ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার 4/5 গুণ। সংখ্যা দুটির সমষ্টি 108 হলে, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা = x
অপর সংখ্যাটি = 4x/5

প্রশ্নমতে,
x + (4x/5) = 108
বা, (5x + 4x)/5 = 108
বা, 9x/5 = 108
বা, 9x = 108 × 5
বা, x = (108 × 5)/9
বা, ক = 12 × 5
বা, ক = 60

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = 60
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = 108 - 60 = 48

প্রশ্ন: 3x - y = 9 এবং 2x + y = 11 হলে x ও y এর মান কত?

সমাধান:
3x - y = 9 ............ (1)
2x + y = 11 ............ (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণকে যোগ করে পাই,
3x - y + 2x + y = 9 + 11
⇒ 5x = 20
⇒ x = 20/5
⇒ x = 4

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
3(4) - y = 9
⇒ 12 - y = 9
⇒ y = 12 - 9
⇒ y = 3

∴ x = 4 এবং y = 3

প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন:
5 < x < 13

সমাধান:
5 < x < 13

∴ গড় = (13 + 5)/2
= 18/2
= 9

∴ 5 - 9 < x - 9 < 13 - 9        [উভয়পক্ষে 9 বিয়োগ করে]
⇒ - 4 < x - 9 < 4
⇒ |x - 9| < 4

প্রশ্ন: যদি x + 2y = 4 এবং x/y = 2 হয় তাহলে, x এবং y এর মান বের করুন।

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 2y = 4 ............ (1)
x/y = 2
x = 2y ...............(2)

এখন, সমীকরণ (1) থেকে পাই,
2y + 2y = 4
4y = 4
y = 1

আবার, সমীকরণ (2) থেকে পাই, 
x = 2 × 1 = 2

∴ x এবং y এর মান = 2 এবং 1

প্রশ্ন: যদি |x + 5| ≤ 11 হয়, তবে x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
|x + 5| ≤ 11
⇒ - 11 ≤ |x + 5| ≤ 11
⇒ - 11 - 5 ≤ x + 5 - 5 ≤ 11 - 5      [উভয়পক্ষে - 5 যোগ করে]
∴ - 16 ≤ x ≤ 6

এখানে,
x এর সর্বনিম্ন মান = - 16
এবং x এর সর্বোচ্চ মান = 6

প্রশ্ন: 2x² + 3x + 1 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
2x² + 3x + 1 = 0
সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই:
a = 2, b = 3, c = 1

নিশ্চায়ক (Discriminant) নির্ণয়:
D = b² - 4ac
= 3² - (4 × 2 × 1)
= 9 - 8
= 1

যেহেতু D = 1 ধনাত্মক (D > 0), তাই মূল দুইটি বাস্তব এবং অসমান হবে।
আবার, 1 পূর্ণবর্গ সংখ্যা, তাই মূলদ্বয় মূলদ।

∴ মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।

• নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
b² - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

প্রশ্ন: a - b ≥ a + b এই সমীকরণের সমতুল্য নিচের কোনটি?

সমাধান: 
a - b ≥ a + b
⇒ a - a ≥ b + b
⇒ 0 ≥ 2b
⇒ 2b ≤ 0
⇒ b ≤ 0

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে ছাত্র বসলে 2টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে বসলে 6 জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণিতে কতটি বেঞ্চ আছে?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা = x টি।

প্রতি বেঞ্চে 5 জন করে বসলে 2টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = (x - 2) × 5

প্রতি বেঞ্চে 4 জন করে বসলে 6 জন দাঁড়িয়ে থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = 4x + 6

প্রশ্নমতে,
(x - 2) × 5 = 4x + 6
⇒ 5x - 10 = 4x + 6
⇒ 5x - 4x = 6 + 10
⇒ x = 16

∴ বেঞ্চ সংখ্যা = 16টি

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক 5। সংখ্যাটির দুই অঙ্কের যোগফল সংখ্যাটির 5 ভাগের 1 ভাগ। সংখ্যাটি কত

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একক স্থানীয় অঙ্ক 5

ধরি,
সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = x
∴ সংখ্যাটি = 10x + 5

প্রশ্নমতে,
x + 5 = (10x + 5)/5
⇒ 5(x + 5) = 10x + 5
⇒ 5x + 25 = 10x + 5
⇒ 10x - 5x = 25 - 5
⇒ 5x = 20
⇒ x = 20/5 
⇒ x = 4

