প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: 60° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে- 

সমাধান: 
রেডিয়ান:
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে।

আমরা জানি 
90° = π/2 রেডিয়ান 
1° = (π/2) × 90 রেডিয়ান 
60° = 60π/(2 × 90) রেডিয়ান 
        = π/3 রেডিয়ান

প্রশ্ন: sec²θ + tan²θ = 1/5 হলে  sec⁴θ - tan⁴θ এর মান কত? 

সমাধান: 
sec²θ + tan²θ = 1/5

sec⁴θ - tan⁴θ = (sec²θ)² - (tan²θ)²
=  (sec²θ + tan²θ)(sec²θ - tan²θ)
= (1/5) ×  1
= 1/5 

প্রশ্ন: 3cotA = 4 হলে sinA এর মান কত? 

সমাধান: 
3cotA = 4
cotA = 4/3

cotA = ভূমি/লম্ব
ভূমি = 4, লম্ব = 3

আমরা জানি,
(অতিভুজ)² = ভূমি² + লম্ব²
(অতিভুজ)² = 4² + 3² 
(অতিভুজ)² = 16 + 9
(অতিভুজ)² = 25
(অতিভুজ)² = 5² 
(অতিভুজ) = 5 

sinA  = 3/5

  = কত ? 

সমাধানঃ 
(1/sin²A) - (1/tan²A)
= coesc²A - cot²A
= 1

প্রশ্ন: secA + tanA = x হলে secA এর মান কত? 

সমাধান: 
secA + tanA = x.............(1)
1/(secA + tanA) = 1/x
(sec²A - tan²A)/(secA + tanA) = 1/x
(secA - tanA)(secA + tanA)/(secA + tanA) = 1/x
secA - tanA = 1/x.............(2)

(1) + (2) ⇒
secA + tanA  + secA - tanA  = x + 1/x
2secA = (x² + 1)/x
secA = (x² + 1)/2x

প্রশ্ন: (cosB - sinB)² + (cosB + sinB)² = কত? 

সমাধান: 
(cosB - sinB)² + (cosB + sinB)²
= 2(cos²B + sin²B)
= 2 × 1 
= 2

প্রশ্ন: 7sin²θ + 3cos²θ = 4 হলে tanθ এর মান  কত? 

সমাধান: 
7sin²θ + 3cos²θ = 4
7sin²θ + 3(1 - sin²θ) = 4
7sin²θ + 3 - 3sin²θ = 4
4sin²θ = 4 - 3
4sin²θ= 1
sin²θ = 1/4
(sinθ)² = (1/2)²
sinθ = 1/2 
sinθ = sin30°
θ = 30°

tanθ  = tan30° = 1/√3 

প্রশ্ন: tanA + cotA = 3 হলে tan²A + cot²A এর মান কত? 

সমাধান:
tanA + cotA = 3 
(tanA + cotA)² = 3² 
tan²A + cot²A + 2cotA.tanA = 9
tan²A + cot²A + 2(1/tanA).tanA = 9
tan²A + cot²A + 2 = 9
tan²A + cot²A = 9 - 2
tan²A + cot²A = 7

হলে A এর মান কত?

সমাধান: 
(cosA - sinA)/(cosA + sinA) = (1 - √3)/(1 + √3)
{(cosA - sinA) + (cosA + sinA)}/{(cosA - sinA) - (cosA + sinA)} = {(1 - √3) + (1 + √3)}/{(1 - √3) - (1 + √3)} 
(cosA - sinA + cosA + sinA)/(cosA - sinA - cosA - sinA) = (1 - √3 + 1 + √3)/(1 - √3 - 1 - √3)
2cosA/(- 2sinA) = 2/ (- 2√3)
cosA/sinA = 1/√3
cotA = 1/√3
cotA = cot60°
A = 60°

আমরা জানি 
sinθ/cosθ = tanθ
cosθ/sinθ = cotθ

  = কত?

সমাধান: 
{tanA/(secA + 1)} - {(secA - 1)/tanA}
=tan²A - (secA + 1)(secA - 1)/(secA + 1)tanA
= tan²A - (sec²A - 1)/(secA + 1)tanA
= tan²A - tan²A/(secA + 1)tanA
= 0/(secA + 1)tanA
= 0

প্রশ্ন: tanA = 1 হলে 2sinAcosA এর মান কত? 

