গুরুত্বপূর্ণ টপিকের উপর পরীক্ষা - ১৩৫ মার্কস্‌ কাভার

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা:
p/q  আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q  পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0।
যেমন: √16 = 4 ,3/1 = 3,  11/2= 5.5, 5/ 3 = 1.666... ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা।

- যে কোনো মূলদ সংখ্যাকে দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার অনুপাত হিসাবেও লেখা যায়।
- সকল পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা।
 
এখানে,
√৮৪১ = ২৯, ইহা একটি মূলদ সংখ্যা।

 ১.৭৫ = ১৭৫/১০০ = ৭/৪, ইহা একটি মূলদ সংখ্যা।

√(৪৫/৮০) = √(৯/১৬)
= ৩/৪, ইহা একটি মূলদ সংখ্যা।

∴ সবগুলো অপশনই সঠিক।

প্রশ্ন: ১০০ এর ২০০% এর ২০০% কত?

সমাধান:
১০০ এর ২০০% = ১০০ × (২০০/১০০)
= ২০০

২০০ এর ২০০% = ২০০ × (২০০/১০০)
= ৪০০ 

∴ ১০০ এর ২০০% এর ২০০% = ৪০০

প্রশ্ন: একজন বিক্রেতা ৪৫% লাভে নির্দিষ্ট পণ্য বিক্রি করত। বাজার খারাপের কারণে সে তার লাভের হার ৪০% করে এবং এতে তার বিক্রয় ২০% বেড়ে যায়। তার বর্তমান লাভ ও পূর্বের লাভের অনুপাত নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ধরি,
১টি পণ্যের ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
৪৫% লাভে বিক্রিত পণ্যের সংখ্যা 'ক' টি

১টি পণ্যে লাভ করে ৪৫ টাকা
∴ 'ক' টি পণ্যে লাভ করে ৪৫ক টাকা

২০% বেশি বিক্রি হওয়ায় বিক্রিত পণ্যের সংখ্যা (ক + ক এর ২০%)
= ক + ক/৫
= (৫ক + ক)/৫ টি
= ৬ক/৫ টি

৪০% লাভে, ১টি পণ্যে লাভ করে ৪০ টাকা
∴ মোট লাভের পরিমাণ ৪০ × (৬ক/৫) টাকা
= ৪৮ক টাকা

বর্তমান লাভ : পূর্বের লাভ = ৪৮ক : ৪৫ক = ৪৮ : ৪৫ = ১৬ : ১৫ 

প্রশ্ন: শতকরা কত হার মুনাফায় কোন আসল ১০ বছরে মুনাফা-আসলে দ্বিগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি,
আসল = ১০০ টাকা
১০ বছর পর মুনাফা-আসলে হবে = ১০০ × ২ = ২০০ টাকা
∴ লাভ = ২০০ - ১০০ = ১০০ টাকা

১০ বছরে ১০০ টাকায় মুনাফা ১০০ টাকা
∴ ১ বছরে ১০০ টাকায় মুনাফা = ১০০/১০ টাকা 
= ১০ টাকা

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৪ : ৫ : ৬। এদের মধ্যম সংখ্যাটির বর্গ ৬২৫ হলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ৪ক,
মধ্যম সংখ্যা ৫ক,
বৃহত্তম সংখ্যা ৬ক

প্রশ্নমতে,
(৫ক)^২ = ৬২৫
বা, ৫ক = ২৫
∴ ক = ৫

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ৪ক = ৪ × ৫ = ২০

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৫৭, ৯৩, ১৮৩ নিঃশেষে বিভাজ্য?
 
সমাধান:
৫৭, ৯৩, ১৮৩ এর গ.সা.গু = ৩।

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৩

প্রশ্ন: ৯ এর কত শতাংশ ১৮ হবে?

সমাধান:
ধরি
৯ এর ক শতাংশ ১৮ হবে

৯ এর ক% = ১৮
বা, ৯ক/১০০ = ১৮
বা, ক = (১৮ × ১০০)/৯ 
 ∴ ক  = ২০০

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ১১০৪ টাকায় বিক্রয় করায় ৯৬ টাকা ক্ষতি হলো। ক্ষতির শতকরা হার কত?

সমাধান: 
ক্রয়মূল্য = ১১০৪ + ৯৬ = ১২০০ টাকা

১২০০ টাকায় ক্ষতি হয় ৯৬ টাকা
∴ ১ টাকায় ক্ষতি হয় ৯৬/১২০০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় (৯৬ × ১০০)/১২০০ টাকা
= ৮ টাকা

∴ ক্ষতির শতকরা হার = ৮%

প্রশ্ন: কোন আসল ৪ বছরে সুদে-আসলে ৪৮০ টাকা এবং ৫ বছরে সুদে-আসলে ৫০০ টাকা হয়। শতকরা সুদের হার কত?