∴ সংখ্যাটি = (10 × 4) + 5 = 45

প্রশ্ন: |x + 1| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতাটি হলো,
|x + 1| < 7
⇒ - 7 < x + 1 < 7
⇒ - 7 - 1 < x + 1 - 1 < 7 - 1  [উভয়পক্ষে - 1 যোগ করে]
⇒ - 8 < x < 6 

∴ অসমতাটির সমাধান, S = {x ∈ R: - 8 < x < 6}

প্রশ্ন: x + y + z = 18 এবং x - y = z হলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + y + z = 18  .......... (1)
x - y = z 
⇒ y + z = x

সমীকরণ (1) -এ, y + z = x বসিয়ে পাই,
x + x = 18
⇒ 2x = 18
⇒ x = 18/2
∴ x = 9

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে মোট যাত্রী সংখ্যা 60 জন। কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার তিনগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 20 টাকা। মোট ভাড়া আদায় 2240 টাকা হলে, ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ডেকের যাত্রী সংখ্যা = x জন
∴ কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = 60 - x জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু = 20 টাকা
∴ কেবিনের ভাড়া = 20 × 3 = 60 টাকা

প্রশ্নমতে,
20x + 60(60 - x) = 2240
⇒ 20x + 3600 - 60x = 2240
⇒ 3600 - 40x = 2240
⇒ 40x = 3600 - 2240
⇒ 40x = 1360
⇒ x = 34

∴ ডেকের যাত্রী সংখ্যা = 34 জন

প্রশ্ন: x² - 9 ≤ 0 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² - 9 ≤ 0 
⇒ x² ≤ 9
⇒ x² ≤ 3²
⇒ x ≤ ± 3
∴ - 3 ≤ x ≤ 3

∴ নির্ণেয় সমাধান = - 3 ≤ x ≤ 3

প্রশ্ন: সুজনের মাসিক বেতন জামালের মাসিক বেতনের চেয়ে 4000 টাকা বেশি। তাদের দুজনের বার্ষিক বেতনের যোগফল 6,00,000 টাকা হলে জামালের মাসিক বেতন কত?

সমাধান:
ধরি, জামালের মাসিক বেতন = x টাকা
সুজনের মাসিক বেতন = x + 4000 টাকা

প্রশ্নমতে,
12(x + x + 4000) = 6,00,000
⇒ 12x + 12x + 48000 = 6,00,000
⇒ 24x + 48000 = 6,00,000
⇒ 24x = 6,00,000 - 48000
⇒ 24x = 552000
⇒ x = 552000/24
⇒ x = 23000

∴ জামালের মাসিক বেতন = 23000 টাকা

প্রশ্ন: x + 3 > 2x - 1 অসমতাটির সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
এখানে, 
x + 3 > 2x - 1
⇒ 2x - 1 < x + 3
⇒ 2x - x < 3 + 1
⇒ x < 4

∴ নির্ণেয় সমাধান = (- ∞, 4)

প্রশ্ন: 150 টি এক টাকার মুদ্রা ও দুই টাকার মুদ্রায় মোট 230 টাকা হলে, কোন প্রকারের মুদ্রার সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
মনে করি, এক টাকার মুদ্রা সংখ্যা x টি।
তাহলে দুই টাকার মুদ্রার সংখ্যা (150 - x) টি।

প্রশ্নমতে,
x × 1 + (150 - x) × 2 = 230
⇒ x + 300 - 2x = 230
⇒ x = 300 - 230
∴ x = 70

সুতরাং এক টাকার মুদ্রা সংখ্যা 70 টি এবং দুই টাকার মুদ্রার সংখ্যা (150 - 70) = 80 টি।

প্রশ্ন: x পূর্ণ সংখ্যা এবং  হলে x এর বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানের পার্থক্য কত? 

সমাধান:
এখানে,
- 1 ≤ (3x - 4)/7 ≤ 5
⇒ - 7 ≤ 3x - 4 ≤ 35
⇒ - 7 + 4 ≤ 3x - 4 + 4 ≤ 35 + 4
⇒ - 3 ≤ 3x ≤ 39
⇒ - 1 ≤ x ≤ 13
 
∴ x এর বৃহত্তম মান = 13
এবং ক্ষুদ্রতম মান = - 1
∴ পার্থক্য = 13 - (- 1) = 13 + 1 = 14

প্রশ্ন: x² + 2x + 3 = 0 সমীকরণের নিশ্চায়ক কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x² + 2x + 3 = 0
সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই:
a = 1, b = 2, c = 3

নিশ্চায়ক (Discriminant) নির্ণয়:
D = b² − 4ac
= 2² − (4 × 1 × 3)
= 4 − 12
= - 8

প্রশ্ন: |x - 2| < 3 হলে, a এবং b এর কোন মানের জন্য a < 2x + 7 < b হবে?

