৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
• মূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে দুইটি অখণ্ড সংখ্যা p ও q এর অনুপাত p/q রূপে প্রকাশ করা যায় সেগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়।
- শূন্য, স্বাভাবিক সংখ্যা, প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ সবই মূলদ সংখ্যা। যেমন: 3/2, 3/4 1.3333... ইত্যাদি

• অমূলদ সংখ্যা:
- যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না এবং পূর্ণবর্গ নয় এমন সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূলকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেমন: √2, √3, π ... ইত্যাদি।

এখানে,
ক) ০.৭৫ = ৭৫/১০০ = ৩/৪ → একটি সসীম দশমিক, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
খ) √২৮৯ = ১৭, একটি পূর্ণসংখ্যা, তাই মূলদ।
গ) ৩/৫ → এটি একটি ভগ্নাংশ যা মূলদ সংখ্যা।
ঘ) √১২ = √(৪ × ৩) = ২√৩; এটি পূর্ণসংখ্যা নয় এবং p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না। সুতরাং √১২ একটি অমূলদ সংখ্যা।

∴ √১২ অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ৭ যোগ করলে যোগফল ১৫, ২০ ও ২৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ১৫, ২০ ও ২৪ এর ল.সা.গু. থেকে ৭ কম।
এখন,
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

∴ ১৫, ২০ ও ২৪ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ১২০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১২০ - ৭
= ১১৩

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

সমাধান:
প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিক আকারে প্রকাশ করি:
৫/৬ = ০.৮৩৩...
৩/৫ = ০.৬
৭/৯ = ০.৭৭৭...
১১/১৫ = ০.৭৩৩...

তুলনা করলে পাই,
০.৮৩৩ > ০.৭৭৭ > ০.৭৩৩ > ০.৬
অর্থাৎ, ৫/৬ > ৭/৯ > ১১/১৫ > ৩/৫

∴ ৫/৬ ভগ্নাংশটি বৃহত্তম।

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৯১ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৯১
⇒ ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৯১
⇒ ২ক + ১ = ৯১
⇒ ২ক = ৯০
⇒ ক = ৪৫

∴ বড় সংখ্যাটি = ৪৫ + ১ = ৪৬

প্রশ্ন: ৯/৮ এবং ১২/৫ এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু

এখানে লব ৯ ও ১২ এর ল.সা.গু:
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৩৬

এবং হর ৮ ও ৫ এর গ.সা.গু:
৮ = ২ × ২ × ২
৫ = ৫
যেহেতু এদের মধ্যে ১ ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই, তাই গ.সা.গু = ১

অতএব, ৯/৮ এবং ১২/৫ এর ল.সা.গু = ৩৬/১
= ৩৬

প্রশ্ন: একটি লাঠির ১/৪ অংশ মাটির নিচে, ২/৫ অংশ পানির নিচে এবং অবশিষ্ট ১৪ মিটার পানির উপরে আছে। লাঠিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, লাঠিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = ক মিটার
মাটির নিচে অংশ = ক/৪ মিটার
পানির নিচে অংশ = ২ক/৫ মিটার

মাটি ও পানির নিচের মোট অংশ = (ক/৪) + (২ক/৫) মিটার
= (৫ক + ৮ক)/২০ মিটার
= ১৩ক/২০ মিটার

∴ পানির উপরে আছে = ক - (১৩ক/২০)
= (২০ক - ১৩ক)/২০
= ৭ক/২০ মিটার

প্রশ্নমতে,
৭ক/২০ = ১৪
⇒ ৭ক = ১৪ × ২০
⇒ ৭ক = ২৮০
⇒ ক = ২৮০/৭
∴ ক = ৪০

অতএব, লাঠিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার।

প্রশ্ন: √(- 2) × √(- 18) এর মান কত?

