০০) / ৭৫ টাকা
= ৮০০ টাকা

ঘড়ি দুইটির ক্রয়মূল্য = ৫০০ + ৮০০ = ১৩০০ টাকা
ঘড়ি দুইটির বিক্রয়মূল্য = ৬০০ + ৬০০ = ১২০০ টাকা

ক্ষতি = ১৩০০ - ১২০০ = ১০০ টাকা

∴ ক্ষতি = ১০০ টাকা

প্রশ্ন: ঘড়িতে যখন ৪ টা ১৫ মিনিট বাজে তখন ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত ডিগ্রী হবে?

সমাধান:
এখানে, ঘন্টা, H = ৪ এবং মিনিট, M = ১৫ 

মধ্যবর্তী কোণ = |(১১M - ৬০H)/২|
= |(১১ × ১৫ - ৬০ × ৪)/২|
= |(১৬৫ - ২৪০)/২|
= |- ৭৫/২| 
= |- ৩৭.৫|
= ৩৭.৫°

প্রশ্ন: ২০২২ সালের ১৯ আগষ্ট শুক্রবার ছিল। ঐ বছরের ১লা অক্টোবর কী বার ছিল?
​
সমাধান:
আগষ্ট মাস = ৩১ দিন 
​সেপ্টেম্বর মাস = ৩০ দিন
১৯ আগষ্ট থেকে ১ লা অক্টোবর পর্যন্ত মোট দিন, (৩১ - ১৯) + ৩০ + ১ দিন 
​= (১২ + ৩১) দিন 
​= ৪৩ দিন
​
এখন, ৪৩ + ৭ = ভাগফল ৬, ভাগশেষ ১
​
যেহেতু ভাগশেষ ১ তাহলে ১লা অক্টোবর হবে শুক্রবার + ১ দিন অর্থাৎ, শনিবার।

প্রশ্ন: ১০ জন লোক একটি কাজ ১৫ দিনে করতে পারে। কাজটি ৫ দিনে করতে হলে অতিরিক্ত কতজন লোক প্রয়োজন হবে?

সমাধান:
কাজটি ১৫ দিনে সম্পন্ন করতে লোক লাগে ১০ জন
∴ কাজটি ১ দিনে সম্পন্ন করতে লোক লাগে (১০ × ১৫) জন
∴ কাজটি ৫ দিনে সম্পন্ন করতে লোক লাগে (১০ × ১৫)/৫ জন
= ১৫০/৫ জন
= ৩০ জন

অতিরিক্ত লোক প্রয়োজন হবে = ৩০ - ১০ = ২০ জন

∴ কাজটি ৫ দিনে করতে ২০ জন অতিরিক্ত লোক প্রয়োজন হবে।

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে কয়টি ত্রিভুজ আছে?


সমাধান:

চিত্র হতে পাই ত্রিভুজগুলো হল:
একক ত্রিভুজ আছে = AOP, BOP, BOC, COQ, DOQ, AOD = ৬ টি
ভিতরে একটি করে লাইন আছে এমন ত্রিভুজ = AOB, COD = ২ টি
ভিতরে দুইটি করে লাইন আছে এমন ত্রিভুজ = ABC, ACD, ABD, BCD = ৪ টি

∴ মোট ত্রিভুজ সংখ্যা = (৬ + ২ + ৪) টি = ১২ টি

প্রশ্ন: ২০০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ৫৫০ মিটার লম্বা একটি সেতু অতিক্রম করবে। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় ৬০ কি.মি হলে, সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?

সমাধান:
সেতুসহ ট্রেনের মোট দৈর্ঘ্য = (৫৫০ + ২০০) মিটার = ৭৫০ মিটার
ট্রেনটিকে সেতু অতিক্রম করতে সেতুর দৈর্ঘ্য ও ট্রেনের নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।

আমরা জানি, ১ কি.মি = ১০০০ মিটার
∴ ৬০ কি.মি = ৬০,০০০ মিটার

এবং ১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড
∴ ৬০ মিনিট = (৬০ × ৬০) সেকেন্ড = ৩৬০০ সেকেন্ড

এখন, ৬০,০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে
∴ ১ মিটার যায় = ৩৬০০/৬০,০০০ সেকেন্ডে
∴ ৭৫০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ৭৫০)/৬০,০০০ সেকেন্ডে
= ৪৫ সেকেন্ডে

∴ সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির সময় লাগবে = ৪৫ সেকেন্ড।

প্রশ্ন: চারজন বন্ধু বেঞ্চে বসে আছে। হাসানের ডানে করিম আর বামে রবিন। করিম ও হাসানের মাঝে তামিম বসে আছে। তাহলে ডান দিক থেকে দ্বিতীয় জন কে?

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্য থেকে একটি ক্রম তৈরি করি,

হাসানের ডানে করিম এবং তাদের মাঝে তামিম,
অর্থাৎ:
হাসান - তামিম - করিম

আবার, হাসানের বামে রবিন।
তাহলে সম্পূর্ণ ক্রমটি দাঁড়ায়:
রবিন - হাসান - তামিম - করিম

বেঞ্চে ডান দিক থেকে গণনা করলে,
ডান দিক থেকে দ্বিতীয় জন হচ্ছে তামিম।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 20% বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল শতকরা কতটুকু বৃদ্ধি পায়?

সমাধান:
ধরি, ব্যাসার্ধ r একক।
ক্ষেত্রফল, A = πr² বর্গএকক।

ব্যাসার্ধ r এর 20% বৃদ্ধি পেলে নতুন ব্যাসার্ধ, r₁ = r × (1 + 20/100)
= r × (1 + 0.20)
= 1.2r একক।

তাহলে,
নতুন ক্ষেত্রফল, A₁ = πr₁² বর্গএকক
= π(1.2r)²
= 1.44πr² বর্গএকক।

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির পরিমাণ
= (1.44πr² - πr²)
= 0.44πr² বর্গএকক।

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার = (বৃদ্ধির পরিমাণ/ প্রাথমিক ক্ষেত্রফল) × 100%
= (0.44πr²/πr²) × 100%
= 0.44 × 100%
= 44%।

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার = 44%

প্রশ্ন: একজন দোকানদার প্রতি ডজন কলম ৬০ টাকা দরে ক্রয় করে প্রতি ৩ ডজন ২১৬ টাকা দরে বিক্রয় করলে তার শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
১ ডজন কলমের ক্রয়মূল্য ৬০ টাকা
∴ ৩ ডজন কলমের ক্রয়মূল্য = ৬০ × ৩ টাকা = ১৮০ টাকা।

দেওয়া আছে,
৩ ডজন কলমের বিক্রয়মূল্য = ২১৬ টাকা
যেহেতু কলমের ক্রয়মূল্য থেকে বিক্রয়মূল্য বেশি, সুতরাং লাভ হবে।

∴ লাভ = (২১৬ - ১৮০) টাকা = ৩৬ টাকা।

এখন, ১৮০ টাকায় লাভ হয় = ৩৬ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ৩৬/১৮০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (৩৬ × ১০০)/১৮০ টাকা 
= ২০ টাকা।

অর্থাৎ লাভের পরিমাণ = ২০%