সমাধান:
৫ বছরের সুদ + আসল = ৫০০ টাকা
৪ বছরের সুদ + আসল = ৪৮০ টাকা
______________________________________
(-) করে, ১ বছরের সুদ  =    ২০ টাকা
∴ ৪ বছরের সুদ = ৮০ টাকা

সময়, n = ৪ বছর
∴ আসল, P = ৪৮০ - ৮০ = ৪০০ টাকা

আমরা জানি,
I = Pnr
বা, r = I/(Pr)
বা, r = (৮০ × ১০০)/(৪০০ × ৪)
∴ r = ৫%

প্রশ্ন: ৩ : ২ এবং ৭ : ৫ এর মিশ্র অনুপাত কোনটি?

সমাধান:
মিশ্র অনুপাত:
একাধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে মিশ্র অনুপাত বলে।

সুতরাং,
৩ : ২ এবং ৭ : ৫ সরল অনুপাতগুলোর মিশ্র অনুপাত হলো,
(৩ × ৭) : (২ × ৫)
= ২১ : ১০

প্রশ্ন: টাকায় ৩টি করে জিনিস ক্রয় করে টাকায় ২টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
৩ টি জিনিসের ক্রয়মূল্য ১ টাকা

২ টি জিনিসের বিক্রয়মূল্য ১ টাকা
১ টি জিনিসের বিক্রয়মূল্য ১/২ টাকা
∴ ৩ টি জিনিসের বিক্রয়মূল্য ৩/২ টাকা

লাভ = (৩/২) - ১ টাকা
= ১/২ টাকা

∴ শতকরা লাভ = (১/২) × ১০০%
= ৫০%

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৩৬ ও গ.সা.গু ৬। একটি সংখ্যা ১৮ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. × সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু.
বা, ২য় সংখ্যা = (সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. × সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু.)/১ম সংখ্যা
∴ ২য় সংখ্যা = (৩৬ × ৬)/১৮ = ১২

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় ১২০ জন ছাত্রের মধ্যে ৮৪ জন ফেল করলে পাস ও ফেলের শতকরা হারের পার্থক্য কত?

সমাধান:
১২০ জন ছাত্রের মধ্যে ফেল করে ৮৪ জন 
∴ ১ জন ছাত্রের মধ্যে ফেল করে ৮৪/১২০ জন 
∴ ১০০ জন ছাত্রের মধ্যে ফেল করে (৮৪ × ১০০)/১২০ জন 
= ৭০ জন 

শতকরা ফেল করে = ৭০ জন
শতকরা পাস করে = (১০০ - ৭০) জন = ৩০ জন 

পাস ও ফেলের শতকরা হারের পার্থক্য = ৭০ - ৩০ = ৪০ জন 

প্রশ্ন:  বার্ষিক শতকরা ১০% হারে ১০০০ টাকার ৩ বছর পর সরল ও চক্রবৃদ্ধির মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ১০০০ টাকা
সময়, n = ৩ বছর
সুদের হার, r = ১০/১০০

আমরা জানি
সরল মুনাফা,
I = Pnr
= ১০০০ × ৩ × (১০/১০০)
= ৩০০


চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় সবৃদ্ধিমূল,
C = P(১+r)ⁿ
= ১০০০(১ + ১০/১০০)^৩
= ১০০০ × (১১০/১০০)^৩
= ১০০০ × ১.১  × ১.১ × ১.১
= ১৩৩১

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ১৩৩১ - ১০০০
= ৩৩১
 
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ও সরল মুনাফার পার্থক্য = (৩৩১ - ৩০০) টাকা
= ৩১ টাকা।

প্রশ্ন: রাসেল একটি দ্রব্য ২০% লাভে এবং অপর একটি দ্রব্য ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করলো। উভয় দ্রব্যের ক্রয়মূল্য সমান হলে মোটের উপর তার কত লাভ বা ক্ষতি হলো? 