সমাধান:
√(- 2) × √(- 18)
= √(- 1 × 2) × √(- 1 × 18)
= (√(- 1) × √2) × (√(- 1) × √18)
= i√2 × i√18   ; [যেহেতু √(- 1) = i]
= i² × √(2 × 18)
= (- 1) × √36    ; [যেহেতু i² = - 1]
= (- 1) × 6
= - 6

প্রশ্ন: ১৪৫২ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
১৪৫২ এর মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করলে পাই,
১৪৫২ = ২ × ২ × ৩ × ১১ × ১১
= ২^২ × ৩ × ১১^২

এখানে, ৩ এর সূচক একক (জোড়া বিহীন)। সুতরাং পূর্ণ বর্গ সংখ্যা পেতে, ১৪৫২ কে ৩ দ্বারা গুণ করতে হবে।
 ১৪৫২ × ৩ = ৪৩৫৬ = ৬৬^২

∴ ৩ দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: কোন একটি সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশের সঙ্গে ৮ যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির তিনগুণ থেকে ৩২ বিয়োগ করলে একই উত্তর পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

শর্তমতে,
(ক/৩) + ৮ = ৩ক - ৩২
⇒ (ক + ২৪)/৩ = ৩ক - ৩২
⇒ ক + ২৪ = ৩ × (৩ক - ৩২)
⇒ ক + ২৪ = ৯ক - ৯৬
⇒ ৯ক - ক = ২৪ + ৯৬
⇒ ৮ক = ১২০
⇒ ক = ১২০/৮
∴ ক = ১৫

প্রশ্ন: ৪০ ও ৯০ এর মধ্যে অবস্থিত ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা দুটির অন্তর কত?

সমাধান:
৪০ এবং ৯০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা হলো = ৪১
আবার,
৪০ এবং ৯০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা হলো = ৮৯

∴ সংখ্যা দুটির অন্তর = (৮৯ - ৪১)
= ৪৮

প্রশ্ন: তিনটি ঘণ্টা যথাক্রমে ২০ মিনিট, ৩০ মিনিট ও ৪০ মিনিট অন্তর বাজে। দুপুর ১২:০০ টায় তিনটি ঘণ্টা একবার একত্রে বাজলে আবার কখন তারা একত্রে বাজবে?

সমাধান:
২০, ৩০ ও ৪০ এর ল.সা.গু হলো ঘণ্টাগুলোর পরবর্তী একত্রে বাজার সময়।
২০ = ২ × ২ × ৫
৩০ = ২ × ৩ × ৫
৪০ = ২ × ২ × ২ × ৫

∴ ২০, ৩০ ও ৪০ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ১২০

অর্থাৎ, ঘণ্টাগুলো ১২০ মিনিট পর আবার একত্রে বাজবে।
এখন, ১২০ মিনিট = ২ ঘণ্টা [ ১ ঘণ্টা = ৬০ মিনিট]

∴ ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = (১২ : ০০ + ২ ঘণ্টা)
= ০২ : ০০ টায়।

প্রশ্ন: ২/৩, ১/২, ৫/৯, এবং ১/১৮ ভগ্নাংশগুলোর গড় কত?

সমাধান:
ভগ্নাংশগুলোর সমষ্টি = (২/৩) +( ১/২) + (৫/৯) + (১/১৮)
= (১২ + ৯ + ১০ + ১)/১৮  ;  [৩, ২, ৯ এবং ১৮ এর ল.সা.গু = ১৮]
= ৩২/১৮
= ১৬/৯

এখানে মোট ৪টি ভগ্নাংশ আছে।
∴ ভগ্নাংশগুলোর গড় = (১৬/৯)/৪
= (১৬/৯) × (১/৪)
= ৪/৯

প্রশ্ন: ৩৬০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
৩৬০ সংখ্যাটিকে প্রথমে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
৩৬০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^২ × ৫^১

এখানে মৌলিক উৎপাদকগুলোর সূচক বা ঘাত হলো:
২ এর সূচক = ৩
৩ এর সূচক = ২
৫ এর সূচক = ১

কোনো সংখ্যার মোট ভাজকের সংখ্যা বের করার সূত্র হলো, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাতের সাথে ১ যোগ করে প্রাপ্ত সংখ্যাগুলো গুণ করা।
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১) × (২ + ১) × (১ + ১)
= ৪ × ৩ × ২
= ২৪

∴ ৩৬০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা হলো ২৪

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৫২, ৭০ ও ৮৮ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৬ ও ৮ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু ৫২, ৭০ ও ৮৮ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৬ ও ৮ অবশিষ্ট থাকে তাই,
৫২ - ৪ = ৪৮
৭০ - ৬ = ৬৪
৮৮ - ৮ = ৮০

