৪০ দিনে ৪৭তম বিসিএস প্রস্তুতি - Archived

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180° এবং সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ 90°
সুতরাং সমকোণ ব্যতীত অপর দুটি কোণের পরিমাণ = (180° - 90°) = 90° = 40°+ 50°

আমরা জানি, গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে আয়তন = 4/3 πr³
= 4/3 π(2r)³
= 4/3 π 8 r³
= 8 × 4/3 πr³
= 8 × গোলকের আয়তন।

আমরা জানি, সম্পূরক কোণের পরিমাণ = 180°
সুতরাং 60° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেক = 1/2 (180°-60°) = 1/2 × 120° = 60°

আমরা জানি, পূরক কোণ = 90°
প্রদত্ত চিত্রে, ∠QON = 90°
Or, ∠PON + ∠POQ = 90°
সুতরাং ∠PON এর পূরক কোণ ∠POQ।

আমরা জানি, সম্পূরক কোণের পরিমাণ = 180°
রৈখিক মানে সোজা 180°।
সুতরাং 75° কোণের রৈখিক সম্পূরক কোণের পরিমাপ = 180° - 75° = 105°।

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
এখানে একটি সমকোণী ত্রিভুজ = 90°
সুতরাং বাকি দুটি কোণের সমষ্টি = 2x + 3x = 90°
Or, 5x = 90°
Or, x = 18°

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
উপরের দেওয়া চিত্র অনুযায়ী, 2x + 3y + x = 180°
Or, 3y + 3x = 180°
Or, y + x = 60°

আমরা জানি, বহিঃস্থ কোণ (∠ACD) = বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি (∠A + ∠B)

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
এখানে দুটি কোণের সমষ্টি = (65° + 75°) = 140°
সুতরাং তৃতীয় কোণের পরিমাণ = 180° - 140° = 40°
সুতরাং ত্রিভুজটি বিষমবাহু কারণ প্রত্যেকটি কোণের পরিমাণ ভিন্ন ভিন্ন।

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = 2 মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √3/4 × a²
= √3/4 × 2²
= √3/4 × 4
= √3

বৃত্তের ব্যাস = 2r একক
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক
5 গুণ বৃদ্ধি করলে, নতুন ব্যাস = 5.2r একক
= 10r একক
নতুন ব্যাসার্ধ = 10r/2 একক
= 5r একক
সুতরাং নতুন ক্ষেত্রফল = π(5r)² বর্গ একক
= 25πr² বর্গ একক
= 25 × বৃত্তের ক্ষেত্রফল

সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।
সুতরাং সুষম পঞ্চভুজের পাঁচ কোণের সমষ্টি = (2×5 - 4) সমকোণ
= (10-4) × 90°
= 6 × 90°
= 540°
সুতরাং সুষম পঞ্চভুজের একটি শীর্ষ কোণ = 540°/5
= 108°

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 2(12 + 8) সে.মি.
= 40 সে.মি.
শর্তমতে, 4a = 40 (যেহেতু আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা)
বা, a = 10
বা, a² = 100 বর্গ সে.মি.

বর্গক্ষেত্রটির এক বাহু = √400 = 20 ফুট
বাহুর দৈর্ঘ্য 2 গজ কমালে নতুন দৈর্ঘ্য হবে = 20 - 6 = 14 ফুট; [যেহেতু 2 গজ = 6 ফুট]
সুতরাং পরিবর্তিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (14)² = 196 বর্গফুট।

বর্গক্ষেত্রের একবাহু a একক হলে পরিসীমা 4a একক এবং কর্ণ √2a একক।
সুতরাং পরিসীমা/কর্ণ = 4a/√2a
= 4/√2
= (2 × √2 × √2) / √2
= 2√2

একটি ঘনকের 6টি তল। 2 মিটার ধার বিশিষ্ট ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল = 2² = 4 বর্গমিটার।
সুতরাং ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6 × 4 = 24 বর্গমিটার।

ঘরটির চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) × উচ্চতা।
= 2(8 + 6) × 3
= 6 × 14
= 84 বর্গমিটার।

মনে করি একটি কোণ 'ক' তাহলে অপর কোণ (90-ক)
শর্তমতে, ক - (90-ক) = 4
বা, ক - 90 + ক = 4
বা, 2ক = 94
বা, ক = 47
সুতরাং অপর কোণটি = 90-ক = 90-47 = 43°

3 সে.মি., 4 সে.মি. ও 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলক তিনটির আয়তন যথাক্রমে, (4/3 π 3³), (4/3 π 4³), (4/3 π 5³)।
সুতরাং নতুন গোলকটির আয়তন = (4/3 π 3³) + (4/3 π 4³) + (4/3 π 5³)
= 4/3 π (3³+4³+5³)
= 4/3 π × 216
= 4/3 π × 6³
নতুন গোলকটির ব্যাসার্ধ = 6 সে.মি.

আমরা জানি, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক বা একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
তাই একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 40° হলে কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 80°।

আমরা জানি, চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = 360°
এখানে কোণগুলোর অনুপাতের যোগফল = 1+2+2+3
= 8
সুতরাং ক্ষুদ্রতম কোণ = 1/8 × 360°
= 45°

এখানে, বাড়ির উচ্চতা (লম্ব) = 40 ফুট ও দেওয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব (ভূমি) = 9 ফুট।
মইয়ের দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) = ?
পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
অতিভুজ² = 402 + 92
অতিভুজ² = 1681
অতিভুজ = 41
অর্থ্যাৎ, মইয়ের দৈর্ঘ্য = 41 ফুট।
এছাড়াও, পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বাহুগুলোর অনুপাত = 3:4:5, 6:8:10, 5:12:13, 7:24:25, 9:40:41 এরকম হয়। অনুপাত ব্যবহারের মাধ্যমে শর্ট টেকনিকেও সহজে উত্তর করা যায়।