Math Master

প্রশ্ন: একটি বই ১২০ টাকা বিক্রয় করায় ৫ টাকা ক্ষতি হয়। ক্ষতির শতকরা হার কত?

সমাধান: 
ক্রয়মূল্য = ১২০ + ৫ = ১২৫ টাকা

১২৫ টাকায় ক্ষতি হয় = ৫ টাকা
∴ ১ টাকায় ক্ষতি হয় = ৫/১২৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় = (৫/১২৫) × ১০০ টাকা
= ৪ টাকা বা ৪%

প্রশ্ন: আপেলের দাম কমলার দামের ৩৫০% হলে, আপেল ও কমলার দামের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
কমলার দাম = ক টাকা
তাহলে, আপেলের দাম = ক এর ৩৫০%
= ক × (৩৫০/১০০)
= ৭ক/২ টাকা 

∴  আপেল ও কমলার দামের অনুপাত = ৭ক/২ : ক
= ৭ : ২

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি সবচেয়ে বড়?

সমাধান:
৩/৪  = ০.৭৫
৫/৭ = ০.৭১ 
৭/৯ = ০.৭৮
৯/১৬ = ০.৫৬

এখানে, ০.৭৮ > ০.৭৫ > ০.৭১ > ০.৫৬

প্রশ্ন: বিক্রয় করসহ একটি দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য ৩০৮ টাকা। বিক্রয় করের হার ১০%। যদি দ্রব্যটি বিক্রয়ে দোকানদারের ১২% লাভ হয়, তবে দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
বিক্রয় কর ১০% হলে, কর সংযোজন মূল্য = ১০০ + ১০ = ১১০ টাকা

কর সংযোজন মূল্য ১১০ টাকা হলে কর বাদে মূল্য = ১০০ টাকা
∴ কর সংযোজন মূল্য ১ টাকা হলে কর বাদে মূল্য = ১০০/১১০ টাকা
∴ কর সংযোজন মূল্য ৩০৮ টাকা হলে কর বাদে মূল্য = (১০০ × ৩০৮)/১১০ টাকা
= ২৮০ টাকা

১২% লাভে, বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১২ = ১১২ টাকা

বিক্রয়মূল্য ১১২ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১১২ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ২৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ২৮০)/১১২ টাকা
= ২৫০ টাকা

প্রশ্ন: ৫ : ২ এবং ৭ : ৫ এর মিশ্র অনুপাত কোনটি?

সমাধান:
মিশ্র অনুপাত:
একাধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে মিশ্র অনুপাত বলে।

সুতরাং,
৫ : ২ এবং ৭ : ৫ সরল অনুপাতগুলোর মিশ্র অনুপাত হলো,
(৫ × ৭) : (২ × ৫)
= ৩৫ : ১০
= ৭ : ২

প্রশ্ন: রাকিব একটি বইয়ের ৪০ পৃষ্ঠা পড়ার পরেও, ৯/১৪ অংশ পড়তে বাকি থাকে। বইয়ের মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা কত? 

সমাধান:
বই পড়া হয়েছে = ১ - (৯/১৪) অংশ
= (১৪ - ৯)/১৪ অংশ
= ৫/১৪ অংশ 

∴ ৫/১৪ অংশ = ৪০ 
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ৪০ × (১৪/৫) পৃষ্ঠা
= ১১২ পৃষ্ঠা

প্রশ্ন: ৪০ টাকায় ২ ডজন লিচু কিনে প্রতিটি ২ টাকা করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
২ ডজন = ২৪টি
২৪টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ৪০ টাকা
২৪টি লিচুর বিক্রয়মূল্য = ২৪ × ২ = ৪৮ টাকা
∴ লাভ = ৪৮ - ৪০ = ৮ টাকা 

৪০ টাকায় লাভ হয় = ৮ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় = ৮/৪০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (৮/৪০) × ১০০ টাকা
= ২০ টাকা বা ২০%

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ২। সংখ্যা দুইটির উভয় পদ থেকে ২ বিয়োগ করলে সংখ্যা দুইটির অনুপাত হয় ১১ : ৭। সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে-

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ৩ক এবং ২ক

প্রশ্নমতে,
(৩ক - ২)/(২ক - ২) = ১১/৭
⇒ ২২ক - ২২ = ২১ক - ১৪
⇒ ২২ক - ২১ক = ২২ - ১৪
∴ ক = ৮

∴ সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ৩ × ৮ = ২৪ এবং ২ × ৮ = ১৬

প্রশ্ন: সাদিকের সম্পত্তির ৫/৮ অংশের মূল্য ৫৭৬৫ টাকা। ঐ সম্পত্তির ৩/৪ অংশের মূল্য কত?

