ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

এখানে, ধারাটির পদ সংখ্যা = (শেষপদ - প্রথম পদ)/সাধারণত অন্তর + ১
= (৪২ - ৬)/৩ + ১
= ১২ + ১
= ১৩
এবং গড় = (৪২ + ৬)/২
= ২৪
সুতরাং সমষ্টি = ১৩ × ২৪
= ৩১২

³√{³√(x³)}
= ³√(x^{3 × 1/3})
= x^1/3

x^-3 - 0.001 = 0
⇒ x^-3 = 0.001
⇒ (1/x)³ = 1/1000
⇒ (1/x)³ = (1/10)³
⇒ x³ = 10³
∴ x = 10
∴ x² = 10² = 100

ধারার প্রথম পদ, a = 8
সাধারণ অন্তর, d = 16 - 8 = 8
পদ সংখ্যা n = 11
আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,
S_n = n/2 × {2a + (n – 1)d}
S₁₁ = 11/2 × {2 × 8 + (11 - 1)8} [n = 11 বসিয়ে]
= 11/2 (16 + 80)
= 11/2 × 96
= 528
∴ ধারাটির প্রথম 11টি পদের সমষ্টি 528

ধরি, গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a
সাধারণ অনুপাত r
∴ ২য় পদ = ar^(2-1) = ar = 25 ........(1)
ষষ্ঠ পদ = ar^(6-1) = ar⁵ = 1/25 .......(2)
(2)÷(1) করে পাই,
r⁴ = (1/5)⁴
⇒ r = 1/5
∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 1/5

ধরি, 2^x = 3^y = 6^-z = k
তাহলে, 2 = k^1/x, 3 = k^1/y এবং 6 = k^-1/z
যেহেতু, 2 × 3 = 6
সেহেতু, k^1/x × k^1/y = k^-1/z
⇒ k^{(1/x + 1/y)} = k^-1/z
⇒ (1/x + 1/y) = -1/z

∴ (1/x + 1/y + 1/z)
= -1/z + 1/z
= 0

5log₁₀5 - log₁₀25
= log₁₀5⁵ - log₁₀5²
= log₁₀(5^5-2)
= log₁₀5³
= log₁₀125

ধারার ১ম পদ a = 5,
সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3
ধরি, ধারার n তম পদ = 383
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 5 + (n-1)3 = 383
⇒ 5 + 3n - 3 = 383
⇒ 3n = 383 - 2
⇒ n = 127
∴ প্রদত্ত ধারার 127 তম পদ = 383 

আমরা জানি, n-তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 18-তম মাসে সঞ্চয় = a + (18 - 1)d
= 1200 + (17 × 100) = 2900 টাকা
 
আবার, প্রথম n-সংখ্যক পদের সমষ্টি 
= n/2 {2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 18 মাসের সঞ্চয় = 18/2 {2 × 1200 + (18 - 1)100}
= 9(2400 + 1700)
= 36900 টাকা 

এখানে, প্রথম পদ, a = ১৫, সাধারণ অন্তর, d = ৫ এবং শেষ পদ = ১৬৫।
সুতরাং পদ সংখ্যা = (শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণত অন্তর + ১
= {(১৬৫ - ১৫)/৫} + ১
= (১৫০/৫) + ১
= ৩০ + ১
= ৩১

মনে করি,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত = r
∴ ২য় পদ ar^2-1 = ar = x
৩য় পদ = ar² = y
৪র্থ পদ = ar³ = z
৫ম পদ = ar⁴ = 243

প্রশ্নমতে, ar⁴ = 243
r⁴ = 243/3 = 81
∴ r = 3
∴ x = ar = 3 × 3 = 9
∴ y = ar² = 3 × 3² = 27 
∴ z = ar³ =  3 × 3³ = 81

∴ x, y, z এর সমষ্টি = 9 + 27 + 81 = 117

64^2/3 + 625^1/2 = 3k
⇒ (4³)^2/3 + (25²)^1/2 = 3k
⇒ 4² + 25 = 3k
⇒ 41 = 3k
⇒ k = 41/3
∴ k = 13(2/3)

এখানে  ১ম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = -1/1 = -1 < 1
আমরা জানি, r  < 1 হলে, 
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = {a(1 - rⁿ)/(1 - r)}
∴ (2n + 1) সংখ্যক পদের সমষ্টি = {a(1 - r²ⁿ⁺¹)} / (1 - r)
= {1 × (1 - (-1)^{2n + 1}) / {1 -(-1)}
= {1 -(-1)} / (1 + 1)
= (1 + 1) / (1 + 1)
= 1

ধারাটির ১ম পদ a = 7,
সাধারণ অন্তর d = 12 - 7 = 5
ধারাটি একটি সমান্তর ধারা। এখানে পদ সংখ্যা n = 30
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি S_n = n/2 × {2a + (n - 1)d}
তাহলে, 30 টি পদের সমষ্টি S₃₀ = (30/2) × {2 × 7 + (30 - 1)5}
= 15 × (14 + 29 × 5)
= 2385