সহকারী থানা শিক্ষা অফিসার (ATEO)

প্রশ্ন: যদি x + y = 9 এবং xy = 14 হয়, তবে x - y এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y = 9 এবং xy = 14

আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
⇒ (x - y)² = (9)² - (4 × 14)
⇒ (x - y)² = 81 - 56
⇒ (x - y)² = 25
⇒ x - y = √25
∴ x - y = 5

প্রশ্ন: 125x³ + 64y³ এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
125x³ + 64y³
= (5x)³ + (4y)³
= (5x + 4y) {(5x)² - (5x)(4y) + (4y)²}
= (5x + 4y)(25x² - 20xy + 16y²)

প্রশ্ন: x² - 8x + 15 < 0 হলে, x এর মান কোনটি?

সমাধান:
x² - 8x + 15 < 0
⇒ x² - 5x - 3x + 15 < 0
⇒ x(x - 5) - 3(x - 5) < 0
⇒ (x - 5)(x - 3) < 0

উপরের গাণিতিক বাক্যটি সত্য হবে যদি একটি উৎপাদক ধনাত্মক ও অপরটি ঋণাত্মক হয়। অর্থাৎ, x এর মান 3 ও 5 এর মাঝখানে হবে।

অর্থাৎ 3 < x < 5

প্রশ্ন: x² + 2x - 15 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
x² + 2x - 15
= x² + 5x - 3x - 15
= x(x + 5) - 3(x + 5)
= (x - 3)(x + 5)

প্রশ্ন: যদি a + (1/a) = 7 হয়, তবে a/(a² + a + 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + (1/a) = 7
⇒ (a² + 1)/a = 7
⇒ (a² + 1) = 7a

এখন,
a/(a² + a + 1)
= a/(7a + a)
= a/8a
= 1/8

প্রশ্ন: যদি a + b = 11 এবং a² + b² = 85 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = 11
a² + b² = 85

আমরা জানি,
(a + b)² = a² + b² + 2ab
⇒ 11² = 85 + 2ab
⇒ 121 = 85 + 2ab
⇒ 2ab = 121 - 85
⇒ 2ab = 36
∴ ab = 18

প্রশ্ন: f(x) = 3x² + kx - 14 এর একটি উৎপাদক যদি (x - 1) হয়, তবে k-এর মান কত?

সমাধান:
যেহেতু (x - 1) একটি উৎপাদক,
তাই x = 1 হলে f(1) = 0 হবে।

এখন,
f(x) = 3x² + kx - 14
∴ f(1) = 3 × (1)² + (k × 1) - 14 = 0
⇒ 3 + k - 14 = 0
⇒ k - 11 = 0
⇒ k = 11

প্রশ্ন: 6x - 9 < 3 এবং x বাস্তব সংখ্যা হলে, x এর মানের পরিসীমা কী?

সমাধান:
6x - 9 < 3
⇒ 6x < 3 + 9
⇒ 6x < 12
⇒ x < 12/6
∴ x < 2

অর্থাৎ, x ∈ (- ∞, 2)

প্রশ্ন: 9x² - 30x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
9x² - 30x
= (3x)² - 2 . 3x . 5 + (5)² - 25
= (3x - 5)² - 25

∴ 9x² - 30x এর সাথে 25 যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: 1 - a² - 2ab - b² এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
1 - a² - 2ab - b²
= 1 - (a² + 2ab + b²)
= 1 - (a + b)²
= (1 + a + b)(1 - a - b)

প্রশ্ন: |3x - 6| < 9 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
|3x - 6| < 9
⇒ - 9 < 3x - 6 < 9
⇒ - 9 + 6 < 3x < 9 + 6
⇒ - 3 < 3x < 15
⇒ - 1 < x < 5

প্রশ্ন: যদি x - y = 3 হয়, তবে x³ - y³ - 9xy এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x - y = 3

প্রদত্ত রাশি = x³ - y³ - 9xy
= (x - y)³ + 3xy(x - y) - 9xy
= (3)³ + (3xy × 3) - 9xy
= 27 + 9xy - 9xy
= 27

প্রশ্ন: a⁴ + a²b² + b⁴ এর একটি উৎপাদক (a² + ab + b²) হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a⁴ + a²b² + b⁴
= (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b²
= (a² + b²)² - (ab)²
= (a² + ab + b²)(a² - ab + b²)

∴ অপর উৎপাদকটি হলো (a² - ab + b²)

প্রশ্ন: যদি 3x + (3/x) = 6 হয়, তবে x² + (1/x²) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
3x + (3/x) = 6
⇒ 3(x + 1/x) = 6
⇒ x + (1/x) = 2

