১.
x²-y²+2y-1 এর একটি উৎপাদক-
ব্যাখ্যা
x²-y²+2y-1
= x²-(y²-2y+1)
= (x)²-(y-1)²
= (x+y-1)(x-y+1)
= x²-(y²-2y+1)
= (x)²-(y-1)²
= (x+y-1)(x-y+1)
Math Master
মোট প্রশ্ন২২
সিলেবাস
বহুপদী উৎপাদক
Math Master
Math Master · তারিখ অনির্ধারিত · ২২ প্রশ্ন
২.
3x³+2x²-21x-20 রাশিটির একটি উৎপাদক-
ব্যাখ্যা
ধরি, f(x) = 3x³+2x²-21x-20
বা, f(-1) = 3.(-1)³+2.(-1)²-21.(-1)-20
= -3+2+21-20
= 0
x = -1 হলে রাশিটির মান শুন্য হয়।
∴ (x+1), f(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, 3x³+2x²-21x-20
= 3x³+3x²-x²-x-20x-20
= (x+1)(3x²-x-20)
বা, f(-1) = 3.(-1)³+2.(-1)²-21.(-1)-20
= -3+2+21-20
= 0
x = -1 হলে রাশিটির মান শুন্য হয়।
∴ (x+1), f(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, 3x³+2x²-21x-20
= 3x³+3x²-x²-x-20x-20
= (x+1)(3x²-x-20)
৩.
a4+4 এর উৎপাদক কি কি?
ব্যাখ্যা
a4+4
= (a²)²+2.a².2+2²-4a²
= (a²+2)²-(2a)²
= (a²+2a+2)(a²-2a+2)
= (a²)²+2.a².2+2²-4a²
= (a²+2)²-(2a)²
= (a²+2a+2)(a²-2a+2)
৪.
f(x) = x³+kx²-6x+18; k এর মান কত হলে f(3) = 0 হবে?
ব্যাখ্যা
f(x) = x³+kx²-6x+18
বা, f(3) = 3³+k(3)²-6(3)+18
= 27+9k-18+18
= 9k+27
শর্তমতে, f(3) = 0
বা, 9k+27 = 0
বা, 9k = -27
∴ k = -3.
বা, f(3) = 3³+k(3)²-6(3)+18
= 27+9k-18+18
= 9k+27
শর্তমতে, f(3) = 0
বা, 9k+27 = 0
বা, 9k = -27
∴ k = -3.
৫.
9x²+18x-40 এর উৎপাদক হবে?
ব্যাখ্যা
9x²+18x-40
= (3x)²+2.3x.3+(3)²-40-9
= (3x+3)²-(7)²
= (3x+10)(3x-4)
= (3x)²+2.3x.3+(3)²-40-9
= (3x+3)²-(7)²
= (3x+10)(3x-4)
৬.
x4-5x³+7x²-a বহুপদীর একটি উৎপাদক x-2 হলে, a এর মান নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা
ধরি, f(x) = x4-5x³+7x²-a
যেহেতু (x-2), f(x) একটি উৎপাদক।
∴ x-2 = 0
⇒ x = 2 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।
এখন f(x) = x4-5x³+7x²-a
∴ f(2) = 24-5.2³+7.2²-a
= 4-a
শর্তমতে, f(2) = 0
বা, 4-a = 0
∴ a = 4.
যেহেতু (x-2), f(x) একটি উৎপাদক।
∴ x-2 = 0
⇒ x = 2 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।
এখন f(x) = x4-5x³+7x²-a
∴ f(2) = 24-5.2³+7.2²-a
= 4-a
শর্তমতে, f(2) = 0
বা, 4-a = 0
∴ a = 4.
৭.
18a³b4c5, 42a4c³d4, 60b³c4d5 এবং 78a²b4d³ এর গ.সা.গু-
ব্যাখ্যা
এখানে, 18, 42, 60, 78 এর গ.সা.গু. = 6
এবং a³, a4, 1, a² এর গ.সা.গু. = 1
b4, 1, b³, b4 এর গ.সা.গু. = 1
c5, c³, c4, 1 এর গ.সা.গু. = 1
1, d4, d5, d³ এর গ.সা.গু. = 1
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = 6.
