প্রাইমারি ডেইলি কুইজ

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 5ম পদ 13 এবং 7ম পদ 19 হলে ধারাটির প্রথম 12টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ = a
৫ম পদ = 13
৭ম পদ = 19
∴ ৬ষ্ঠ পদ = (13 + 19)/2 = 16
সাধারণ অন্তর, d = 16 - 13 = 3

∴ ৫ম পদ = a + (5 - 1)d
⇒ 13 = a + 4d
⇒ 13 = a + 4 × 3
⇒ a = 13 - 12
∴ a = 1
∴ S₁₂ = (12/2){2 · 1 + (12 - 1)3}
= 6 × {2 + (11 × 3)}
= 6 × (2 + 33)
= 210

প্রশ্ন: (1/3) + (1/3²) + (1/3³) + .......... অন্তর গুণোত্তর ধারাটির অসমীতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 1/3
সাধারণ অনুপাত, r = (1/3²) ÷ (1/3)
= (1/3²) × (3/1) = 1/3

∴ সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= (1/3)/{1 - (1/3)}
= (1/3)/(2/3)
= (1/3)/(3/2)
= 1/2

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + …….. ধারাটির কত তম পদ 1024?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2
আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n – 1}
সুতরাং, ar^{n – 1} = 1024
বা, 2 · 2^{n – 1} = 1024
বা, 2^{n – 1} = 512
বা, 2^{n – 1} = 2⁹
বা, n – 1 = 9
∴ n = 10

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ……… + 10³ = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
= {10(10 + 1)/2}²
= {(10 · 11)/2}²
= (110/2)²
= 3025

প্রশ্ন: 1 + 4 + 7 + 10 + .......... ধারাটির 16 তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = (4 - 1) = 3
এবং n তম পদ = a + (n - 1)d

∴ 16 তম পদ = 1 + (16 - 1)3
= 1 + (15 × 3)
= 1 + 45
= 46

প্রশ্ন: 4 + 16 + 64 + ………… + 1024 প্রদত্ত অনুক্রমটি কোন ধরনের ধারা নির্দেশ করে?

সমাধান:
কোনো ধারার যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সব সময় সমান হলে অর্থাৎ, যেকোনো পদকে এর পূর্ববর্তী পদ দ্বারা ভাগ করে ভাগফল সর্বদা সমান পাওয়া গেলে, সে ধারাটিকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে।

এখানে,
4/16 = 4
16/64 = 4
যার প্রত্যেকটির সাধারণ অনুপাত 4।
অর্থাৎ সাধারণ অনুপাত সমান যা গুণোত্তর ধারা নির্দেশ করে।

প্রশ্ন: 2, 4, 6, ....... অনুক্রমটির কত তম পদ 74?

সমাধান:
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 4 - 2 = 2
∴ n তম পদ = 74
⇒ a + (n - 1)d = 74
⇒ 2 + (n - 1)2 = 74
⇒ 2 + 2n - 2 = 74
⇒ 2n = 74
∴ n = 37

প্রশ্ন: প্রথম দিনে 1 টাকা, দ্বিতীয় দিনে 2 টাকা, তৃতীয় দিনে 4 টাকা, চতুর্থ দিনে 8 টাকা, এরূপে প্রতিদিন ব্যাংকে জমা রাখলে 10 দিনে মোট কত টাকা হবে?

সমাধান:
1 + 2 + 4 + 8 + ...... 10টি পদের সমষ্টি।
ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা যার,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, q = 2/1 = 2
পদসংখ্যা, n = 10

10-টি পদের সমষ্টি = a · {(qn - 1)/(q - 1)}
= 1 · {(210 - 1)/(2 - 1)}
= 210 - 1
= 1024 - 1
= 1023

প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + 13 + ...... + 85 = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(85 - 1)/4} + 1
= 22

∴ সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ)/২} × পদ সংখ্যা
= {(85 + 1)/2} × 22
= 946

প্রশ্ন: ৫, ৯, ১৭, ৩৩, ......... ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ = ৫
২য় পদ = ৫ × ২ - ১ = ৯
৩য় পদ = ৯ × ২ - ১ = ১৭
৪র্থ পদ = ১৭ × ২ - ১ = ৩৩
৫ম পদ = ৩৩ × ২ - ১ = ৬৫

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং সাধারণ অন্তর 5 হলে, ধারাটির (2p + 1) তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে
ধারাটির প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 5

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ (2p + 1) তম পদ = a + (2p + 1 - 1) d
= 3 + (2p + 1 - 1) × 5
= 3 + 2p × 5
= 10p + 3

প্রশ্ন: 2 - 4 + 8 - 16 + ..... ধারাটির প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 4/2 = - 2 [r < 1]
পদসংখ্যা, n = 7

∴ প্রথম 7টি পদের সমষ্টি = {a(1 - r⁷)}/(1 - r)
= {2(1 - (- 2)⁷}/{(1 - (- 2)}
= {2(1 + 128)}/(1 + 2)
= {2 × 129}/3  
=  258/3
=  86

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ……… + 12² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {12(12 + 1)(2 · 12 + 1)}/6
= (12 · 13 · 25)/6
= 650

প্রশ্ন: 1 + (1/2) + (1/4) + (1/8) + .......... ধারাটির প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে
১ম পদ a = 1
সাধারণ অনুপাত r = (1/2) ÷ 1
= 1/2

∴ প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি = a(1 - rn)/(1 - r )
= 1{1 - (1/2)⁷}/{1 - 1/2}
= {1 - (1/128)}/{(2 - 1)/2}
= (127/128)/(1/2)
= (127/128) × (2/1)
= 127/64

প্রশ্ন: 6 থেকে 66 পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

সমাধান:
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/(সাধারণ অন্তর) + 1}
= {(66 - 6)/(1) + 1}
= 60 + 1
= 61

আবার,
সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ)/2} × পদসংখ্যা
= {(66 + 6)/2} × 61
= (72/2) × 61
= 36 × 61
= 2196