ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: 12 টি বিন্দু ‍দিয়ে কতগুলো চতুর্ভুজ গঠন করা যায়?

সমাধান:
চতুর্ভুজ গঠন করতে 12 টি বিন্দু থেকে 4 টি বিন্দু নির্বাচন করতে হবে। 12 টি বিন্দু থেকে 4 টি বিন্দু নির্বাচন করার উপায় সংখ্যা হল,
 = ¹²C₄

= 12!​/4!(12 - 4)!
= 12!/(​4! × 8!)
= 495

∴ 12 টি বিন্দু দিয়ে 495 টি চতুর্ভুজ গঠন করা যাবে।

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষার প্রশ্নপত্রে দুটি বিভাগ রয়েছে, প্রতিটি বিভাগে ৪টি প্রশ্ন আছে। পরীক্ষার্থীকে ৫টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে, তবে কোনো এক বিভাগ থেকে সর্বাধিক ৩টি প্রশ্ন নির্বাচন করা যাবে। তাহলে কতভাবে ৫টি প্রশ্ন বাছাই করা সম্ভব?

সমাধান:
৫ টি প্রশ্ন নিম্নলিখিত উপায়ে নির্বাচিত হতে পারে,

প্রথম গ্রুপ থেকে ২ টি প্রশ্ন এবং দ্বিতীয় গ্রুপ থেকে ৩ টি প্রশ্ন অথবা
প্রথম গ্রুপ থেকে ৩ টি প্রশ্ন এবং দ্বিতীয় গ্রুপ থেকে ২ টি প্রশ্ন।

= (^৪C_২ × ^৪C_৩) + (^৪C_৩ × ^৪C_২)
= ২৪ + ২৪
= ৪৮

প্রশ্ন: 'ARCHIVE' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
ARCHIVE শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7 টি, Vowel আছে 3টি।
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ = 5টি

5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel তিনটি সাজানো যায় = 3! 

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3!
= 120 × 6
= 720

প্রশ্ন: যদি ⁿC₈ = ⁿC₂ হয়, তাহলে ⁿC₂ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ⁿC_a = ⁿC_b হলে, a = b অথবা a + b = n হয়।

ⁿC₈ = ⁿC₂
⇒ 8 + 2 = n
∴ n = 10

ⁿC₂ = ¹⁰C₂ = 45

প্রশ্ন: 'APPLE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকবে?

সমাধান:
'APPLE' শব্দটিতে মোট বর্ণ = 5টি, স্বরবর্ণ আছে = 2টি (A, E)।

'APPLE' শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2! = 60 [P দুইটি]
1টি উপাদানের বিন্যাস সংখ্যা = মোট বিন্যাস/উপাদান সংখ্যা
= 60/5
= 12
∴ 2টি স্বরবর্ণ এর জন্য বিন্যাস = (12 × 2) = 24 টি

প্রশ্ন: PERMUTATION শব্দটির বর্ণগুলির মধ্যে স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বর্ণগুলিকে মোট কত রকমে সাজানো যেতে পারে?

সমাধান:
PERMUTATION শব্দটিতে মোট 11 টি অক্ষর আছে, যার মধ্যে(E, U, A, I, O) 5টি স্বরবর্ণ এবং 6 টি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে।

যেহেতু স্বরবর্ণগুলি এদের অবস্থান পরিবর্তন করবে না, কাজেই এদের স্থান নির্দিষ্ট করে বাকি 6 টি ব্যঞ্জনবর্ণ দ্বারা সাজানোর সংখ্যা বের করতে হবে যার মধ্যে দুই বার T থাকবে।

সুতরাং সাজানোর সংখ্যা হবে= 6!/2! = 360 টি

প্রশ্ন: ৩ জন ব্যক্তিকে ৬টি সিটের সারিতে বসানোর কতটা উপায় রয়েছে? (একটি সিটে একজনই বসবে)

সমাধান:
প্রথম ব্যক্তি ৬টি উপায়ে বসতে পারে, দ্বিতীয় ব্যক্তি ৫টি উপায়ে বসতে পারে এবং তৃতীয় ব্যক্তি ৪টি উপায়ে বসতে পারে।

এখন, মৌলিক নিয়ম অনুযায়ী, তিনটি ব্যক্তি ৬টি সিটে এক সারিতে বসানোর মোট উপায় হবে (৬ × ৫ × ৪) উপায়
= ১২০ উপায়।

প্রশ্ন: 15 টি বইয়ের মধ্যে 6 টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট তিনটি বই সর্বদা বাদ থাকে?

সমাধান:
নির্দিষ্ট তিনটি ফল সর্বদা বাদ থাকে, অতএব (15 - 3) বা 12 টি থেকে 6 টি বাছাই করতে হবে।

∴ বাছাই করার উপায় =¹²C₆
= 12!/(6! 6!)
= 924

প্রশ্ন: 10টি ভিন্ন বর্ণের ফুল দিয়ে কত উপায়ে মালা তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
মালা, তসবী ইত্যাদি গঠন করলে বিন্যাস সংখ্যা = (n - 1)!/2

বিন্যাস সংখ্যা = (10 - 1)!/2
= 9!/2
= 181440

প্রশ্ন: একটি দাবা খেলার প্রতিযোগিতায় 8 জন প্রতিযোগীর প্রত্যেকে অন্য একজন খেলোয়াড়ের সাথে একবার মাত্র খেলবে। সর্বমোট কতগুলো খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

সমাধান:
একবার খেলার জন্য প্রতিযোগী প্রয়োজন = 2 জন

∴ 8 জন প্রতিযোগীর মধ্যে মোট খেলা = ⁸C₂
= 8!/{2!(8! - 2!)
= 8!/(2! · 6!)
= 28

প্রশ্ন: 5 টি পোস্ট বাক্সে 7 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা n = 5 টি
চিঠির সংখ্যা r =7 টি

চিঠি ফেলা যায় = (পোস্ট বক্স)^চিঠি
= n^r
= 5⁷

প্রশ্ন: ২০ সদস্যবিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে? 

সমাধান: 
20 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ²⁰C₁ = 20 উপায়ে
19 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁹C₁ =19 উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = 20 × 19 = 380

প্রশ্ন: কমিটিতে তিনজন সদস্য থাকবে। সাতজন পুরুষ এবং পাঁচজন মহিলা যদি কমিটিতে কাজ করার জন্য উপলব্ধ থাকে, তবে মোট কতগুলো ভিন্ন কমিটি গঠন করা যাবে?

সমাধান:
মোট, n = ৭ + ৫ = ১২
এবং r = ৩

কমিটির সংখ্যা = ^১২C_৩
= ২২০

প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারে। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা 210টি হয়, তবে মোট কতজন উপস্থিত ছিল?

সমাধান:
মনে করি,
মোট উপস্থিত = n জন
মোট করমর্দন = ⁿC₂

প্রশ্নমতে,
ⁿC₂ = 210
⇒ n!/(n - 2)! 2! = 210
⇒ n(n - 1)/1 × 2 = 210
⇒ n² - n = 420
⇒ n² - n - 420 = 0
⇒ n² - 21n + 20n - 420 = 0
⇒ n(n - 21) + 20(n - 21) = 0
⇒ (n - 21) (n + 20) = 0

হয়, n - 21 = 0
∴ n = 21

অথবা, n + 20 = 0
∴ n = - 20
যা গ্রহণযোগ্য নয়। কেননা জনসংখ্যা কখনও ঋণাত্বক হতে পারে না।

∴ মোট উপস্থিত 21 জন।

প্রশ্ন: যদি 5 × ⁿP₃ = 4 × ^{(n + 1)}P₃, n এর মান কত?

সমাধান:
5 × ⁿP₃ = 4 × ^{(n + 1)}P₃
5 × n × (n - 1) × (n - 2) = 4 × (n + 1) × n × (n - 1)
Or, 5(n - 2) = 4(n + 1)
Or, 5n - 10 = 4n + 4
Or, 5n - 4n = 4 + 10
∴ n = 14

প্রশ্ন: পাহাড়পুর থেকে কালিয়াপুর যেতে ৪ টি পৃথক পথ আছে এবং কালিয়াপুর থেকে রাজগঞ্জ যেতে ৫ টি পৃথক পথ আছে। সামি কত প্রকারে পাহাড়পুর থেকে কালিয়াপুর হয়ে রাজগঞ্জ যেতে পারবে?

