প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

- দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল ৯০° হলে, একটি অপরটির পূরক কোণ ।
- দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল ১৮০° হলে, কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপরটির সম্পূরক ।

- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে ।
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে ।
- সমতলস্থ দুইটি সরলরেখা যদি পরস্পরকে কোথাও ছেদ না করে, তবে তাদেরকে পরস্পর সমান্তরাল রেখা বলে ।
- সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব সব সময় সমান থাকে ।
- 330° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে

সন্নিহিত কোণ (Adjacent Angle): 
- যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও তাদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয়   সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে। এরূপ দুইটি   কোণের একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণও বলা হয় ।
- কোনো রশ্মি তার প্রান্তবিন্দুতে একটি সরলরেখার সাথে মিলিত হলে, যে দুইটি কোণ উৎপন্ন হয় তারাও সন্নিহিত কোণ।

AB ।। CD এবং PQ তাদের ছেদক হলে নিচের কোনটি সঠিক? 

 
• দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন প্রত্যেক অনুরূপ কোণ জোড়া সমান হবে।
• দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন প্রত্যেক একান্তর কোণ জোড়া সমান হবে ।
• দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুইটি 
পরস্পর সম্পূরক।

∠AEF = ∠EFD [একান্তর কোণ]
∠PEB = ∠EFD [অনুরূপ কোণ]

বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান।
 
O বৃত্তের কেন্দ্র এবং বৃত্তের BCD চাপের ওপর দণ্ডায়মান ∠BAD ও ∠BED দুইটি বৃত্তস্থ কোণ ।
∠BAD =∠BED

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে P একটি বহিঃস্থ বিন্দু। 
P থেকে বৃত্তে PA ও PB  ২টি অঙ্কিত স্পর্শক।   

চিত্রে, ∠PQR = 53°, ∠LRN = 90° এবং PQ || MR হলে, ∠MRN এর মান নিচের কোনটি ?


 
∠PQR ও ∠MRL পরস্পর অনুরূপ কোণ। 
∠PQR = ∠MRL = 53°

∠MRN + ∠MRL = 90°
∠MRN + 53° = 90°
∠MRN = 90° - 53° = 37°

প্রশ্ন: প্রতি মিনিটে 44 মিটার বেগে 3/2 মিনিটে একটি ঘোড়া কোনো বৃত্তাকার মাঠ ঘুরে এলো। ঐ বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ কত? 

সমাধান: 
ঘোড়াটি 1 মিনিটে যায় 44 মিটার 
ঘোড়াটি 3/2 মিনিটে যায় (44 × 3)/2 মিটার 
 = 66 মিটার 

মনেকরি,
 বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ = r 
প্রশ্নমতে,
2πr = 66
2(22/7)r = 66
44r/7 = 66
r = (66 × 7)/44
r = 21/2
  = 10.5 

প্রদত্ত চিত্র অনুসারে, ∠EFD + ∠AEP = কত? 


- দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন প্রত্যেক একান্তর কোণ জোড়া সমান হবে ।
- দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুইটি 
পরস্পর সম্পূরক।
∠AEF = ∠EFD [একান্তর কোণ]
∠AEF = ∠EFD = 50° 

আবার,
∠AEP + ∠AEF = 180°
∠AEP + 50° = 180°
∠AEP = 130°

∠EFD + ∠AEP = 50° + 130° = 180°

প্রশ্ন: ∠A ও ∠B পরস্পর পূরক কোণ। ∠A = 65° হলে, ∠B এর মান কত? 

সমাধান:
দুইটি কোনের সমষ্টি 90° হলে,  কোণ দুইটি একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
∠A ও ∠B পরস্পর পূরক কোণ
∠A + ∠B = 90°
65° + ∠B = 90°
 ∠B =90° - 65°
 ∠B = 25°

প্রশ্ন: বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা 14 সে. মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত সে. মি.?

সমাধান: 
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা/ ব্যাস =  14 সে. মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 14/2 = 7 সে. মি.
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ সে. মি.
                         = (22/7) × 7²  বর্গ সে. মি.
                         = (22/7) × 49 বর্গ সে. মি.
                         = 154 বর্গ সে. মি.

1. বৃত্তের কোনাে বিন্দুতে একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
2. স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের ওপর অঙ্কিত লম্ব কেন্দ্রগামী। 
3. বৃত্তের কোনাে বিন্দু দিয়ে ঐ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত বিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শক হয়।
4.. বৃত্তের বহিঃস্থ কোনাে বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানলে, ঐ বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি 10π মিটার এবং ক্ষেত্রফল 25π বর্গমিটার হলে, বৃত্তের ব্যাস কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল, πr² = 25π …… (1)
বৃত্তের পরিধি 2πr =10π  …… (2)

1নং ÷ 2নং ⇒
πr²/2πr = 25π/10π
বা, r/2 = 5/2
∴ r = 5

∴ বৃত্তের ব্যাস 2r = 10 মিটার।

১. বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান।
২.বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র।

- রেখা অসীম এবং রেখার কোনো প্রান্ত বিন্দু নাই।
- একটি রেখার যদি একদিকে একটি প্রান্ত বিন্দু থাকে এবং অন্যদিকে অসীম হয়, তবে তাকে রশ্মি বলে। 
- রেখাংশের প্রান্তবিন্দু দুইটি।

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১২ বার ঘুরে। চাকাটি পাঁচ সেকেন্ডে কত ডিগ্রি ঘুরবে ?

সমাধান: 
চাকাটি ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে  ১২ বার 
 চাকাটি ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে  ১২/৬০ বার 
  চাকাটি ৫ সেকেন্ডে ঘুরে  ১২ × ৫/৬০ বার 
= ১ বার 
চাকাটি ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে ৩৬০°

প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ 72° হলে, বৃত্তস্থ কোণ কত?

সমাধান:
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ  72° হলে, বৃত্তস্থ কোণ 36°

প্রশ্ন: ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠A = 55° এবং ∠B = 90° হলে, ∠ACD = কত? 

সমাধান: 

 
গুরুত্বপূর্ণ  কিছু অনুসিদ্ধান্ত: 
১। ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান। 
২। ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর । 
ΔABC এ 
∠ACD = ∠BAC + ∠ABC
           = 55° + 90°
           = 145°

   


আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ। 
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ  এক সরলকোণের অর্ধেক।
 অর্ধবৃত্তস্থ কোণ  = ৯০°

১: বৃত্তের যেকোনো জ্যা এর লম্ব দ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
২: যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ২ : ৩ : ৪ হলে, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত? 

সমাধান: 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
তিনটি কোণের অনুপাত =২ : ৩ : ৪
অনুপাতের সমষ্টি = ৪ + ২ + ৩ = ৯
বৃহত্তম কোণ = ( ১৮০ × ৪/৯ ) = ৮০°

বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ ।

∠ABC + ∠ADC = দুই সমকোণ
 ∠BAD + ∠BCD = দুই সমকোণ ।