প্রদত্ত রাশি = x² + (1/x)²
= {x + (1/x)}² - 2 . x . (1/x)
= 2² - 2
= 4 - 2
= 2

প্রশ্ন: a³ - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
a³ - 21a - 20
= a³ + a² - a² - a - 20a - 20
= a²(a + 1) - a(a + 1) - 20(a + 1)
= (a + 1)(a² - a - 20)
= (a + 1)(a² - 5a + 4a - 20)
= (a + 1){a(a - 5) + 4(a - 5)}
= (a + 1)(a + 4)(a - 5)

প্রশ্ন: p > q এবং r < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p > q  ........... (1)
r < 0...............(2)

আমরা জানি, 
কোনো অসমতার উভয় পক্ষে কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হয়। 

'>' চিহ্ন হবে '<' এবং '<' চিহ্ন হবে '>'

(2) নং হতে, r অবশ্যই ঋণাত্মক সংখ্যা।

(1) নং কে r দ্বারা গুন করলে, pr < qr

প্রশ্ন: যদি a⁴ - 10a² + 1 = 0 হয়, তবে a - (1/a) এর মান কত?

সমাধান:
a⁴ - 10a² + 1 = 0
⇒ a⁴ + 1 = 10a²
⇒ (a⁴ + 1)/a² = 10
⇒ a² + 1/a² = 10
⇒ {a - (1/a)}² + 2 . a .(1/a) = 10
⇒ {a - (1/a)}² + 2 = 10
⇒ {a - (1/a)}² = 8
⇒ a - (1/a) = √8
∴ a - (1/a) = 2√2

প্রশ্ন: 6x² - 17xy + 12y² এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
6x² - 17xy + 12y²
= 6x² - 9xy - 8xy + 12y²
= 3x(2x - 3y) - 4y(2x - 3y)
= (2x - 3y)(3x - 4y)

প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে 1 < x < 11 অসমতাটি প্রকাশ করলে কোনটি পাওয়া যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
1 < x < 11

এখানে,
1 < x < 11 অসমতাটি মধ্যবিন্দু = (1 + 11)/2
= 12/2
= 6

এখন, প্রদত্ত অসমতার প্রত্যেক পক্ষ হতে 6 বিয়োগ করে পাই,
1 < x < 11
⇒ 1 - 6 < x - 6 < 11 - 6
⇒ - 5 < x - 6 < 5
⇒ |x - 6| < 5

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

প্রশ্ন: 2x³ + 3x² - 5x + 7 থেকে কত বিয়োগ করলে রাশিটি (x + 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
যে রাশিতে (x + 2) = 0 বা, x = - 2 বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়, সে রাশিটি (x + 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

f(x) = 2x³ + 3x² - 5x + 7
∴ f(- 2) = 2(- 2)³ + 3(- 2)² - 5(- 2) + 7
= 2(- 8) + 3(4) + 10 + 7
= - 16 + 12 + 10 + 7
= 13

∴ রাশিটি থেকে 13 বিয়োগ করলে (x + 2) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

প্রশ্ন: |x + 4| ≤ 7 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত: |x + 4| ≤ 7
⇒ - 7 ≤ x + 4 ≤ 7
⇒ - 7 - 4 ≤ x ≤ 7 - 4
⇒ - 11 ≤ x ≤ 3

∴ x এর সর্বোচ্চ মান = 3

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

প্রশ্ন: 2x + 5 > 11 অসমতাটির সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
2x + 5 > 11
⇒ 2x > 11 - 5
⇒ 2x > 6
∴ x > 3

প্রশ্ন: যদি x + y = 8 এবং x - y = 2 হয়, তবে 2x² + 2y² এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y = 8 এবং x - y = 2

প্রদত্ত রাশি = 2x² + 2y²
= 2(x² + y²)
= (x + y)² + (x - y)²
= 8² + 2² 
= 64 + 4 
= 68

প্রশ্ন: 2√2 x³ + 125 এর উৎপাদকের বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
2√2 x³ + 125
= √2.√2.√2.x³ + (5)³
= (√2 x)³ + 5³
= (√2 x + 5) {(√2 x)² - (√2 x)(5) + 5²}  [∵ a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)]
= (√2 x + 5)(2x² - 5√2 x + 25)

প্রশ্ন: x³ - 7x² + 14x - 8 রাশিটির একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x³ - 7x² + 14x - 8
x = 2 বসিয়ে দেখি,
f(2) = 2³ - (7 × 2²) + (14 × 2) - 8
= 8 - 28 + 28 - 8
= 0

অতএব, (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক।