১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

প্রশ্ন: নিচের কোনটি বাস্তব সংখ্যা নয়?

সমাধান:
√(- 4) একটি কাল্পনিক সংখ্যা কারণ এর মান 2i, যেখানে i একটি কাল্পনিক একক।

∴ √(- 4) বাস্তব সংখ্যা নয়।

প্রশ্ন: 15, 30 এবং 6 এর ল.সা.গু ও গ.সা.গু হল-

সমাধান:
মৌলিক উৎপাদক বের করা
15 এর মৌলিক উৎপাদক:
15 = 3 × 5

30 এর মৌলিক উৎপাদক:
30 = 2 × 3 × 5

6 এর মৌলিক উৎপাদক:
6 = 2 × 3

গ.সা.গু বের করার জন্য প্রতিটি মৌলিক সংখ্যার সর্বনিম্ন ঘাত বের করতে হবে।
3 এর সর্বনিম্ন ঘাত হল 31
5 এর সর্বনিম্ন ঘাত হল 5⁰ (যেহেতু 6 এ 5 এর কোন উৎপাদক নেই)
2 এর সর্বনিম্ন ঘাত হল 2⁰ (যেহেতু 15 এ 2 এর কোন উৎপাদক নেই)
তাহলে, গ.সা.গু হবে:
3¹ × 5⁰ × 2⁰ = 3


ল.সা.গু বের করার জন্য প্রতিটি মৌলিক সংখ্যার সর্বোচ্চ ঘাত বের করতে হবে।
3 এর সর্বোচ্চ ঘাত হল 3¹
5 এর সর্বোচ্চ ঘাত হল 5¹
2 এর সর্বোচ্চ ঘাত হল 2¹
তাহলে, ল.সা.গু হবে:
3¹ × 5¹ × 2¹ = 30

প্রশ্ন: প্রতি কেজি চালের বর্তমান মূল্য ৬০ টাকা। পূর্বে এই মূল্য ছিল ৫৪ টাকা। পরিবারের খরচ একই রাখতে শতকরা চালের ব্যবহার কমাতে হবে-

সমাধান:
বর্তমান মূল্য ৬০ টাকা হলে পূর্বমূল্য ৫৪ টাকা
বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্বমূল্য ৫৪/৬০ টাকা
বর্তমান মূল্য ৫৪ টাকা হলে পূর্বমূল্য (৫৪ × ৫৪)/৬০ টাকা
= ৪৮.৬ টাকা

ধরি,
৫৪ টাকায় চাল পাওয়া যায় ক কেজি
∴ ১ টাকায় চাল পাওয়া যায় ক/৫৪ কেজি
∴ ৪৮.৬ টাকায় চাল পাওয়া যায় (৪৮.৬ক)/৫৪ কেজি

ব্যবহার কমাতে হয় = ক - (৪৮.৬ক)/৫৪ কেজি
= ৫.৪ক/৫৪ কেজি

শতকরা কমাতে হবে = {(৫.৪ক/৫৪)/ক} × ১০০%
= (৫.৪/৫৪) × ১০০%
= ১০%

প্রশ্ন: যখন সুদের হার কমে বার্ষিক ১৩% থেকে ১২.৫% হয় তখন ১০৪ টাকা ক্ষতি হয় বার্ষিক রোজগারে। মূলধন কত ছিলো?

সমাধান:
সুদের হার কমে = (১৩ - ১২.৫) টাকা
= ০.৫ টাকা

০.৫ টাকা কমলে মূলধন = ১০০ টাকা
১ টাকা কমলে মূলধন = ১০০/০.৫ টাকা
১০৪ টাকা কমলে মূলধন = (১০০ × ১০৪)/০.৫ টাকা
= ২০৮০০ টাকা

প্রশ্ন: অজয় এবং বিজয়ের বয়সের অনুপাত হল ৩ : ৪। পাঁচ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত দাঁড়াবে ৪ : ৫। বর্তমানে বিজয়ের বয়স কত?

সমাধান:
বর্তমানে অজয়ের বয়স ৩ক বছর
বর্তমানে বিজয়ের বয়স ৪ক বছর

প্রশ্নমতে,
(৩ক + ৫)/(৪ক + ৫) = ৪/৫
বা, ১৫ক + ২৫ = ১৬ক + ২০
বা, ক = ৫

∴ বর্তমানে বিজয়ের বয়স ৪ × ৫ = ২০ বছর

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি একটি দ্রব্য ৩৫৫০ টাকায় বিক্রি করেন ও তার ক্ষতি হয় ১৯%। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত টাকার কাছাকাছি ছিলো?

সমাধান:
১৯% ক্ষতিতে, ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১০০ - ১৯) টাকা 
= ৮১ টাকা 

বিক্রয়মূল্য ৮১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা 
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/৮১ টাকা 
∴ বিক্রয়মূল্য ৩৫৫০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৩৫৫০)/৮১ টাকা
= ৪৩৮২.৭১ টাকা 
≈ ৪৩৮৩ টাকা

প্রশ্ন: একটি সুষম দশভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ হবে-

সমাধান:
বহুভুজের একটি বহিস্থ কোণ = ৩৬০/বাহু সংখ্যা,
এখানে বহিস্থ কোণ = ৩৬০/১০ = ৩৬
তাহলে অন্তস্থ কোণ হবে ১৮০ - ৩৬ = ১৪৪ (যেহেতু ১টি অন্তস্থ + ১টি বহিস্থ = ১৮০)
এখন ১৪৪ ডিগ্রি কোণ হলো স্থূল কোণ ।

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G, ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৭৫ বর্গএকক হলে, BGC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
 
সমাধান:

ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র ত্রিভুজকে সমান তিনভাগে ভাগ করে।
BGC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/৩) × ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/৩) × ৭৫ = ২৫ বর্গএকক

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি তার ব্যাসের চেয়ে ১৫ সেন্টিমিটার বেশি। বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r 

প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 15
⇒ 2r(22/7 - 1) = 15
⇒ 2r(15/7) = 15
⇒ 2r = 7
∴ r = 3.5

প্রশ্ন: দুটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪০ সে.মি. এবং ৩২ সে.মি.। এই দুটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের পার্থক্যের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
১ম বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪০ সে.মি.
১ম বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য (৪০/৪) সে.মি. = ১০ সে.মি.
১ম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১০ × ১০ = ১০০ বর্গ সে.মি.

২য় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৩২ সে.মি.
২য় বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য (৩২/৪) সে.মি. = ৮ সে.মি.
২য় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৮ × ৮ = ৬৪ বর্গ সে.মি.

৩য় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (১০০ - ৬৪) বর্গ সে.মি.
= ৩৬ বর্গ সে.মি.

∴ ৩য় বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৩৬ = ৬ সে.মি.
∴ ৩য় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৬ × ৪ = ২৪ সে.মি.

প্রশ্ন: x এবং y দুটি স্বাভাবিক সংখ্যা, যেখানে x > y হয়, তাহলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
যদি x > y  হয়, তাহলে x - y অবশ্যই ধনাত্মক হবে।

প্রশ্ন: 200 এবং 300 এর মধ্যে কোন বৃহত্তম সংখ্যাকে 6, 8 ও 9 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 5 অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান:
6, 8, 9 এর ল.সা.গু = 72

এখন,
72 × 2 = 144
72 × 3 = 216
72 × 4 = 288
72 × 5 = 360

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে 288 + 5 = 293

প্রশ্ন: একটি শহরের জনসংখ্যা ৭০০০০। প্রথম বছরে তা ১০% বৃদ্ধি পেল। পরের বছরে তা বৃদ্ধি পেল ২০%। তাহলে দুবছর পরে শহরটির জনসংখ্যা কত হবে?

সমাধান:
১ম বছর পর জনসংখ্যা হয় = ৭০০০০ × (১১০/১০০) = ৭৭০০০ জন

২য় বছর পর জনসংখ্যা হয় = ৭৭০০০ × (১২০/১০০) = ৯২৪০০ জন

প্রশ্ন: কোনো আসল ৫ বছরে চক্রবৃদ্ধি সুদে দ্বিগুন হয়। তবে আটগুণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
ধরি,
আসল = P
সুদের হার = r%
সময় = 5 বছর
চক্রবৃদ্ধি মূলধন = 2P


চক্রবৃদ্ধি মূলধন = 8P
সময় = t বছর

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৪। যদি ক্লাসটিতে ৮৪ জন ছাত্র থাকে, তাহলে ওই ক্লাসের মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা হল-

সমাধান:
ছাত্র ছাত্রীর অনুপাত ৭ : ৪

ধরি,
ছাত্রের সংখ্যা ৭ক
ছাত্রীর সংখ্যা ৪ক

প্রশ্নমতে,
৭ক = ৮৪
∴ ক = ১২

∴ মোট শিক্ষার্থী = ৭ক + ৪ক = ১১ক = ১১ × ১২ = ১৩২ জন

প্রশ্ন: একজন ব্যবসায়ী প্রতি কেজি ২৫ টাকা দরের ২৬ কেজি চাল, প্রতি কেজি ৪০ টাকা দরের ৩০ কেজি চালের সাথে মিশ্রিত করলেন। এরপর তিনি সেই মিশ্রিত চালকে প্রতি কেজি ৩৫ টাকা দরে বিক্রি করলেন। ব্যবসায়ীর শতকরা লাভ কত?

