ব্যাংক ডেইলি কুইজ [লং কোর্সের অংশ]

Question: A bag contains 4 white, 5 red, and 6 blue balls. One ball is drawn at random. What is the probability that the ball drawn is neither white nor blue?

Solution:
Total number of balls, n(S) = 4 + 5 + 6 = 15

Let E = event that the ball is neither white nor blue (which means the ball is red)

Number of red balls, n(E) = 5

∴ Probability, P(E) = n(E)/n(S)
= 5/15
 = 1/3

Question: In how many different ways can the letters of the word 'ENGINE' be arranged?

Solution:
'ENGINE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি।

এখানে,
E আছে ২টি
N আছে ২টি

আমরা জানি, পুনরাবৃত্ত বর্ণ থাকলে বিন্যাস সংখ্যা = n!/(p! × q!)
∴ বিন্যাস সংখ্যা = 6!/(2! × 2!)
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/{(2 × 1) × (2 × 1)}
= 720/(2 × 2)
= 720/4
= 180

Question: Rakib flipped a fair coin 6 times and got tails every time. What is the probability that he will get a tail on the 7th flip?

Solution:
মুদ্রা নিক্ষেপের প্রতিটি ট্রায়াল বা নিক্ষেপ একটি স্বাধীন ঘটনা (Independent Event)।

রাকিবের আগে ৬ বারই Tails পাওয়া, ৭ম নিক্ষেপের ফলাফলের ওপর কোনো প্রভাব ফেলবে না।

একটি নিরপেক্ষ মুদ্রার (Fair coin) ক্ষেত্রে কেবল দুটি সম্ভাব্য ফলাফল থাকে: Head অথবা Tail।
এখানে মোট ফলাফল সংখ্যা, n(S) = 2

৭ম নিক্ষেপে Tail পাওয়ার অনুকূল ফলাফল সংখ্যা, n(E) = 1

∴ P(E) = n(E)/n(S)
= 1/2

Question: In a social gathering, 12 people shake hands with each other. How many handshakes were there in total?

Solution:
একটি হ্যান্ডশেক সম্পন্ন করতে 2 জন ব্যক্তির প্রয়োজন হয়। তাই 12 জন ব্যক্তি থেকে 2 জনকে কতভাবে বাছাই করা যায়, সেটিই হবে মোট হ্যান্ডশেক সংখ্যা।

এখানে মোট ব্যক্তি, n = 12
প্রতিবার হ্যান্ডশেক করতে লাগে, r = 2

সূত্রমতে, মোট হ্যান্ডশেক সংখ্যা = ⁿC₂
 = n(n - 1)/2
= 12(12 - 1)/2
= (12 × 11)/2
= 132/2
= 66

Question: Tickets numbered 1 to 30 are mixed up and then a ticket is drawn at random. What is the probability that the ticket drawn has a number which is a multiple of 4 or 5?

Solution:
Here, S = {1, 2, 3, 4, ...., 29, 30}
n(S) = 30

Let E = event of getting a multiple of 4 or 5
∴ n(E) = {4, 5, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 25, 28, 30}

∴ P(E) = n(E)/n(S)
= 12/30
= 2/5

Question: In how many ways can a group of 4 men and 3 women be made out of a total of 6 men and 5 women?

Solution:
There are 6 men and 5 women. We have to select 4 men out of 6 and 3 women out of 5.

Number of ways to select 4 men from 6 = ⁶C₄ = 6!/(4! × 2!)
= (6 × 5)/(2 × 1) = 15

Number of ways to select 3 women from 5 = ⁵C₃
= 5!/(3! × 2!)
= (5 × 4)/(2 × 1)
= 10

∴ The number of ways of making the selection = 15 × 10 = 150 ways

Question: There are 8 multiple-choice questions in an examination. Each question has 4 options. In how many different ways can these questions be answered?

Solution:
For each multiple-choice question, there are 4 possible answers (options A, B, C, or D).

Since there are 8 questions, and each question can be answered independently:

Total number of ways = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4
= 4⁸ ways
= 65536 ways

Question: A school has 8 basketball players. A 5-member team and a captain (selected from the remaining players) will be chosen out of these 8 players. How many different selections can be made?

Solution:
We can select the 5 member team out of the 8 in = ⁸C₅ ways
= 8!/(5! × 3!)
= 56 ways

The captain can be selected from amongst the remaining 3 players in = ³C₁
= 3 ways.

∴ The total ways the selection of 5 players and a captain can be made = 56 × 3 ways
= 168 ways

Question: What is the probability of getting a sum 7 from two throws of a dice?