এখন, ৪৮, ৬৪ ও ৮০ এর গ.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।
৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ = ২^৪ × ৩
৬৪ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ = ২^৬
৮০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৫ = ২^৪ × ৫

∴ সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু = ২^৪ = ১৬

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ১৬

প্রশ্ন: যদি একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ১৫ হয় এবং লব থেকে ৩ বিয়োগ করলে তা হরের অর্ধেক হয়, তবে ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশটির লব = ক
∴ হর = (১৫ - ক)

প্রশ্নমতে,
ক - ৩ = (১৫ - ক)/২
⇒ ২ × (ক - ৩) = ১৫ - ক
⇒ ২ক - ৬ = ১৫ - ক
⇒ ২ক + ক = ১৫ + ৬
⇒ ৩ক = ২১
⇒ ক = ২১/৩
∴ ক = ৭

লব = ৭ হলে,
হর = ১৫ - ৭ = ৮

অতএব, ভগ্নাংশটি = ৭/৮

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য?

সমাধান:
• কোনো সংখ্যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে তা অবশ্যই ২ এবং ৩ উভয় সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

ক) ২৫৪৬১২: জোড় সংখ্যা, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য। অঙ্কগুলোর যোগফল = ২ + ৫ + ৪ + ৬ + ১ + ২ = ২০, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। সুতরাং এটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

খ) ৩৪৭৮১০: জোড় সংখ্যা, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য। অঙ্কগুলোর যোগফল = ৩ + ৪ + ৭ + ৮ + ১ + ০ = ২৩, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। সুতরাং এটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

গ) ৪২১৫৩০: জোড় সংখ্যা, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য। অঙ্কগুলোর যোগফল = ৪ + ২ + ১ + ৫ + ৩ + ০ = ১৫, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য (১৫ ÷ ৩ = ৫)। যেহেতু সংখ্যাটি ২ এবং ৩ উভয় দ্বারা বিভাজ্য, তাই এটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

ঘ) ৫৬২৭১৪: জোড় সংখ্যা, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য। অঙ্কগুলোর যোগফল = ৫ + ৬ + ২ + ৭ + ১ + ৪ = ২৫, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। সুতরাং এটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

∴ সঠিক উত্তর: গ) ৪২১৫৩০

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: ৫/১১ ভগ্নাংশটির হর এবং লবের সাথে কোন সংখ্যাটি যোগ করলে ভগ্নাংশটি ৩/৫ হবে?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(৫ + ক)/(১১ + ক) = ৩/৫
⇒ ৫ × (৫ + ক) = ৩ × (১১ + ক)
⇒ ২৫ + ৫ক = ৩৩ + ৩ক
⇒ ৫ক - ৩ক = ৩৩ - ২৫
⇒ ২ক = ৮
⇒ ক = ৮/২
∴ ক = ৪

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৮৪২ থেকে যত ছোট, ৬১২ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

Solution:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
৮৪২ - ক = ক - ৬১২
⇒ ৮৪২ + ৬১২ = ক + ক
⇒ ১৪৫৪ = ২ক
⇒ ক = ১৪৫৪/২
∴ ক = ৭২৭

বিকল্প পদ্ধতি:
সংখ্যাটি হলো প্রদত্ত সংখ্যা দুটির গড় বা মধ্যবর্তী মান।
সংখ্যাটি = (৮৪২ + ৬১২)/২
= ১৪৫৪/২
= ৭২৭

∴ সংখ্যাটি হলো ৭২৭

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক ছাত্রকে ৬, ১০, ১৫ এবং ২০ জনের দলে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে সাজানো সম্ভব?

সমাধান:
৬, ১০, ১৫ এবং ২০ এর ল.সা.গু নির্ণয় করি:
৬ = ২ × ৩
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫

∴ ৬, ১০, ১৫ এবং ২০ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৬০

- এখানে ২ এর সূচক জোড়, কিন্তু ৩ এবং ৫ এর সূচক বিজোড় (১)।
- বর্গাকৃতিতে সাজাতে হলে সংখ্যাটিকে পূর্ণবর্গ হতে হবে। পূর্ণবর্গ করতে হলে আরও একটি ৩ এবং একটি ৫ দিয়ে গুণ করতে হবে।

∴ ছাত্রসংখ্যা = ৬০ × ৩ × ৫
= ৬০ × ১৫
= ৯০০ জন

প্রশ্ন: যদি একটি জলাধারের ২/৭ অংশ পূর্ণ আছে এবং জলাধারটির ৫/৭ অংশ পূর্ণ করতে আরও ২৪ লিটার পানির প্রয়োজন হয়, তবে জলাধারটির ধারণক্ষমতা কত লিটার?