সমাধান:
|x - 2| < 3
বা, - 3 < x - 2 < 3
বা, - 3 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2
বা, - 1 < x < 5
বা, - 2 < 2x < 10
বা, - 2 + 7 < 2x + 7 < 10 + 7
∴ 5 < 2x + 7 < 17

a < 2x + 7 < b এর সাথে তুলনা করে পাই,
∴ a = 5 এবং b = 17

প্রশ্ন: x + (1/y) = 3/2 এবং y + (1/x) = 3 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কত?

সমাধান: 
x + (1/y) = 3/2 ..........(A)
y + (1/x) = 3 .............(B)

সমীকরণ (A) ⇒ xy + 1 = 3y/2 ..........(1)       [উভয়পক্ষে y গুণ করে]

সমীকরণ (B) ⇒ xy + 1 = 3x .............(2)            [উভয়পক্ষে x গুণ করে]
 
এখন, (2) - (1) ⇒
3x - (3y/2) = 0
⇒ 3x = (3y/2)
⇒ x = y/2 .............(3)

সমীকরণ (A) ⇒
(y/2)+ (1/y) = 3/2
⇒ (y² + 2)/2y = 3/2
⇒ y² + 2 = 3y
⇒ y² - 3y + 2 = 0
⇒ y² - 2y - y + 2 = 0
⇒ y(y - 2) - 1(y - 2) = 0
⇒ (y - 2)(y - 1) = 0

∴ y = 2, 1

y = 2 হলে (3) হতে,
x = 2/2 = 1

এবং y = 1 হলে (3) হতে,
x = 1/2

∴ (x, y) = (1, 2), (1/2, 1)

প্রশ্ন: 


সমাধান:

প্রশ্ন: x² - 3x - 10 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
x² - 3x - 10 > 0
⇒ x² - 5x + 2x - 10 > 0
⇒ x(x - 5) + 2(x - 5) > 0
∴ (x - 5)(x + 2) > 0
দুইটি রাশির গুনফল তখনই ধনাত্মক বা শূন্য অপেক্ষা বড় হবে যদি উভয়ই ধনাত্মক অথবা উভয়েই ঋণাত্মক হয়।

∴ নির্ণেয় সমাধান = (- ∞, - 2) ∪ (5, + ∞)

প্রশ্ন: একটি খামারে মুরগি ও গরু একত্রে 120 টি। কিন্তু তাদের পায়ের সংখ্যা 280 টি। তা হলে কতটি গরু আছে?

সমাধান:
ধরি,
মুরগি আছে = x টি
∴ গরু আছে = (120 - x) টি
প্রশ্নমতে,
2x + 4(120 - x) = 280
⇒ 2x + 480 - 4x = 280
⇒ 480 - 2x = 280
⇒ 2x = 480 - 280
⇒ 2x = 200
⇒ x = 200/2
∴ x = 100

সুতরাং, মুরগি আছে 100 টি
এবং গরু আছে (120 - 100) = 20 টি

প্রশ্ন: 2x² + 5x + 3 < 0 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
2x² + 5x + 3 < 0
⇒ 2x² + 2x + 3x + 3 < 0
⇒ 2x(x + 1) + 3 (x + 1) < 0
⇒ (x + 1)(2x + 3) < 0

2x² + 5x + 3 < 0 সত্য হবে যদি (x + 1) < 0 এবং (2x + 3) > 0 হয়।
এখন, x + 1 < 0 এবং 2x + 3 > 0
x < - 1 এবং x > - 3/2

- 1 এর চেয়ে ছোট এবং- 3/2 এর চেয়ে বড়
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.
সুতরাং নির্ণেয় সমাধান: - 3/2 < x < - 1

আবার,
2x² + 5x + 3 < 0 সত্য হবে যদি x + 1 > 0 এবং 2x + 3 < 0 হয়।
এখন, x + 1 > 0 এবং 2x + 3 < 0
x > - 1 এবং x < - 3/2
x এর মান - 1 এর চেয়ে বড় এবং - 3/2 এর চেয়ে ছোট x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

∴ নির্ণেয় সমাধান = - 3/2 < x < - 1