Math Master

'LEADING' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি 
Vowel আছে 3টি 
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি 
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel  তিনটিকে সাজানো যায় =3!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3! 
                                                                           =120 × 6 
                                                                            = 720

ⁿC₂ = (2/5) × ⁿC₄
 n!/2!(n - 2)! = (2/5) × n!/4!(n - 4)!
2×2!(n - 2)! = 5×4!(n - 4)!
2×2!(n - 2)(n - 3)(n - 4)! = 5×4×3×2!×(n - 4)!
2×(n - 2)(n - 3) =5×4×3
(n - 2)(n - 3) = 30
n² - 5n + 6 - 30 = 0
n² - 5n  - 24 = 0
n² - 8n + 3n - 24 = 0
n(n - 8) + 3(n - 8) - 24 = 0
(n - 8)(n + 3) = 0 

হয়                   অথবা 
n - 8  = 0             n + 3 = 0 
n = 8                      n = - 3 [গ্রহণযোগ্য নয়]

পরিচালকমণ্ডলিতে পুরুষ আছেন = 8 জন  
 পরিচালকমণ্ডলিতে মহিলা আছেন = 6 জন  

8 জন পুরুষের মধ্য থেকে 5 জন পুরুষ নিয়ে বাছাই করার উপায় = ⁸C₅ 
                                                                                                 = 56

6 জন মহিলার মধ্য থেকে 3 জন মহিলা  নিয়ে বাছাই করার উপায় =⁶C₃ 
                                                                                                  = 20
সাব কমিটি গঠন করা যেতে পারে = 56 × 20 
                                                   = 1120

এখানে, 
পোস্ট বক্স n= 4টি
চিঠি r = 5টি

4 টি চিঠি ফেলার উপায় = n^r
                                    = 4⁵
                                    = 1024

4 × ⁿP₃ = 5 × ^{n - 1}P₃
4 × n!/(n - 3)! = 5 × (n - 1)!/ (n - 1 - 3)!
4 × n!/(n - 3)! = 5 × (n - 1)!/ (n - 4)! 
4 ×n(n -1)!/(n - 3)(n - 4)! =  5 × (n - 1)!/ (n - 4)!
4n/(n - 3) = 5 
5n - 15 = 4n 
5n - 4n = 15 
n = 15 

1 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি ⁵C₁ উপায়ে করতে পারেন। 
2 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি ⁵C₂ উপায়ে করতে পারেন। 
3 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি ⁵C₃ উপায়ে করতে পারেন। 
4 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি ⁵C₄ উপায়ে করতে পারেন। 
5 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি ⁵C₅ উপায়ে করতে পারেন। 
 
মোট উপায় সংখ্যা = ⁵C₁ + ⁵C₂ +  ⁵C₃ +⁵C₄+ ⁵C₅
                             = 5 + 10 +10 +5 + 1
                              =31

এখানে, 
মোট অঙ্ক সংখ্যা 6
6টি অঙ্ক থেকে 4টি অঙ্ক নিয়ে গঠিত  সংখ্যা = ⁶P₄ 
                                                                    = 360
0 কে প্রথমে রেখে,
5টি অঙ্ক থেকে 3টি অঙ্ক নিয়ে গঠিত  সংখ্যা = ⁵P₃
                                                                   = 5!/(5 - 3)!
                                                                   = 60 

অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যায় = 360 - 60 = 300

6 জন বিজ্ঞান ছাত্র থেকে 6 জন নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়= ⁶C₆ = 1
6 জন বিজ্ঞান ছাত্র থেকে 5 জন নিয়ে এবং 4 জন কলা বিভাগের ছাত্র থেকে 1 জন নিয়ে
কমিটি গঠনের উপায় = ⁶C₅ × ⁴C₁ 
                                  = 6 × 4
                                  = 24                                                                                                                                   
                                                                                                                                                                       
6 জন বিজ্ঞান ছাত্র থেকে 4 জন নিয়ে এবং 4 জন  কলা বিভাগের ছাত্র থেকে 2 জন নিয়ে
কমিটি গঠনের উপায় = ⁶C₄ × ⁴C₂
                                = 15 × 6
                               = 90                                                                                                                                   