সমাধান:
২৪ লিটার পানি দ্বারা পূর্ণ হয় জলাধারের {(৫/৭) - (২/৭)} অংশ
= ৩/৭ অংশ

জলাধারের ৩/৭ অংশের ধারণক্ষমতা = ২৪ লিটার
∴ জলাধারের ১ বা সম্পূর্ণ অংশের ধারণক্ষমতা = (২৪ × ৭)/৩ লিটার
= ৫৬ লিটার।

প্রশ্ন: m ও n দুটি বিজোড় সংখ্যা হলে, নিচের কোন সংখ্যাটি অবশ্যই বিজোড় হবে?

সমাধান:
ধরা যাক, m = 1 এবং n = 3 (যেকোনো দুটি বিজোড় সংখ্যা)

এখন,
ক) m + n = 1 + 3 = 4 (জোড়)
খ) m² + n² = 1² + 3² = 1 + 9 = 10 (জোড়)
গ) (m + n)² = (1 + 3)² = 4² = 16 (জোড়)
ঘ) mn + 2 = (1 × 3) + 2 = 3 + 2 = 5 (বিজোড়)

∴ সঠিক উত্তর হলো ঘ) mn + 2

প্রশ্ন: চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৮, ১০, ১৫ ও ২০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০
৮ = ২ × ২ × ২ = ২^৩
১০ = ২ × ৫
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫ = ২^২ × ৫

∴ ৮, ১০, ১৫ ও ২০ এর ল.সা.গু = ২^৩ × ৩ × ৫
= ৮ × ৩ × ৫ = ১২০

এখন ১০০০ কে ১২০ দিয়ে ভাগ করি,
১০০০ ÷ ১২০ = ৮ ভাগফল
১২০ × ৮ = ৯৬০
∴ ভাগশেষ = ১০০০ - ৯৬০ = ৪০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১২০ - ৪০ = ৮০

অর্থাৎ, ১০০০ এর সাথে ৮০ যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা (১০৮০) ১২০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি সংখ্যা পরস্পর সহমৌলিক?

সমাধান:
আমরা জানি, দুই বা ততোধিক সংখ্যার মধ্যে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক (Common Factor) না থাকলে সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক। অর্থাৎ এদের গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু) হবে ১।

এখানে, 
ক) ১২ = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ১২ এবং ১৮ = ১, ২, ৩, ৬, ৯, ১৮।
এদের সাধারণ গুণনীয়ক ২, ৩, ৬; তাই এগুলো সহমৌলিক নয়।

খ) ১৬ = ১, ২, ৪, ৮, ১৬ এবং ৩৫ = ১, ৫, ৭, ৩৫।
এখানে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই। অর্থাৎ এদের গ.সা.গু ১। সুতরাং ১৬ এবং ৩৫ পরস্পর সহমৌলিক।

গ) ২১ = ১, ৩, ৭, ২১ এবং ২৮ = ১, ২, ৪, ৭, ১৪, ২৮।
এখানে ৭ একটি সাধারণ গুণনীয়ক; তাই এগুলো সহমৌলিক নয়।

ঘ) ২৭ = ১, ৩, ৯, ২৭ এবং ৪৫ = ১, ৩, ৫, ৯, ১৫, ৪৫।
এখানে ৩ এবং ৯ সাধারণ গুণনীয়ক; তাই এগুলো সহমৌলিক নয়।

∴ সঠিক উত্তর হলো খ) ১৬, ৩৫

প্রশ্ন: যদি দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৪৮ এবং গ.সা.গু ৮ হয় এবং একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ হয়, তবে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, বড় সংখ্যাটি = ক
তাহলে ছোট সংখ্যাটি = ২ক/৩

