প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (আর্কাইভ)

প্রশ্ন: T = {y: y জোড় সংখ্যা এবং 1 ≤ y ≤ 7} সেটটি তালিকা পদ্ধতিতে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
সেটটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: y জোড় সংখ্যা, অর্থাৎ 2, 4, 6, 8 …
সীমা: 1 ≤ y ≤ 7
তাই তালিকার প্রথম কয়েকটি উপাদান হবে: 2, 4, 6, 

∴ সঠিক তালিকার প্রথম তিনটি উপাদান হলো {2, 4, 6}

প্রশ্ন: 5 ≤ 3p + 1 < 16 অসমতাটির সমাধান হচ্ছে:

সমাধান:
5 ≤ 3p + 1 < 16
= 5 - 1 ≤ 3p + 1 - 1 < 16 - 1
= 4 ≤ 3p < 15
= 4/3 ≤ p < 15/3
= 4/3 ≤ p < 5

∴ অসমতাটির সমাধান [4/3, 5)

প্রশ্ন: 2x² + yx + 8 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে y এর মান কত?

সমাধান:
এখানে a = 2, b = y, c = 8
সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে
∴ b² - 4ac = 0
⇒ y² - 4 × 2 × 8 = 0
⇒ y² - 64 = 0
⇒ y² = 64
⇒ y = ± 8

প্রশ্ন: 20 বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের 4 গুণ ছিলো। 4 বছর পরে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ হবে। বর্তমানে পুত্রের বয়স হচ্ছে:

সমাধান:
ধরি, 
পিতার বর্তমান বয়স = a বছর
পুত্রের বর্তমান বয়স = b বছর

১ম শর্তানুসারে,  a - 20 = 4(b - 20)
⇒ a - 20 = 4b - 80
⇒ a = 4b - 60 ........ (1)

২য় শর্তানুসারে, a + 4 = 2(b + 4)
⇒ 4b - 60 + 4 = 2b + 8
⇒ 4b - 2b = 8 + 56
⇒ 2b = 64
∴ b = 32
অতএব, পুত্রের বর্তমান বয়স = 32 বছর

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + ........................ + 38 = কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
পদসংখ্যা, n = 38
সাধারণ অন্তর, d = 2 - 1
= 1

∴ সমষ্টি = (n/2)/{2a + (n - 1)d}
= (38/2){2 · 1 + (38 - 1)1}
= 19(2 + 37)
= 19 × 39
= 741

প্রশ্ন: g(x) = x² + x - 6 এবং g(x) = 0 হলে, x এর মান হচ্ছে:

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
g(x) = x² + x - 6
আবার,
g(x) = 0

এখন,
x² + x - 6 = 0
⇒ x² + 3x - 2x - 6 = 0
⇒ x(x + 3) - 2(x + 3)= 0
⇒ (x + 3)(x - 2)= 0
∴ x = 2, - 3

প্রশ্ন: যদি 2^4b = 256 হয়, তবে (√3)^b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ 2^4b = 256
⇒ 2^4b = 2⁸
⇒ 4b = 8
⇒ b = 8/4
∴ b = 2

প্রদত্ত রাশি,
= (√3)^b
= (√3)²
= 3

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 5 এবং সপ্তম পদটি 55 হলে, দশম পদটি কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a
এবং সাধারণ অন্তর, d হলে
n তম পদ = a + (n - 1)d

এখানে,
পঞ্চম পদ = 55
∴ a + (7 - 1)5 = 55
⇒ a + 30 = 55
⇒ a = 55 - 30
⇒ a = 25

∴ নবম পদ = 25 + (10 - 1) × 5
= 25 + 45
= 70

প্রশ্ন: - 3 < Y < 5 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ করলে কত হবে? 

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (- 3 + 5)/2 = 1

এখন,
-3 < Y < 5
⇒ - 3 - 1 < Y - 1 < 5 - 1 [উভয়পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে]
⇒ - 4 < Y - 1 < 4
⇒ |Y - 1| < 4

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |Y - 1| < 4

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 16 ও 8 হলে, ধারাটির অষ্টম পদ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 16
দ্বিতীয় পদ = 8

∴ অনুপাত, r = 8/16
= 1/2

∴ অষ্টম পদ = ar^{8 - 1} = ar⁷
= 16 × (1/2)⁷
= 16/128
= 1/8

প্রশ্ন: (√5)^{2c + 4} = 125 হলে, c এর মান কত?