সমাধান:
মোট ক্রয়মূল্য = (২৬ × ২৫ + ৩০ × ৪০) টাকা 
= ১৮৫০ টাকা

বিক্রয়মূল্য = (২৬ + ৩০) × ৩৫ টাকা
= ১৯৬০ টাকা 

∴ লাভ = ১৯৬০ - ১৮৫০ টাকা 
= ১১০ টাকা

শতকরা লাভ = (১১০ × ১০০)/১৮৫০ টাকা
= ৫.৯৪%

প্রশ্ন: P হল AB রেখার ওপর একটি বিন্দু এবং PQ হল একটি রশ্মি, যাতে ∠QPA = 7x এবং ∠QPB = 5x হয়। এখন, (8x - 10°) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:

∠QPA এবং ∠QPB একটি সরলরেখা AB এর উপর অবস্থিত। অতএব, তাদের যোগফল অবশ্যই 180° (একটি সরল রেখার বৈশিষ্ট্য়) সমান হতে হবে।
∠QPA + ∠QPB = 180°
⇒ 7x + 5x = 180
⇒ 12x = 180
⇒ x = 180/12
∴ x = 15°

এখন প্রদত্ত রাশি (8x - 10°)-তে x = 15° এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই:
= 8 × 15° - 10° = 120° - 10° = 110°
সুতরাং, (8x - 10°) এর মান হল 110°

  

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ২৫√৩ বর্গ সে.মি.। ত্রিভুজের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ২৫√৩ বর্গ সে.মি

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)(বাহু)^২
এখন, (√৩/৪)(বাহু)^২ = ২৫√৩
⇒ (১/৪)(বাহু)^২ = ২৫
⇒ (বাহু)^২ = ২৫ × ৪
⇒ (বাহু)^২ = ১০০
⇒ বাহু = ১০

∴ ত্রিভুজের পরিসীমা = ১০ + ১০ + ১০
= ৩০ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ১৫ সে.মি. এবং অপর দুই বাহুর অন্তর ৩ সে.মি. হলে, অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি ত্রিভুজের এক বাহু = x
অপর বাহু = x + 3
শর্তমতে,
x² + (x + 3)² = 15²
⇒ 2x² + 6x - 216 =0
⇒ x² + 3x - 108 =0
⇒ x² + 12x - 9x -108 =0
⇒ x(x + 12) - 9(x + 12) =0
∴ x = 9, -12
দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না তাই দুই বাহু হবে 9 এবং 12

প্রশ্ন: 0.88 ঘনমিটার লোহা থেকে 14 মিটার দৈর্ঘ্য ও 4 সেন্টিমিটার ব্যাস বিশিষ্ট কতগুলি দন্ড পাওয়া যাবে?

সমাধান:
দন্ডের ব্যাসার্ধ r = 4/2 = 2 সেন্টিমিটার = 0.02 মিটার , উচ্চতা h = 14 মিটার হলে,
দন্ডের আয়তন = πr²h = (22/7) × (0.02)² × 14
= 0.0176 ঘনমিটার

∴ দণ্ডের সংখ্যা = 0.88/0.0176 = 50

প্রশ্ন: √49​ + √25​ এর মান কত?

সমাধান:
√49=7 এবং √25 = 5
অতএব, √49​ + √25 = 7 + 5 = 12

প্রশ্ন: ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যাকে 16, 24 এবং 36 দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে 6, 14 এবং 26 ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
আমরা পাই,
16 - 6 = 10
24 - 14 = 10
36 - 26 = 10

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে 16, 24, 36 এর ল.সা.গু অপেক্ষা 10 কম।

16, 24, 36 এর ল.সা.গু = 144

∴ ক্ষুহতম সংখ্যা 144 - 10 = 134

প্রশ্ন: একটি ভোটকেন্দ্রে উপস্থিত ভোটারদের 55% ভোট পেয়ে একজন প্রার্থী নির্বাচিত হয়েছেন। তিনি তাঁর একমাত্র প্রতিদ্বন্দ্বী অপেক্ষা 10000 ভোট বেশি পেয়েছেন। ভোটকেন্দ্রে কতজন ভোটার উপস্থিত ছিল?