সমাধান:
সামি পাহাড়পুর থেকে কালিয়াপুর হয়ে রাজগঞ্জ যেতে পারবে = ৪ × ৫ উপায়ে
= ২০ উপায়ে

প্রশ্ন: 13 টি বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কৌণিক বিন্দুগুলো সংযোগ করলে কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
একটি ত্রিভুজ গঠন করার জন্য বিন্দু প্রয়োজন 3টি

ত্রিভুজের গঠন করা যাবে =¹³C₃
= 286

প্রশ্ন: ৩টি সবুজ শার্ট এবং ৩টি লাল শার্ট ৬টি শিশুর মধ্যে কতভাবে বিতরণ করা যেতে পারে, যাতে প্রত্যেক শিশুকে একটি করে শার্ট দেওয়া হয়?

সমাধান:
৬ টি শিশু ৩ টি সবুজ শার্ট গ্রহণ করার উপায় = ^৬C_৩ = (৬ × ৫ × ৪)/(৩ × ২× ১) = ২০
বাকি ৩টি শিশু ৩টি লাল শার্ট গ্রহণ করার উপায় = ^৩C_৩ = (৩ × ২ × ১)/(৩ × ২ × ১) = ১

সুতরাং, মোট উপায় সংখ্যা = ২০ ×১ = ২০ টি

প্রশ্ন: ৭ সদস্য বিশিষ্ট একটি কমিটি গঠন করতে হবে, যাতে পুরুষদের সংখ্যা বেশী এবং কমপক্ষে ১ জন মহিলা থাকবে। ৯ জন পুরুষ এবং ৬ জন মহিলার একটি সংক্ষিপ্ত তালিকা রয়েছে। কতভাবে এই কমিটি গঠন করা সম্ভব?

সমাধান:
কমিটি গঠন করার সম্ভবনা: (১W + ৬M), (২W + ৫M), (৩W + ৪M)
= (^৬C_১ × ^৯C_৬) + (^৬C_২ × ^৯C_৫) + (^৬C_৩ × ^৯C_৪)
= ৪৯১৪

প্রশ্ন: প্রত্যেক সংখ্যায় প্রত্যেক অংক কেবলমাত্র একবার ব্যবহার করে ০, ১, ২, ৩, ৪, ৫ ও ৬ অংকগুলো দিয়ে কতগুলো অর্থপূর্ণ চার অংকের সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
চার অঙ্কবিশিষ্ট পূর্ণসংখ্যা = ⁷P₄
= 840

0 প্রথমে থাকলে গঠিত সংখ্যা অর্থপূর্ণ হয় না এরূপ সংখ্যা = ⁶P₃
= 120

∴ অর্থপূর্ণ চার অংকের সংখ্যা গঠন করা যাবে = 840 - 120 টি
= 720 টি

প্রশ্ন: 'LEADER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা কত?

সমাধান:
 'LEADER' এশব্দটির মধ্যে ৬টি অক্ষর রয়েছে।
১L, ২E, ১A, ১D and ১R.

∴ প্রয়োজনীয় উপায়ের সংখ্যা = ৬!/২!
= ৩৬০

প্রশ্ন: ১০টি বিন্দুর মধ্যে ৪টি একই সরলরেখায় অবস্থিত। অবশিষ্ট বিন্দুগুলোর সাহায্যে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা কত?

সমাধান:
১০টি বিন্দু দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা = ^১০C_৩ = ১২০
অনুরূপভাবে, যদি ৪টি বিন্দু কোনও সরলরেখায় না থাকে, তবে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা = ^৪C_৩ = ৪

প্রশ্নে দেওয়া রয়েছে যে ৪টি বিন্দু সমরেখীয় (collinear), তাই প্রয়োজনীয় ত্রিভুজের সংখ্যা = ১২০ - ৪
= ১১৬

প্রশ্ন: ১, ২, ৩ , ৪, ৫ ,৬ অঙ্কগুলো প্রত্যেকটি একবার নিয়ে ৪ অঙ্কের কতগুলো ভিন্ন সংখ্যা হবে?

সমাধান:
⁶P₄
= 6!/(6 - 4)!
= 6!/2!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2!)/2!
= 360