সমাধান:
(√5)^{2c + 4} = 125
⇒ 5^{(2c+4)/2} = 5³
⇒ (2c + 4)/2 = 3
⇒ (2c + 4) = 6
⇒ 2c = 6 - 4
⇒ 2c = 2
∴ c = 1

প্রশ্ন: ax² + bx + c = 0 সমীকরণটির উভয় মূল মূলদ হওয়ার শর্ত হলো-

সমাধান: 
ax² + bx + c = 0 সমীকরণের b² – 4ac কে দ্বিঘাত সমীকরণটির নিশ্চায়ক বলে।
এটি দ্বারা সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরণ ও প্রকৃতি নির্ণয় করা হয়।

নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি:
ধরি a, b, c মূলদ সংখ্যা হয় তাহলে,

• b² – 4ac ; পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
• b² - 4ac > 0; কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
• b² – 4ac = 0; হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে
• b² – 4ac < 0; ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

প্রশ্ন: 2log₂₀5 + log₂₀8 + (1/2)log₂₀4 = কত হবে? 

সমাধান:
2log₂₀5 + log₂₀8 + (1/2)log₂₀4
= log₂₀(5²) + log₂₀8 + log₂₀(2²)^1/2
= log₂₀25 + log₂₀8 + log₂₀2
= log₂₀(25 × 8 × 2)
= log₂₀400
= log₂₀20²
= 2log₂₀20
= 2

প্রশ্ন: 4p + 6 ≥ 2p - 8 হলে p এর মান কত?

সমাধান:
4p + 6 ≥ 2p - 8
⇒ 4p - 2p + 6 ≥ - 8
⇒ 2p + 6 ≥ - 8
⇒ 2p ≥ - 8 - 6
⇒ 2p ≥ - 14
⇒ p ≥ - 7

প্রশ্ন: কোনো ক্লাসে ২৫০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ১৫০ জন পদার্থবিজ্ঞানে, ১৭০ জন রসায়নে এবং ১২০ জন উভয় বিষয়ে পাস করেছে।  তাহলে কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
মোট শিক্ষার্থী = ২৫০ জন

শুধুমাত্র পদার্থবিজ্ঞানে পাস করেছে = (১৫০ - ১২০) জন = ৩০ জন
শুধুমাত্র রসায়নে পাস করেছে = (১৭০ - ১২০) জন = ৫০ জন

যেকোনো একটি বা উভয় বিষয়ে পাস করেছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা
= (৩০ + ৫০ + ১২০) জন = ২০০ জন

উভয় বিষয়ে ফেল করেছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা
= (মোট শিক্ষার্থী - যেকোনো একটি বা উভয় বিষয়ে পাস করা শিক্ষার্থী)
= (২৫০ - ২০০) জন = ৫০ জন

সুতরাং, ৫০ জন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে।

প্রশ্ন: 3 + 3√2 + 6 + 6√2 + ........................................ ধারাটির কোন পদ 192 হবে?

সমাধান:
ধারাটি গুণোত্তর ধারা।
কারণ এদের সাধারণ অনুপাত r = ২য় পদ/১ম পদ = 3√2/3 = √2
১ম পদ a = 3
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

শর্তমতে,
ar^{n - 1} = 192
⇒ 3 × (√2)^{n - 1} = 192
⇒ (√2)^{n - 1} = 64
⇒ (2^1/2)^{n - 1} = 2⁶
⇒ 2^{(n - 1)/2} = 6
⇒ (n - 1)/2 = 6
⇒ n - 1 = 12
∴ n = 13

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর অনুক্রমে ৬ষ্ঠ পদটি 36 এবং প্রথম 6টি পদের যোগফল 144 হলে, প্রথম পদটি কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারন অন্তর = d
∴ a + (6 - 1)d = 36
⇒ a + 5d = 36 .......... (1)

এবং (6/2){2a + (6 - 1)d} = 144
⇒ 2a + 5d = 48 ........ (2)

(2) নং (1) নং হতে পাই,
2a + 5d - a - 5d = 48 - 36
∴ a = 12

প্রশ্ন: log₁₀(a²/bc) + log₁₀(b²/ac) + log₁₀(c²/ab) = মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= log₁₀(a²/bc) + log₁₀(b²/ac) + log₁₀(c²/ab)
= log₁₀{(a²/bc) × (b²/ac) × (c²/ab)}
= log₁₀{(a² × b² × c²)/(a² × b² × c²)
= log₁₀1
= 0

প্রশ্ন: 3q - 7 ≤ - 1 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
3q - 7 ≤ - 1
⇒ 3q - 7 + 7 ≤ - 1 + 7
⇒ 3q ≤ 6
⇒ 3q/3 ≤ 6/3
⇒ q ≤ 2