সমাধান:
সম্পত্তির ৫/৮ অংশ = ৫৭৬৫ টাকা
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ৫৭৬৫ × (৮/৫) টাকা
∴ ৩/৪ অংশ = (৫৭৬৫ × ৮ × ৩)/(৫ × ৪) টাকা
= ৬৯১৮ টাকা

প্রশ্ন: এক মন আলু ২২৮০ টাকায় বিক্রয় করায় ৫% ক্ষতি হয়। প্রতি মন কত টাকায় বিক্রয় করলে ৬% লাভ হবে?

সমাধান: 
ধরি, ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

৫% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য ৯৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/৯৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ২২৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ২২৮০)/৯৫ টাকা
= ২৪০০ টাকা

৬% লাভে
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১০৬ টাকা
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১০৬/১০০ টাকা
ক্রয়মূল্য ২৪০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০৬ × ২৪০০)/১০০ টাকা
= ২৫৪৪ টাকা

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ক্রয় করে ১৫% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। ক্রয়মূল্যের এবং বিক্রয়মূল্যের অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

১৫% ক্ষতিতে
বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১৫) = ৮৫ টাকা

∴ ক্রয়মূল্য এবং বিক্রয়মূল্য এর অনুপাত = ১০০ : ৮৫
= ২০ : ১৭

বি.দ্র: যেকোনো বিক্রয়মূল্যের জন্য লাভ ও ক্ষতির পরিমাণ একই বলায়, ভিন্ন ভিন্ন বিক্রয়মূল্যের জন্য ভিন্ন ভিন্ন উত্তর আসবে।
লাভ ও ক্ষতির পরিমাণ শতকরায় বলা হলে, যেকোনো বিক্রয়মূল্যের জন্য একই মান আসতো।

প্রশ্ন: দুইটি টেবিল একই মূল্যে বিক্রয় করলে একটিতে লাভ হয় ৫ টাকা, অন্যটিতে ক্ষতি হয় ৬ টাকা। শতকরা মোট কত লাভ বা ক্ষতি হলো?

সমাধান:
ধরি, প্রতিটি টেবিলের বিক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ ২ টি টেবিলের বিক্রয়মূল্য = ১০০ × ২ = ২০০ টাকা

একটিতে ৫ টাকা লাভে,
১ টি টেবিলের ক্রয়মূল্য = ১০০ - ৫ = ৯৫ টাকা

অপরটিতে ৬ টাকা ক্ষতিতে,
অপর টেবিলের ক্রয়মূল্য = ১০০ + ৬ = ১০৬ টাকা
∴ ২ টি টেবিলের ক্রয়মূল্য = ১০৬ + ৯৫ = ২০১ টাকা

∴ ক্ষতি হয় = ২০১ - ২০০ = ১ টাকা

∴ শতকরা ক্ষতি হয় = {(১/২০১) × ১০০}% = ০.৪৯৭ ≅ ০.৫০%

প্রশ্ন: একটি ক্লাসের ছাত্র ও ছত্রীদের অনুপাত ১৩ : ১৯। যদি ক্লাসে ১জন শিক্ষক এবং ৩১ জন মূল্যায়নকারী সহ ২২৪ জন লোক থাকে, তবে ক্লাসের ছাত্রীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ছাত্র-ছাত্রীর অনুপাতের যোগফল = ১৩ + ১৯ = ৩২

ক্লাসে মোট ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা = ২২৪ - (১ + ৩১) জন
= ১৯২ জন 

∴ ক্লাসের ছাত্রীর সংখ্যা = ১৯২ × (১৯/৩২) জন
= ১১৪ জন

প্রশ্ন: একটি চিত্রাংকন প্রতিযোগিতায় প্রত্যেক শিক্ষার্থী একটি করে ছবি আঁকল। সবার আঁকা শেষে দেখা গেল যে ১/৪ অংশ ফুলের ছবি, ১/৯ অংশ ফলের ছবি, ২/৫ অংশ পাখির ছবি এবং বাকি ৮৬ টি গাছের ছবি আঁকা হয়েছে। ঐ প্রতিযোগিতায় মোট প্রতিযোগীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
 ফুল, ফল এবং পাখির ছবির আঁকা হয়েছে = (১/৪) + (১/৯) + (২/৫) অংশ
= (৪৫ + ২০ + ৭২)/১৮০  
= ১৩৭/১৮০ অংশ

বাকি থাকে = ১ - (১৩৭/১৮০) = ৪৩/১৮০ অংশ।

প্রশ্নমতে,
৪৩/১৮০ অংশ = ৮৬ জন
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = (৮৬ × ১৮০)/৪৩ = ৩৬০ জন
∴ ঐ প্রতিযোগিতায় মোট প্রতিযোগীর সংখ্যা = ৩৬০ জন

প্রশ্ন: একজন অসাধু ব্যবসায়ী প্রতি কেজি চাল ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করে কিন্তু পরিমাণে ২০% কম দেয়। ঐ ব্যক্তির প্রতি কেজিতে শতকরা লাভ বা ক্ষতির পরিমাণ কত?

