ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: 2(a² + b²) = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
a² + b² = (a + b)² - 2ab
বা, a² + b² = (a - b)² + 2ab
বা, a² + b² = {(a + b)² + (a - b)²}/2
বা, 2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)² 

∴ 2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)² 

প্রশ্ন: 3x³ + 2x² - 21x - 20 রাশির একটি উৎপাদক হচ্ছে -

সমাধান:
ধরি, 
P(x) = 3x³ + 2x² - 21x - 20

এখানে,
P(-1) = 3(-1)³ + 2(-1)² - 21. (-1) - 20
= -3 + 2 + 21 - 20 
= 23 - 23 
= 0

∴ (x + 1), P(x) এর একটি উৎপাদক। 

প্রশ্ন: x + (1/x) = 5 হলে, x/(x² + x + 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 5
বা, x² +1 = 5x

এখন, 
 x/(x² + x + 1)
= x/(x² + 1 + x)
= x/(5x + x)
= x/6x 
= 1/6

প্রশ্ন: a³ - 21a - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক হবে নিচের কোনটি?

সমাধান:
a³ - 21a - 20
= a³ + a² - a² - a - 20a -20
= a²(a +1) - a (a + 1) - 20 (a + 1)
= (a + 1) (a² - a - 20) 
= (a + 1) (a² - 5a + 4a - 20)
= (a +1) {a (a - 5) + 4 (a - 5)}
= (a +1) (a - 5) (a + 4)

প্রশ্ন: x³ - 7x - 6 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
 x³ - 7x - 6
= x³ + x² - x² - x - 6x - 6
= x² (x + 1) -x (x + 1) -6 (x + 1) 
= (x + 1) (x² - x - 6)
= (x + 1) (x² - 3x + 2x - 6)
= (x + 1) {x (x - 3) + 2 (x -3)}
= (x + 1) (x - 3) (x + 2)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x + 1) (x + 2) (x - 3) ।

প্রশ্ন: x + y = 2 এবং x² + y² = 4 হলে, x³ + y³ এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 x² + y² = 4
বা, (x + y)² - 2xy = 4
বা, (2)² - 2xy = 4
বা, 2xy = 0 
∴ xy = 0

এখন,
x³ + y³
= (x + y)³ - 3.x.y (x +y) 
= (2)³ - 3.0.2 
= 8 - 0 
= 8

প্রশ্ন: x² - 2ax + (a + b)(a - b) এর উৎপাদক বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
 x² - 2ax + (a + b)(a - b)
= x² - 2ax + a² - b²
= (x - a)² - b²
= (x - a - b)(x - a + b)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x - a - b)(x - a + b) 

প্রশ্ন: x + (1/x) = 2 হলে, x⁵ + (1/x⁵) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x + (1/x) = 2
বা, (x² + 1)/x = 2
বা, x² + 1 = 2x
বা, x² - 2x + 1 = 0
বা, (x - 1)² = 0
বা, x - 1 = 0 
∴ x = 1

এখন, 
x⁵ + (1/x⁵)
= (1)⁵ + {1/(1)⁵}
= 1 + (1/1)
= 1 + 1 
= 2 

প্রশ্ন: x² - 1 - y (y - 2) এর উৎপাদক কত?

সমাধান: 
x² - 1 - y (y - 2)
= x² - 1 - y² + 2y 
= x² - (y² - 2y + 1) 
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1) (x - y + 1)

প্রশ্ন: x² + 7x + P যদি x - 5 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে P এর মান কত হবে?

সমাধান:
x² + 7x + P যদি x -5 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে f(5) = 0 হবে। 
∴ x² + 7x + P = 0 
বা, (5)² + 7.5 + P = 0 
বা, 25 + 35 + P = 0 
বা, 60 + P = 0 
∴ P = - 60

∴ P এর মান = - 60.0।

প্রশ্ন: 4x² - 13x - 12 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
4x² - 13x - 12
= 4x² - 16x + 3x - 12
= 4x (x - 4) +3 (x - 4) 
= (x - 4) (4x + 3)

প্রশ্ন: m² + 8m + 15 এর উৎপাদক - 

সমাধান:
m² + 8m + 15
= m² + 5m + 3m + 15 
= m (m + 5) +3 (m + 5) 
= (m + 5) (m + 3)

প্রশ্ন: 9x² + 16y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
মনে করি, 
a যোগ করতে হবে 
9x² + 16y² + a
= (3x)² + (4y)² + 2.3x.4y
= (3x)² + (4y)² + 24xy 
∴ a = 24xy 

∴ 24xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

প্রশ্ন: x⁴ + x² + 1 এর একটি উৎপাদক x² + x + 1 হলে অপরটি কত?

সমাধান:
 x⁴ + x² + 1
= x⁴ + 2x² + 1 - x² 
= {(x²)² + 2. x² .1 + (1)²} - (x)² 
= (x² + 1)² - x² 
= (x² + 1 + x) (x² + 1 - x) 
= (x² + x + 1) (x² - x + 1)

প্রশ্ন: x + y = 17 এবং xy = 60 হলে x - y = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + y = 17 এবং
xy = 60

আমরা জানি, 
(x - y)² = (x + y)² - 4xy 
বা, (x - y)² = (17)² - 4 × 60 
বা, (x - y)² = 289 - 240
বা, (x - y)² = 49 
বা, x - y = √49 
∴ x - y = 7 

প্রশ্ন: a³ + 1 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
 a³ + 1
= (a)³ + (1)³ 
= (a + 1) {(a)² - a × 1 + (1)²}
= (a + 1) (a² - a + 1)

প্রশ্ন: x³ - 7x² + 12x = কত?

সমাধান: 
x³ - 7x² + 12x
= x(x² - 7x + 12)
= x(x² - 3x - 4x + 12)
= x{x(x - 3) - 4 (x - 3)}
= x(x - 3)(x - 4)