সমাধান:
একটি ভোটকেন্দ্রে উপস্থিত ভোটারদের 55% ভোট পেয়ে একজন প্রার্থী নির্বাচিত হয়েছেন।
অনির্বাচিত প্রার্থী পায় 45% ভোট

নির্বাচিত প্রার্থী 10 ভোট বেশি পায় যখন উপস্থিত ভোটার 100 জন
নির্বাচিত প্রার্থী 1 ভোট বেশি পায় যখন উপস্থিত ভোটার 100/10 = 10 জন
নির্বাচিত প্রার্থী 10000 ভোট বেশি পায় যখন উপস্থিত ভোটার 10000 × 10 = 100000 জন

প্রশ্ন: P, Q অপেক্ষা ৬০% বেশি এবং R অপেক্ষা ৩০% বেশি। Q এবং R এর অনুপাত-

সমাধান:
P = Q + ৬০Q/১০০ = ১৬০Q/১০০ = ১৬Q/১০
P = R + ৩০R/১০০ = ১৩০R/১০০ = ১৩R/১০

∴ ১৬Q/১০ = ১৩R/১০
বা, ১৬Q = ১৩R
বা, Q/R = ১৩/১৬
∴ Q : R = ১৩ : ১৬

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ১৫টি আপেল ক্রয় করে ১২ টাকায় এবং ১২টি আপেল বিক্রয় করে ১৫ টাকায়। তার কত লাভ/ক্ষতি হয়?

সমাধান:
১৫টি আপেলের ক্রয়মূল্য = ১২ টাকা
১টি আপেলের ক্রয়মূল্য = ১২/১৫ টাকা

১২টি আপেলের বিক্রয়মূল্য = ১৫ টাকা
১টি আপেলের বিক্রয়মূল্য = ১৫/১২ টাকা

লাভ = (১৫/১২) - (১২/১৫)
= (৭৫ - ৪৮)/৬০
= ২৭/৬০
= ৯/২০

১২/১৫ টাকায় লাভ হয় ৯/২০ টাকা 
১ টাকায় লাভ হয় (৯/২০) × (১৫/১২) টাকা 
১০০ টাকায় লাভ হয় (৯/২০) × (১৫/১২) × ১০০  টাকা
= ৫৬.২৫ টাকা 

প্রশ্ন: যদি x এবং y যথাক্রমে 60° কোণের সম্পূরক এবং পূরক কোণ হয়, তাহলে (x + y) এর মান হবে-

সমাধান:
• যদি দুটি কোণের সমষ্টি 90° এর সমান হয় তবে দুটি কোণকে পূরক বলা হয়
• যদি দুটি কোণের সমষ্টি 180° সমান হয় তবে দুটি কোণকে সম্পূরক বলা হয়

প্রশ্ন অনুযায়ী,
x হল 60° এর পূরক, যার অর্থ x + 60 = 90 ⇒ x = 30°
y হল 60° এর সম্পূরক, যার অর্থ y + 60 = 180 ⇒ y = 120°

(x + y) এর মান = (30 + 120) = 150°
∴ সঠিক উত্তর হল 150°

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের অন্তর ৮ সে.মি. এবং এদের লম্ব দূরত্ব ২৪ সে.মি.। যদি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৩১২ বর্গ সে.মি. হয় তবে সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল একটি বাহু x সে.মি.
তাহলে, ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল অপর বাহু = x + ৮ সে.মি.
সমান্তরাল বাহু দুইটির লম্ব দূরত্ব, h = ২৪ সে.মি.
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ৩১২ সে.মি.

প্রশ্নমতে,
(১/২) × (x + x + ৮) × ২৪ = ৩১২
⇒ ১২ × (২x + ৮) = ৩১২
⇒ ২৪x + ৯৬ = ৩১২
⇒ ২৪x = ২১৬
∴ x = ৯
∴ ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল একটি বাহু = ৯ সে.মি.
এবং ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল অপর বাহু ৯ + ৮ = ১৭ সে.মি.

∴ সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি = ৯ + ১৭ = ২৬ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি সেকেন্ডে ৪৫০° ঘুরে। চাকাটি প্রতি মিনিটে কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
গাড়ির চাকা ১ সেকেন্ডে ঘুরে ৪৫০° 
গাড়ির চাকা ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে ৪৫০° × ৬০
= ২৭০০০°

গাড়ির চাকা ৩৬০° ঘুরে ১ বার
গাড়ির চাকা ১° ঘুরে ১/৩৬০ বার
গাড়ির চাকা ২৭০০০° ঘুরে ২৭০০০°/৩৬০° বার
= ৭৫ বার

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় ৩২ বর্গমিটার। বাগানের প্রস্থ কত?

সমাধান:
ধরি,
 আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য, ক মিটার 
∴ আয়তাকার বাগানের প্রস্থ, খ মিটার  

∴ আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, কখ বর্গমিটার 

৮ মিটার বৃদ্ধি করলে,
 আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, ক + ৮ মিটার


∴ ক্ষেত্রফল হবে, (ক + ৮) × খ বর্গমিটার 
= কখ + ৮খ  বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
কখ + ৮খ - কখ = ৩২
বা, ৮খ = ৩২
∴ খ = ৪