সমাধান:
১০% ক্ষতিতে বিক্রয় এবং পরিমাণে ২০% কম দিলে, লাভ = ২০ - ১০ = ১০%
ধরি, প্রতি কেজির দাম = ১০০ টাকা
২০% কমে চালের দাম = ১০০ - ২০ = ৮০ টাকা

৮০ টাকায় লাভ হয় = ১০ টাকা
১ টাকায় লাভ হয় = ১০/৮০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (১০ × ১০০)/৮০ টাকা
= ২৫/২ টাকা
= ১২.৫ টাকা বা ১২.৫%

প্রশ্ন: মা ও মেয়ের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর। ৫ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৭ : ৩। ৫ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
মা ও মেয়ের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৬০ বছর।
৫ বছর পূর্বে তাদের বয়সের সমষ্টি ছিল (৬০ - ২ × ৫) = ৫০ বছর

৫ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৭ : ৩
অনুপাতের যোগফল ৭ + ৩ = ১০

∴ ৫ বছর পূর্বে মায়ের বয়স ছিল = ৫০ × (৭/১০) = ৩৫ বছর
∴ ৫ বছর পূর্বে মেয়ের বয়স ছিল = ৫০- ৩৫ = ১৫ বছর

৫ বছর পর মায়ের বয়স হবে = ৩৫ + ৫ + ৫ = ৪৫ বছর
৫ বছর পর মেয়ের বয়স হবে = ১৫ + ৫ + ৫= ২৫ বছর

∴ ৫ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত হবে = ৪৫ : ২৫
= ৯ : ৫

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে দুই-তৃতীয়াংশ ফল পরীক্ষা করার পর ৪টি ফল ত্রুটিযুক্ত এবং বাকি ৩৬টি ক্রটিমুক্ত পাওয়া গেল। ৮০% ফল ক্রটিমুক্ত পেতে হলে অবশিষ্ট ফলের মধ্যে কতটি ফল ক্রটিমুক্ত পেতে হবে? 

সমাধান: 
২/৩ অংশ ফল = (৩৬ + ৪)টি = ৪০টি 
∴ ১ অংশ বা (সম্পূর্ণ) = ৪০ × (৩/২) টি = ৬০টি 

এখন,
৬০ এর ৮০% = ৬০ এর ৮০/১০০= ৪৮টি 
∴ ক্রটিমুক্ত পেতে হবে = ৪৮ - ৩৬ = ১২টি

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের হর লব থেকে ৩ বেশি। ভগ্নাংশটির লব ও হরের সাথে ১০ যোগ করলে ভগ্নাংশটি ৫/৬ হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি
ভগ্নাংশটির লব = ক
ভগ্নাংশটির হর = ক + ৩

প্রশ্নমতে,
(ক + ১০)/(ক + ১০ + ৩) = ৫/৬
⇒ (ক + ১০)/(ক + ১৩) = ৫/৬
⇒ ৬ক + ৬০ = ৫ক + ৬৫
⇒ ৬ক - ৫ক = ৬৫ - ৬০
∴ ক = ৫

∴ ভগ্নাংশটি = ৫/(৫ + ৩)
= ৫/৮

প্রশ্ন: চারটি সমানুপাতি রাশির প্রান্তীয় রাশিদ্বয়ের গুনফল ৭২ হলে, মধ্য রাশিদ্বয়ের গুনফল কত?

সমাধান: 
• যে কোন চারটি রাশির প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির অনুপাত এবং তৃতীয় ও চতুর্থ রাশির অনুপাত পরস্পর সমান হলে, রাশি চারটি একটি সমানুপাত তৈরি করে।
• সমানুপাতের প্রত্যেক রাশিকে সমানুপাতি বলে।
• সমানুপাতের ১ম ও ৪র্থ রাশিকে প্রান্তীয় রাশি এবং ২য় ও ৩য় রাশিকে মধ্য রাশি বলে।

সমানুপাতিক রাশির ক্ষেত্রে,
১ম রাশি : ২য় রাশি = ৩য় রাশি : ৪র্থ রাশি
বা, ১ম রাশি × ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি × ৩য় রাশি
 
অর্থাৎ, প্রান্তীয় রাশিদ্বয়ের গুণফল ৭২ হলে, মধ্য রাশিদ্বয়ের গুণফলও ৭২ হবে।