আমরা জানি,
সংখ্যা দুটির গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ক × (২ক/৩) = ৪৮ × ৮
⇒ ২ক^২/৩ = ৩৮৪
⇒ ২ক^২ = ৩৮৪ × ৩
⇒ ২ক^২ = ১১৫২
⇒ ক^২ = ৫৭৬
⇒ ক = √৫৭৬
∴ ক = ২৪

অতএব, ছোট সংখ্যাটি = (২৪ × ২)/৩ = ১৬

প্রশ্ন: সর্বাধিক কতজন শিক্ষার্থীর মধ্যে ১২০টি চকলেট এবং ১৪৪টি বিস্কুট সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

সমাধান:
শিক্ষার্থীর সংখ্যা হবে ১২০ এবং ১৪৪ এর গ.সা.গু।

১২০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
১৪৪ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩

এখানে সাধারণ উৎপাদকগুলো হলো ২, ২, ২ এবং ৩
∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ = ২৪

অতএব, সর্বাধিক ২৪ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে চকলেট ও বিস্কুটগুলো সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে।

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ১/৩ অংশের সাথে ২৫ যোগ করলে তা সংখ্যাটির ২/৩ অংশের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নমতে,
(ক/৩) + ২৫ = ২ক/৩
বা, (২ক/৩) - (ক/৩) = ২৫
বা, (২ক - ক)/৩ = ২৫
বা, ক/৩ = ২৫
বা, ক = ২৫ × ৩
∴ ক = ৭৫

∴ সংখ্যাটি হলো ৭৫

প্রশ্ন: দুইটি দলের সদস্য সংখ্যার ল.সা.গু ৯০ ও গ.সা.গু ১৫ হলে এবং প্রতিটি দলের সদস্য সংখ্যা গ.সা.গু অপেক্ষা বেশি হলে, উভয় দলের সদস্য মোট কত জন?

সমাধান:
আমরা জানি, সংখ্যা দুটির গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
সংখ্যা দুটির গুণফল = ৯০ × ১৫ = ১৩৫০

আবার, সংখ্যা দুটি অবশ্যই তাদের গ.সা.গু (১৫) এর গুণিতক হবে।
ধরি, সংখ্যা দুটি ১৫a এবং ১৫b (যেখানে a ও b পরস্পর মৌলিক সংখ্যা)।

শর্তমতে,
১৫a × ১৫b = ১৩৫০
⇒ ২২৫ab = ১৩৫০
⇒ ab = ১৩৫০/২২৫
⇒ ab = ৬

যেহেতু a ও b পরস্পর মৌলিক, তাই তাদের গুণফল ৬ হওয়ার সম্ভাব্য জোড়া হলো (১, ৬) অথবা (২, ৩)।

যদি (a, b) = (১, ৬) হয়,
তবে সংখ্যা দুটি: (১৫ × ১) = ১৫ এবং (১৫ × ৬) = ৯০
কিন্তু প্রশ্নে বলা হয়েছে প্রতিটি দলের সদস্য সংখ্যা গ.সা.গু (১৫) অপেক্ষা বেশি হতে হবে। এখানে একটি দলের সদস্য ১৫ জন, যা শর্ত পূরণ করে না।

যদি (a, b) = (২, ৩) হয়, তবে সংখ্যা দুটি: (১৫ × ২) = ৩০ এবং (১৫ × ৩) = ৪৫
এখানে ৩০ ও ৪৫ উভয়ই ১৫ অপেক্ষা বেশি, যা শর্ত পূরণ করে।

∴ উভয় দলের মোট সদস্য সংখ্যা = (৩০ + ৪৫) = ৭৫ জন।

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার যোগফল ৩৬ হলে, তাদের গুণফল কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্রমিক জোড় সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে: ক, ক + ২ এবং ক + ৪

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ২) + (ক + ৪) = ৩৬
⇒ ৩ক + ৬ = ৩৬
⇒ ৩ক = ৩৬ - ৬
⇒ ৩ক = ৩০
⇒ ক = ৩০/৩
⇒ ক = ১০

তাহলে সংখ্যা তিনটি হলো: ১০, ১২ এবং ১৪
∴ তাদের গুণফল = ১০ × ১২ × ১৪
= ১৬৮০

∴ সংখ্যা তিনটির গুণফল হলো ১৬৮০