এবং a³, a4, 1, a² এর গ.সা.গু. = 1
b4, 1, b³, b4 এর গ.সা.গু. = 1
c5, c³, c4, 1 এর গ.সা.গু. = 1
1, d4, d5, d³ এর গ.সা.গু. = 1
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = 6.
৮.
a³+b³, (a+b)³, (a²-b²)² এবং (a²-ab+b²)² এর ল.সা.গু-
ব্যাখ্যা
১ম রাশি, a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
২য় রাশি, (a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b)
৩য় রাশি, (a²-b²)² = {(a+b)(a-b)}²
= (a+b)(a+b)(a-b)(a-b)
৪র্থ রাশি, (a²-ab+b²)² = (a²-ab+b²)(a²-ab+b²)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = (a+b)(a+b)(a+b)(a-b)(a-b)(a²-ab+b²)(a²-ab+b²)
= (a-b)²(a+b)³(a²-ab+b²)²
২য় রাশি, (a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b)
৩য় রাশি, (a²-b²)² = {(a+b)(a-b)}²
= (a+b)(a+b)(a-b)(a-b)
৪র্থ রাশি, (a²-ab+b²)² = (a²-ab+b²)(a²-ab+b²)
∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = (a+b)(a+b)(a+b)(a-b)(a-b)(a²-ab+b²)(a²-ab+b²)
= (a-b)²(a+b)³(a²-ab+b²)²
৯.
x²+(1/x²) = 3 হলে, (x6+1)/x³ এর মান কত?
ব্যাখ্যা
(x+(1/x))² - 2.x.(1/x) = 3
⇒ (x+(1/x))² = 5
⇒ x+(1/x) = √5
প্রদত্ত রাশি, (x6+1)/x³
= (x6/x³)+(1/x³)
= x³+(1/x³)
= (x+(1/x))³-3.x.(1/x)(x+(1/x))
= (√5)³-3√5
= 2√5.
১০.
a³+3a+36 উৎপাদকে বিশ্লেষণ-
ব্যাখ্যা
a³+3a+36
= a³+27+3a+9
= (a)³+(3)³+3(a+3)
= (a+3)(a²-3a+9)+3(a+3)
= (a+3)(a²-3a+12)
= a³+27+3a+9
= (a)³+(3)³+3(a+3)
= (a+3)(a²-3a+9)+3(a+3)
= (a+3)(a²-3a+12)
১১.
a4-4a+3 উৎপাদকে বিশ্লেষণ-
ব্যাখ্যা
মনেকরি, f(a) = a4-4a+3
∴ f(1) = (1)4-4(1)+3 = 0
∴ ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে, (a-1), f(a) এর একটি উৎপাদক।
∴ প্রদত্ত রাশি = a4-4a+3
= a4-a³+a³-a²+a²-a-3a+3
= a³(a-1)+a²(a-1)+a(a-1)-3(a-1)
= (a-1)(a³+a²+a-3)
= (a-1)²(a²+2a+3)
∴ f(1) = (1)4-4(1)+3 = 0
∴ ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে, (a-1), f(a) এর একটি উৎপাদক।
∴ প্রদত্ত রাশি = a4-4a+3
= a4-a³+a³-a²+a²-a-3a+3
= a³(a-1)+a²(a-1)+a(a-1)-3(a-1)
= (a-1)(a³+a²+a-3)
= (a-1)²(a²+2a+3)
১২.
x³+6x²y+11xy²+6y³ এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?