কমিটি গঠনের মোট উপায় = (1 + 24 + 90)
                                         = 115

CALCULUS শব্দে 8টি  বর্ণ আছে।  যেখানে 
L = 2 টি
U =2টি
C = 2 টি
১ম ও শেষ অক্ষর U, বাকী থাকবে 6টি অক্ষর

∴ সাজানো যাবে = 6!/(2!2!)
                         = 180 উপায়ে

পুরুষ = 4 জন
মহিলা = 7 জন

4জন পুরুষ থেকে 1 জন ও 7 জন মহিলা থেকে 4 জন নিয়ে কমিটি গঠনের উপায় = ⁴C₁ × ⁷C₄
                                                                                                                            = 4 × 35 = 140
4 জন পুরুষ থেকে 2 জন ও 7 জন মহিলা থেকে 3 জন নিয়ে কমিটি গঠনের উপায় =  ⁴C₂ × ⁷C₃
                                                                                                                             = 6 × 35 = 210
মোট কমিটি সংখ্যা = 140 + 210 
                              = 350  

প্রার্থীর সংখ্যা n = 3 জন 
ভোটার  সংখ্যা r = 5 জন 

তাঁরা ভোট দিতে পারবেন =n^r
                                        = 3⁵
                                        = 243

মোট ব্যক্তি = 10 জন 
ভদ্র মহিলা 4 জন 
ভদ্র পুরুষ 10- 4 = 6 জন 

4 জন ভদ্র মহিলা থেকে 4 জন এবং 6 জন ভদ্র পুরুষ থেকে 1 জন নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়=  ⁴C₄ × ⁶C₁= 1 × 6 = 6
4 জন ভদ্র মহিলা থেকে 3 জন এবং 6 জন ভদ্র পুরুষ থেকে 2 জন নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়=⁴C₃ × ⁶C₂ = 4×15 =60
4 জন ভদ্র মহিলা থেকে 2 জন এবং 6 জন ভদ্র পুরুষ থেকে 3 জন নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়=⁴C₂ × ⁶C₃ = 6 × 20 = 120


কমিটি গঠনের উপায়= 6 + 60 +120  = 186

ধরি,
সভায় মোট লোক ছিল = n, 

∴ মোট করমর্দন ⁿc₂ = 55
বা, {(n)(n - 1)}/2 = 55
বা, (n² - n)/2 = 55
বা, n² - n = 110
বা, n² - n - 110 = 0
বা, n² - 11n + 10n - 110 = 0
বা, n(n - 11) + 10(n - 11) = 0
বা, (n - 11)(n + 10) = 0

হয়                                অথবা 
n - 11 = 0                     n + 10 = 0
n = 11                            n = - 10 [গ্রহণযোগ্য নয় ]

বাহন (1)                      বাহন (2)
i) 7                                         2
ii) 6                                         3
iii) 5                                        4

i) নং এর জন্য বাছাই সংখ্যা = ⁹C₇ × ²c₂
                                          =36 ×1 
                                          = 36 
ii) নং এর জন্য বাছাই সংখ্যা = ⁹C₆׳C₃
                                           = 84 ×1
                                            = 84
iii) নং এর জন্য বাছাই সংখ্যা = ⁹C₅×⁴C₄
                                            = 126×1
                                            = 126

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 36 + 84 + 126 = 246

'Daughter' শব্দটিতে 8 টি বর্ণ রয়েছে
যাদের মধ্যে 3টি স্বরবর্ণ।

8 টি বর্ণকে সাজানো যায় =8! =  40320

 স্বরবর্ণ 3টিকে 1টি ধরে মোট বর্ণ হয় 6টি 
6টি বর্ণকে সাজানো যায় = 6!
 স্বরবর্ণ 3টিকে সাজানো যায় = 3! 

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 6! × 3!
                                                                 = 720 × 6 
                                                                  = 4320
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 40320 - 4320
                                                                      = 36000