সমাধান:
ধরি,
উভয় দ্রব্যের ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা 
১ম দ্রব্য ২০% লাভে, 
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২০) টাকা = ১২০ টাকা 

২য় দ্রব্য ১০% ক্ষতিতে, 
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা 

মোট ক্রয়মূল্য = (১০০ + ১০০) টাকা = ২০০ টাকা 
মোট বিক্রয়মূল্য = (১২০ + ৯০) টাকা = ২১০ টাকা 

∴ লাভ = (২১০ - ২০০) টাকা = ১০ টাকা 

∴ শতকরা লাভ = {(১০/২০০) × ১০০}%
= ৫%

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার অর্ধেকের সাথে ৬ যোগ করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, সেই সংখ্যাটির দ্বিগুণ থেকে ২৭ বিয়োগ করলেও একই সংখ্যা পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x
সংখ্যার অর্ধেক = x/২
সংখ্যার দ্বিগুণ = ২x

প্রশ্নমতে,
x/২ + ৬ = ২x - ২৭
⇒ x + ১২ = ৪x - ৫৪
⇒ ৩x = ৬৬
∴ x = ২২

প্রশ্ন: তানভীরের বেতন রাকিবের বেতন অপেক্ষা শতকরা ২৫ টাকা বেশি হলে রাকিবের বেতন তানভীরের বেতন অপেক্ষা শতকরা কত টাকা কম?

সমাধান: 
রাকিবের বেতন ১০০ টাকা হলে
তানভীরের বেতন ১২৫ টাকা হবে

১২৫ টাকায় রাকিবের বেতন কম ২৫ টাকা
∴ ১ টাকায় রাকিবের বেতন কম ২৫/১২৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় রাকিবের বেতন কম (২৫ × ১০০)/১২৫
= ২০ টাকা

প্রশ্ন: সেজান একটি ব্যাংকে কিছু টাকা বিনিয়োগ করল। ৬ বছর পর মুনাফা সেই টাকার ৩০% হলে, কত বছর পর মুনাফা শুরুতে বিনিয়োগ করা টাকার সমান হবে?

সমাধান: 
ধরি,
আসল = ক টাকা
৬ বছর পর মুনাফা = ক এর ৩০%
= ৩ক/১০

৩ক/১০ টাকা মুনাফা হয় ৬ বছরে
∴ ১ টাকা মুনাফা হয় = (৬ × ১০)/(৩ক) বছরে
∴ ক টাকা মুনাফা হয় = (৬ × ১০ × ক)/৩ক = ২০ বছরে

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে ১৩২ জন পরীক্ষার্থীর মধ্যে কৃতকার্য ও অকৃতকার্য পরীক্ষার্থীর সংখ্যার অনুপাত ৯ : ২।  যদি ৪ জন শিক্ষার্থী বেশি পাস করে তাহলে কৃতকার্য ও অকৃতকার্য পরীক্ষার্থীর অনুপাত কত হবে? 

সমাধান: 
কৃতকার্য ও অকৃতকার্য পরীক্ষার্থীর অনুপাত ৯ : ২
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৯ + ২ = ১১

কৃতকার্য পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = (১৩২ এর ৯/১১) = ১০৮ জন 
অকৃতকার্য পরীক্ষার্থীর সংখ্যা = (১৩২ এর ২/১১) = ২৪ জন 

৪ জন শিক্ষার্থী বেশি পাস করলে মোট কৃতকার্য পরীক্ষার্থীর সংখ্যা  = ১০৮ + ৪ = ১১২ জন 
অকৃতকার্য পরীক্ষার্থীর সংখ্যা =২৪ - ৪ = ২০ জন 

কৃতকার্য ও অকৃতকার্য পরীক্ষার্থীর অনুপাত = ১১২ : ২০ 
= ২৮ : ৫

প্রশ্ন: ৩৬৭৫ সংখ্যাটিকে কত দিয়ে গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
৩৬৭৫ = ৩ × ৫ × ৫ × ৭ × ৭
= ৩ × (৫ × ৫) × (৭ × ৭)
৩ জোড়াবিহীন। 

৩৬৭৫ এর সাথে ৩ গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: কত জন লোকের মধ্যে ২৪০টি আম ও ২৮৮টি লিচু সমান ভাবে ভাগ করে দেওয়া যায়?

সমাধান: 
নির্ণেয় লোকের সংখ্যা হবে ২৪০ এবং ২৮৮ এর গ.সা.গু এর সমান।

১২০ এবং ১৪৪ এর গ.সা.গু. হলো ৪৮

তাই ৪৮ জনের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যাবে।

প্রশ্ন: শাহীনা আক্তার তাঁর আয়ের ৩/৪ অংশ ব্যয় করেন এবং বাকি টাকা সঞ্চয় করেন, তাঁর সঞ্চয়ের শতকরা হার কত?

সমাধান:
 তাঁর সঞ্চয় = ১ - ৩/৪
= ১/৪

∴ সঞ্চয়ের শতকরা হার = ১/৪ × ১০০
= ২৫%