ব্যাখ্যা
x³+6x²y+11xy²+6y³
= x³+x²y+5x²y+5xy²+6xy²+6y³
= (x+y)(x+2y)(x+3y)
= x³+x²y+5x²y+5xy²+6xy²+6y³
= (x+y)(x+2y)(x+3y)
১৩.
x²+x-(a+1)(a+2) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।
ব্যাখ্যা
x²+x-(a+1)(a+2)
= x²+x-(a+1)(a+1+1)
= x²+x-p(p+1) [ধরি, (a+1) = p]
= x²+x-p²-p
= x²+p²+x-p
= (x-p)(x+p)+(x-p)
= (x-p)(x+p+1)
= {x-(a+1)} {x+(a+1)+1} [মান বসিয়ে]
= (x+a+2)(x-a-1)
= x²+x-(a+1)(a+1+1)
= x²+x-p(p+1) [ধরি, (a+1) = p]
= x²+x-p²-p
= x²+p²+x-p
= (x-p)(x+p)+(x-p)
= (x-p)(x+p+1)
= {x-(a+1)} {x+(a+1)+1} [মান বসিয়ে]
= (x+a+2)(x-a-1)
১৪.
x³-7x-6 এর উৎপাদক কত?
ব্যাখ্যা
x³-7x-6
= x³+x²-x²-x-6x-6
= x²(x+1)-x(x+1)-6(x+1)
= (x+1)(x²-x-6)
= (x+1)(x+2)(x-3)
= x³+x²-x²-x-6x-6
= x²(x+1)-x(x+1)-6(x+1)
= (x+1)(x²-x-6)
= (x+1)(x+2)(x-3)
১৫.
x6-y6 এর উৎপাদক নির্ণয় করুন।
ব্যাখ্যা
x6-y6 = (x³)²-(y³)²
= (x³+y³)(x³-y³)
= (x+y)(x-y)(x²+xy+y²)(x²-xy+y²)
= (x³+y³)(x³-y³)
= (x+y)(x-y)(x²+xy+y²)(x²-xy+y²)
১৬.
(a-b)³+(b-c)³+(c-a)³ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।
ব্যাখ্যা
(a-b)³+(b-c)³+(c-a)³
= a³-3a²b+3ab²-b³+b³-3b²c+3bc²-c³+c³+3c²a+3ca²-a³
= 3(ab²-c²a-a²b+ca²-b²c+bc²)
= 3{a(b²-c²)-a²(b-c)-bc(b-c)}
= 3(b-c){a(b+c)-a²-bc}
= 3(b-c)(ab+ac-a²-bc)
= 3(a-b)(b-c)(c-a)
= a³-3a²b+3ab²-b³+b³-3b²c+3bc²-c³+c³+3c²a+3ca²-a³
= 3(ab²-c²a-a²b+ca²-b²c+bc²)
= 3{a(b²-c²)-a²(b-c)-bc(b-c)}
= 3(b-c){a(b+c)-a²-bc}
= 3(b-c)(ab+ac-a²-bc)
= 3(a-b)(b-c)(c-a)
১৭.
7x³-8x²+6x-36 বহুপদীর একটি উৎপাদক-
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে, 7x³-8x²+6x-36
এখানে, P(2) = 7(2)³-8(2)²+6(2)-36
= 56-32+12-36 = 0
∴ (x-2), P(x) এর একটি উৎপাদক।
এখানে, P(2) = 7(2)³-8(2)²+6(2)-36
= 56-32+12-36 = 0
∴ (x-2), P(x) এর একটি উৎপাদক।
১৮.
নিচের কোনটি x³+7x²-x-7 এবং 2x4-x²-1 উভয় বহুপদীর সাধারণ উৎপাদক?
ব্যাখ্যা
ধরি, P(x) = x³+7x²-x-7
এবং Q(x) = 2x4-x²-1
এখন, P(-1) = (-1)³+7(-1)²-(-1)-7 = 0
∴ (x+1), P(x) এর উৎপদক।
Q(-1) = 2(-1)4-(-1)²-1 = 0
∴ (x+1), Q(x) এর উৎপদক।
আবার, P(1) = (1)³+7(1)²-1-7 = 0
∴ (x-1), P(x) এর উৎপদক।
Q(1) = 2(1)4-(1)²-1 = 0
∴ (x-1), Q(x) এর উৎপদক।
∴ (x+1) এবং (x-1) উভয়েই x³+7x²-x-7 এবং 2x4-x²-1 বহুপদীদ্বয়ের উৎপাদক।
এবং Q(x) = 2x4-x²-1
এখন, P(-1) = (-1)³+7(-1)²-(-1)-7 = 0
∴ (x+1), P(x) এর উৎপদক।
Q(-1) = 2(-1)4-(-1)²-1 = 0
∴ (x+1), Q(x) এর উৎপদক।
আবার, P(1) = (1)³+7(1)²-1-7 = 0
∴ (x-1), P(x) এর উৎপদক।
Q(1) = 2(1)4-(1)²-1 = 0
∴ (x-1), Q(x) এর উৎপদক।
∴ (x+1) এবং (x-1) উভয়েই x³+7x²-x-7 এবং 2x4-x²-1 বহুপদীদ্বয়ের উৎপাদক।
১৯.