সমাধান: 
 tanA = 1
tanA = লম্ব/ভূমি 
লম্ব = 1, ভূমি = 1

আমরা জানি 
(অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²
(অতিভুজ)² = 1² + 1²
(অতিভুজ)² = 1 + 1
(অতিভুজ)² = 2
(অতিভুজ) = √2

sinA = লম্ব/অতিভুজ = 1/√2
cosA = ভূমি/অতিভুজ = 1/√2

2sinAcosA = 2(1/√2)(1/√2) = 2/2 = 1

প্রশ্ন: cosecA - cotA = 4/5 হলে cosecA + cotA এর মান কত? 

সমাধান: 
cosecA - cotA = 4/5 
1/(cosecA - cotA) = 5/4
(cosec²A - cot²A)/(cosecA - cotA) = 5/4 
(cosecA - cotA)(cosecA + cotA)/(cosecA - cotA) = 5/4
cosecA + cotA = 5/4

প্রশ্ন: sin7x = cos11x হলে tan9x + cot9x এর মান কত? 

সমাধান: 
sin7x = cos11x
⇒ sin7x = sin(90° - 11x) 
⇒ 7x = 90° - 11x
⇒7x + 11x = 90°
⇒18x = 90°
⇒x = 5°

এখন 
⇒ tan9x + cot9x
⇒ tan45° + cot45°
⇒1 + 1
⇒ 2

প্রশ্ন: cotA = b/a হলে (asinA - bcosA)/(asinA + bcosA) এর মান কত? 

সমাধান:
 cotA = b/a
cosA/sinA = b/a
sinA/cosA = a/b
asinA/bcosA = (a/b)(a/b)
asinA/bcosA = a²/b²
(asinA - bcosA)/(asinA + bcosA) = (a² - b²)/(a² + b²) 

প্রশ্ন: tanA + cotA = কত? 

সমাধান: 
 tanA + cotA 
= (sinA/cosA) + (cosA/sinA)
= (sin²A + cos²A)/cosA.sinA
= 1/cosA.sinA
= (1/cosA)(1/sinA)
= secA.cosecA

প্রশ্ন: cos²A + cos⁴A = 1 হলে tan⁴A এর মান কত? 

সমাধান: 
cos²A + cos⁴A = 1 
cos⁴A = 1 - cos²A 
cos⁴A = sin²A
 
এখন
 tan⁴A 
= sin⁴A/cos⁴A
=  sin²A

প্রশ্ন: cot 15° × cot 25° × cot 60° × cot 65° × cot 75° এর মান কত? 

সমাধান: 
cot 15° × cot 25° × cot 60° × cot 65° × cot 75° 
= cot 15° × cot 25° × cot 60° × cot(90 - 25°) × cot(90 - 15°)
= cot 15° × cot 25° × cot 60° × tan15° × tan 25°
= cot 15° × cot 25° × cot 60° × (1/cot 15°) × (1/cot 25°)
= cot 60°
= 1/√3

প্রশ্ন: {(1/cosθ) + (1/cotθ)}{(1/cosθ) - (1/cotθ)} এর মান কত? 

সমাধান: 
{(1/cosθ) + (1/cotθ)}{(1/cosθ) - (1/cotθ)}
= (secθ + tanθ)(secθ - tanθ)
= (sec²θ - tan²θ)
= 1 

আমরা জানি 
sin²A + cos²A = 1
sin²A = 1 - cos²A
cos²A = 1 - sin²A

sec²A - tan²A = 1
sec²A = 1 + tan²A
tan²A = sec²A - 1

cosec²A - cot²A = 1
cosec²A = 1 + cot²A
cosec²A - 1 =cot²A

প্রশ্ন: cotA√(1 - cos²A) = ? 

Solution: 
 cotA√(1 - cos²A)
= cotA√(sin²A)
= (cosA/sinA) × sinA
= cosA

প্রশ্ন: cos⁴θ - sin⁴θ = 3/4 হলে 1 - 2sin²θ এর মান কত? 

সমাধান: 
cos⁴θ - sin⁴θ = 3/4
(cos²θ - sin²θ)(cos²θ + sin²θ) = 3/4
cos²θ - sin²θ = 3/4
1 - sin²θ - sin²θ = 3/4
1 - 2sin²θ = 3/4