Math Master

ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে ƒ(8) = 0
∴ ƒ(8) = 8² - k8 - 48 = 0
⇒ 16 - 8k = 0
⇒ k = 16/8 = 2

x² - y² -2y - 1
= x² - (y + 2y + 1)
= x² - (y + 1)²
= (x + y + 1) (x - y - 1)

64x³ - 8y³
= 8(8x³ - y³)
= 8(2x - y)(4x² + 2xy + y²)

(a - m)y² - (n - a)xy + (m -n)x²
ধরি, a - m = p; m - n = q
∴ -( n - a) = p + q
∴ প্রদত্ত রাশি, py² + (p + q)xy + qx²
= (x + y)(py + qx)
= (x + y)( ay - my + mx- nx) [ p, q এর মান বসিয়ে]

x⁶ - 6x³ + 7x - a এর একটি উৎপাদক যদি (x - 2) হয় তাহলে
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে ƒ(2) = 0
∴ ƒ(2) = 64 - 48 + 14 - a =0
∴a = 30

a² - (x + 1/x)a + 1
= a² - ax - a/x + 1
= a (a - x) - 1/x (a - x)
= (a - x)(a - 1/x)

১ম রাশি
x² + 13x + 36
= x² + 4x+ 9x + 36
= (x + 4)(x + 9) 
x² - 30x + 216
= x² - 18x - 12x + 216
= (x -18)(x - 12)
∴গ.সা.গু. = 1

x³ - x -6
-6 এর উৎপাদক গুলো ±1, ±2, ±3, ±6
ƒ(2) হলে ƒ(x) = x³ - x -6 = 0 হবে।
x³ - x -6
= x²(x - 2) + 2x(x-2) + 3(x-2)
= (x-2)(x² + 2x + 3)

ax + b, a ≠ 0 হলে, রাশিটি কখন কোনো বহুপদী ƒ(x) এর উৎপাদক হবে যদি এবং কেবল যদি ƒ(-b/a) = 0 হয়। অনুসিদ্ধান্ত ১৩; ৯-১০ম শ্রেণি।

a³ - 21a -20
= a³ + a² - a² - a - 20a - 20
= a²(a + 1) - a ( a + 1) - 20(a + 1)
= (a+1)(a² -a - 20)

54x⁴ + 24x³a - 16x - 8a এর একটি উৎপাদক (x-2) হলে x = 2
∴ 54×(2)⁴ + 24×(2)³a - 16×2 -8a = 0
⇒ 832 + 184a = 0 
⇒ a = - 832/184 = -4.52

.x⁴ + x² - 20
= x4 + 5x² - 4x² - 20
= x²(x² + 5) - 4(x² + 5)
= (x² + 5)(x + 2)(x - 2)

১ম রাশি=4(x² + ax)²
= 2×2×x²(x + a)²
২য় রাশি= 6(x³ -a²x)
= 2×3×x(x +a)(x - a)
৩য় রাশি = 14x³(x³ -a³)
= 2×7×x³(x - a)(x² + ax + a²)
∴ল.সা.গু. = 84x³(x + a)²(x³ - a³)

x³ - 8(x - y)³
= x³ - (2x - 2y)³
= (x - 2x + 2y){(x² + x(2x - 2y) + (2x - 2y)²}
= (-x + 2y)(x² + 2x² - 2xy + 4x² - 8xy + 4y²)
= (-x + 2y)(7x² - 10xy + 4y²)

ƒ(1) = a³ - 9 + (a + 1)³
= (1)³ - 9 + (2)³
= 1 - 9 + 8
= 0

x⁴ + 6x² - 7
= (x²)² + 2.x².3 + 3² - 16
= (x² + 3)² - 4²
= (x² + 3 + 4)(x² + 3 - 4)
= (x² + 7)(x² - 1)
= (x² + 7)(x + 1)(x - 1)

a³ - 6a² + 12a - 9
= a³ - 6a² + 12a - 8 - 1
= (a - 2)³ - (1)³
= (a - 2 -1){(a - 2)² + (a - 2).1 + (1)²}
=(a - 3)(a² - 3a + 3)

8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³
=(2x)³ + 3.(2x)².3y + 3.2x.(3y)² + (3y)³
=(2x + 3y)³

a² - 4a + 3 = 0
⇒ a² - 3a -a + 3 = 0
⇒ a(a - 3) -1(a - 3) = 0
⇒ (a - 3)(a - 1) = 0
⇒ a = 3; a = 1

২৫) a³ + b³, (a + b)³ এবং (a² - b²)² এর ল.সা.গু. কত?

১ম রাশি = a³ + b³
= (a + b)(a² - ab + b²)

২য় রাশি = (a + b)³
= (a + b)(a + b)(a + b)

৩য় রাশি = (a² - b²)²
= (a + b )(a - b)(a + b)(a - b)

∴ ল.সা.গু. = (a + b)³(a - b)²(a² - ab + b²)