x4-5x³+7x²-a বহুপদীর একটি উৎপাদক x-2 হলে, a এর মান কোনটি?
ব্যাখ্যা
ধরি, P(x) = x4-5x³+7x²-a
(x-2), P(x) এর একটি উৎপাদক হলে,
P(2) = 0
বা, (2)4-5(2)³+7(2)²-a = 0
বা, 16-40+28-a = 0
∴ a = 4.
(x-2), P(x) এর একটি উৎপাদক হলে,
P(2) = 0
বা, (2)4-5(2)³+7(2)²-a = 0
বা, 16-40+28-a = 0
∴ a = 4.
২০.
কোনটি x³+4x²+x-6 এর গুণনীয়ক নয়?
ব্যাখ্যা
ধরি, f(x) = x³+4x²+x-6
∴ f(1) = (1)³+4(1)²+1-6 = 0
(x-1), f(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, x³+4x²+x-6
= x³-x²+5x²-5x+6x-6
= x²(x-1)+5x(x-1)+6(x-1)
= (x-1)(x²+5x+6)
= (x-1)(x+2)(x+3)
∴ নির্ণেয় উৎপাদকঃ (x-1)(x+2)(x+3)
∴ f(1) = (1)³+4(1)²+1-6 = 0
(x-1), f(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, x³+4x²+x-6
= x³-x²+5x²-5x+6x-6
= x²(x-1)+5x(x-1)+6(x-1)
= (x-1)(x²+5x+6)
= (x-1)(x+2)(x+3)
∴ নির্ণেয় উৎপাদকঃ (x-1)(x+2)(x+3)
২১.
a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b) বহুপদীর একটি উৎপাদক-
ব্যাখ্যা
a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)
= a²b-ca²+b²c-ab²+c²(a-b)
= a²b-ab²-ca²+b²c+c²(a-b)
= ab(a-b)-c(a²-b²)+c²(a-b)
= (a-b){ab-c(a+b)+c²}
= -(a-b)(b-c)(c-a)
∴ নির্ণেয় উৎপাদকঃ -(a-b)(b-c)(c-a)
= a²b-ca²+b²c-ab²+c²(a-b)
= a²b-ab²-ca²+b²c+c²(a-b)
= ab(a-b)-c(a²-b²)+c²(a-b)
= (a-b){ab-c(a+b)+c²}
= -(a-b)(b-c)(c-a)
∴ নির্ণেয় উৎপাদকঃ -(a-b)(b-c)(c-a)
২২.
a3 (b–c) + b3 (c–a) + c3 (a–b) এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ -
ব্যাখ্যা
a3 (b–c) + b3 (c–a) + c3 (a–b)
= a3 (b–c) + b3 c –ab3 + ac3 –bc3
= a3 (b–c) – a(b3 –c3 ) + bc(b2 –c2)
= (b–c) {a3 – a (b2 + bc + c2 )+ bc(b+c)}
= (b–c) (a3 – ab2 – abc – ac2 + b2c + bc2 )
= (b–c) { – b2 (a –c) – bc (a– c)+ a (a2 – c2)}
= (b–c) (a –c) (– b2 – bc+ a2 + ac)
= (b–c) (a– c) {c (a – b) + (a2 – b2 )}
= (b–c) (a– c) (a –b) (c+a+b)