Solution:
দুটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট সম্ভাব্য ফলাফল (Sample Space), n(S) = 6 × 6 = 36

ধরি, E হলো প্রাপ্ত সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল 7 হওয়ার ঘটনা।
∴ অনুকূল ফলাফলগুলো হলো, E = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}

এখানে, n(E) = 6

আমরা জানি,সম্ভাবনা P(E) = n(E)/n(S)
= 6/36
= 1/6

Question: In how many ways can 4 people from a group of 6 people be seated around a circle table?

Solution:
এখানে 6 জন মানুষের মধ্য থেকে 4 জনকে নিয়ে একটি বৃত্তাকার টেবিলে বসাতে হবে।

প্রথমে 6 জন থেকে 4 জনকে বাছাই করার উপায় = ⁶C₄
= 6!/(4! × 2!) 
= (6 × 5)/(2 × 1)
= 15

আমরা জানি, n জন ব্যক্তিকে একটি বৃত্তাকার টেবিলে বসানোর উপায় = (n - 1)!
সুতরাং, বাছাইকৃত 4 জন ব্যক্তিকে বৃত্তাকার টেবিলে বসানোর উপায় = (4 - 1)! = 3!
= 3 × 2 × 1 = 6 উপায়।

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = (বাছাই করার উপায়) × (বৃত্তাকারে বসানোর উপায়)
= 15 × 6
= 90 ways

Question: Out of 6 persons working on a project, 2 are graduated. If 2 are selected, what is the probability that there is at least one graduate among them?

Solution:
এখানে মোট ব্যক্তি = 6 জন, গ্র্যাজুয়েট = 2 জন এবং নন-গ্র্যাজুয়েট = (6 - 2) = 4 জন।

6 জন থেকে 2 জনকে বাছাই করার মোট উপায় = ⁶C₂
= (6 × 5)/(2 × 1)
= 15 

এখন, 2 জনের মধ্যে একজনও গ্র্যাজুয়েট না থাকার (অর্থাৎ 2 জনই নন-গ্র্যাজুয়েট হওয়ার) উপায় = ⁴C₂
= (4 × 3)/(2 × 1) = 6 

∴ একজনও গ্র্যাজুয়েট না থাকার সম্ভাবনা = 6/15 = 2/5

আমরা জানি, কমপক্ষে একজন গ্র্যাজুয়েট থাকার সম্ভাবনা = 1 - (একজনও গ্র্যাজুয়েট না থাকার সম্ভাবনা)
= 1 - (2/5)
= 3/5

Question: If two coins are tossed, what is the probability of getting at least one head?

Solution:
দুটি মুদ্রা নিক্ষেপ করলে নমুনা ক্ষেত্রটি হলো,
S = {HH, HT, TH, TT}
এখানে মোট ফলাফল সংখ্যা, n(S) = 4

"at least one head" বলতে বোঝায় কমপক্ষে 1টি head অর্থাৎ 1 টি অথবা 2 টিও হতে পারে।

1টি head আছে এমন ফলাফল: {HT, TH}
2টি head আছে এমন ফলাফল: {HH}

∴ অনুকূল ফলাফল, n(E) = {HT, TH, HH}
∴ n(E) = 3

∴ সম্ভাবনা P(E) = n(E)/n(S)
∴ P(E) = 3/4

Question: ⁷P_r = 210 and ⁷C_r = 35 then what is the value of r?

Solution:
Given that,
⁷P_r = 210 and ⁷C_r = 35

We know that,
ⁿP_r = r! × ⁿC_r
⇒ 210 = r! × 35
⇒ r! = 210/35
⇒ r! = 6
⇒ r! = 3!
∴ r = 3

Question: Twelve distinct points are randomly placed on the circumference of a circle. At most how many triangles can be formed using these points?

Solution:
Given that,
Number of distinct points, n = 12
To form a triangle, we need to select 3 points out of n points.

Maximum number of triangles = ¹²C₃
= 12!/{3!(12 - 3)!}
= (12 × 11 × 10 × 9!)/(3 × 2 × 1 × 9!)
= (12 × 11 × 10)/6
= 220

Question: A bag contains 5 red, 3 green, and 4 blue balls. Two balls are drawn without replacement. What is the probability that the first ball is green and the second ball is red or blue?

Solution:
Given that,
Red balls = 5
Green balls = 3
Blue balls = 4
∴ Total balls = 5 + 3 + 4 = 12

We know Probability = Favorable outcomes/Total outcomes

Now, First ball is Green = 3/12 = 1/4

If first is green, then the remaining balls = 11
Second ball is Red or Blue = (5 + 4)/11 = 9/11

∴ Required probability = (1/4) × (9/11)
= 9/44