∴ নির্ণেয় সমাধান: q ≤ 2
এবং সমাধান সেট, S = {q ∈ R: x ≤ 2}

প্রশ্ন: 5 + (5/6) + (5/36) + .............................. ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ = 5
২য় পদ = 5/6

সুতরাং, ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১মপদ
= (5/6)/5
= (5/6) × (1/5)
= 1/6

প্রশ্ন: B = {1, 2, 3, 4, 5} হলে, B এর প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা হবে:

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = {1, 2, 3, 4, 5}

আমরা জানি,
কোন সেটের প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1 
এখানে, 
n = সেটের উপাদান সংখ্যা = 3 

∴ প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1 
= 2⁵ - 1 
= 32 - 1 
= 31 

প্রশ্ন: যদি a + 3b = 6 এবং ab = 3 হয়, তাহলে a এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + 3b = 6 ....... (1)
এবং, ab = 3
⇒ b = 3/a ......... (2)

(1) নং সমীকরণে b এর মান বসিয়ে পাই,
a + 3 × (3/a) = 6
⇒ a + (9/a) = 6
⇒ (a² + 9)/a = 6
⇒ a² + 9 = 6a
⇒ a² - 6a + 9 =0
⇒ a² - 2 · a · 3 + 3² = 0
⇒ (a - 3)² = 0
⇒ a - 3 = 0
∴ a = 3

প্রশ্ন: q^{- 3} = 0.2 হলে, q⁶ এর মান কত হবে? 

সমাধান:
q^{- 3} = 0.2
⇒ 1/q³ = 2/10
⇒ 1/q³ = 1/5
∴ q³ = 5

অতএব, q⁶ = (q³)² = 5² = 25

প্রশ্ন: 213 + 173 +______+ 93, শূন্যস্থানে কোন সংখ্যাটি হবে?

সমাধান:
ধারাটির,
১ম পদ = 213
২য় পদ = 213 - 40 = 173
৩য় পদ = 173 - 40 = 133
৪র্থ পদ = 133 - 40 = 93

প্রশ্ন: U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, P = {a, b, c, d, e}, Q = {b, d, f, h} হলে, P´ ∩ Q´ হবে?

সমাধান:
P´ = U - P
= {a, b, c, d, e, f, g, h} - {a, b, c, d, e}
= {f, g, h}

Q´ = U - Q
= {a, b, c, d, e, f, g, h} - {b, d, f, h}
= {a, c, e, g}

∴ P´ ∩ Q´ = {f, g, h} ∩ {a, c, e, g}
= {g}

প্রশ্ন: মান নির্ণয় করুন:
log_3√2(1/18) = ?

সমাধান:
log_3√2(1/18)
= log_3√2{1/(3√2)²}
= log_3√2 (3√2)⁻²
= (−2)log_3√23√2
= −2

প্রশ্ন: s ≤ (s/2) + 3 এর সমাধান কত?

সমাধান:
s ≤ (s/2) + 3
⇒ 2s ≤ 2{(s/2) + 3}
⇒ 2s ≤ s + 6
⇒ 2s - s ≤ s + 6 - s
⇒ s ≤ 6

প্রশ্ন: মকবুল ও শাহিদের কাছে কিছু চকলেট আছে। মকবুল যদি শাহিদকে 5 টি চকলেট দেয় তাহলে তাদের চকলেট সংখ্যা সমান হয় এবং শাহিদ যদি মকবুলকে 10 টি চকলেট দেয় তাহলে মকবুলের চকলেট সংখ্যা শাহিদের চকলেট সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। মকবুলের কাছে কয়টি চকলেট আছে?

সমাধান:
ধরি,
মকবুলের কাছে চকলেট আছে = a টি
এবং, শাহিদের কাছে চকলেট আছে = b টি

প্রশ্নমতে,
a - 5 = b + 5
∴ b = a - 10 ...... (1)

আবার,
a + 10 = 2(b - 10)
⇒ a + 10 = 2(a - 10 - 10)   [যেহেতু b = a - 10]
⇒ a + 10 = 2(a - 20)
⇒ a + 10 = 2a + 40
∴ a = 50 টি

প্রশ্ন: 2^{t + 7} = 4^{t + 2} এর মান কত?

সমাধান:
2^{t + 7} = 4^{t + 2} 
⇒ 2^{t + 7} = 2^2(t+2)
⇒ 2^{t + 7} =2^{2t + 4}
⇒ t + 7 = 2t + 4
⇒ 2t - t = 7 - 4
⇒ t = 3

প্রশ্ন: S = {1, 2, 3} ও T = Ø হলে S ∩ T = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
S = {1, 2, 3}
T = Ø

S ∩ T = {1, 2, 3} ∩ Ø
= Ø