১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

এখানে,
৩ - ১ = ২
৪ - ২ = ২
৫ - ৩ = ২ 
৬ - ৪ = ২
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৩, ৪, ৫ ও ৬ -এর ল.সা.গু অপেক্ষা ২ কম।
৩,৪,৫,৬ - এর ল.সা.গু = ৬০
∴ নির্ণেয় সংখ্যা = (৬০-২) = ৫৮

বড় সংখ্যাটি 3x হলে ছোট সংখ্যাটি হবে 2x
আমরা জানি, দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু x গ.সা.গু
⇒3x × 2x = 84 × 14
⇒ 6x² = 1176
⇒ x² = 196
⇒ x = 14
∴ ছোট সংখ্যাটি 2 x 14 = 28

৮০% মূল্য = ৪৮ টাকা
∴ ১% মূল্য = ৪৮/৮০ টাকা
∴ ১০০% মূল্য = (৪৮×১০০)/৮০ টাকা
= ৬০ টাকা

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৮ টাকা
∴ ৫৫০ 〃  ১   〃    〃(৮×৫৫০)/১০০〃
= ৪৪ টাকা
মোট সুদের পরিমাণ = (৭২৬-৫৫০) = ১৭৬ টাকা
৪৪ টাকা সুদ হয় ১ বছরে
১৭৬ 〃  〃  〃 ১৭৬/৪৪ 〃
= ৪ বছরে

৩ বছরের সুদ = (২৪২০০ - ২০০০০) = ৪২০০ টাকা
∴ ১ বছরের সুদ = (৪২০০ ÷ ৩) = ১৪০০ টাকা
২০০০০ টাকার ১ বছরের সুদ ১৪০০ টাকা
∴ ১ 〃১ 〃〃 ১৪০০/২০০০০ টাকা
∴ ১০০ 〃১ 〃〃 (১৪০০×১০০)/২০০০০ টাকা
= ৭ টাকা

সুজেল, রুজেল ও রুবেলের আপেলের অনুপাত
= ১/৬ : ১/৩ : ১/৪
= (১×১২)/৬ : (১×১২)/৩ : (১×১২)/৪
= ২ : ৪ : ৩
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = (২+৪+৩) = ৯
∴ রুবেল আপেল পাবে ২১৬ এর ৩/৯ টি
= ৭২ টি

১ ডজন = ৩ হালি
১ হালি লেবুর বিক্রয়মূল্য ৫ টাকা হলে ১ ডজন এর বিক্রয় মূল্য (৫×৩) = ১৫ টাকা
সুতরাং, লাভ = (১৫-১২) = ৩ টাকা
১২ টাকায় লাভ হয় ৩ টাকা
∴১০০ টাকায় লাভ হয় (৩×১০০)/১২ টাকা
                      = ২৫ টাকা

অনুপাত গুলোর সমষ্টি = (৩+১+২) = ৬
সুতরাং, বাঁশটির ২/৬ অংশ নীল রং করা হয়েছিল
∴ ৬০ এর ২/৬ = ২০ ফুট

x² - 3x + 1 = 0
⇒ x² +1 = 3x
⇒ (x² +1)/x = 3x/x
∴ x + 1/x = 3
সূত্রানুসারে,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4.x.1/x
⇒ x - 1/x = √{(3)² - 4}
∴ x - 1/x = √5
এখন,
(x² - 1/x²) = (x + 1/x)(x - 1/x)
= 3√5

আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
⇒ (ab + bc + ca) = {(a + b + c)² - (a² + b² + c²)}/2
= (11² - 45)/2
= (121 - 45)/2
= 76/2
= 38

³√(8+x) = 3
⇒ 8 + x = 27 [ঘন করে]
∴ x = 19

4x⁴ + 8a²x² + 9a⁴
= (2x²)² + 2.2x².3a² + (3a²)² - 4a²x²
= (2x² + 3a²)² - (2ax)²
= (2x² + 3a² + 2ax)(2x² + 3a² - 2ax)
= (2x² + 2ax + 3a²)(2x² - 2ax + 3a²)

x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2.y.1 + 1²)
= x² - (y-1)²
= (x+y-1) (x-y+1)

f(-1) = (-1)³ + 2(-1) + 8
= -1 - 2 + 8
= 5

(x-3)(a+x) = x²-9
⇒ (x-3)(a+x) = (x+3)(x-3)
⇒ a+x = x+3
∴ a = 3

(x-4)² = 0
⇒ x² - 8x + 16 = 0
এই সমীকরণ টিকে ax²+bx+c = 0 এর সাথে তুলনা করে -
a = 1 ; b = -8 ; c = 16
এখন,
ax²+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল = -b/a = -(-8/1) = 8

ধরি, ঐ শ্রেণিতে ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা = x
প্রশ্নমতে,
x(x+15) = 4500
⇒ x² + 15x - 4500 = 0
⇒ x² + 75x - 60x - 4500 = 0
⇒ x(x+75) - 60(x+75) = 0
⇒ (x+75)(x-60) = 0
∴ x = 60 [x = -75 গ্রহণযোগ্য নয়]

x²+y² = 185 ---------- (1)
⇒ (x-y)² + 2xy = 185
⇒ 2xy = 185 - (3)²
⇒ 2xy = 176 -------- (2)
আবার,
x²+y² = (x+y)² - 2xy
⇒ 185 = (x+y)² - 176 [1 ও 2 থেকে মান বসিয়ে]
⇒ (x+y)² = 361
⇒ x+y = 19 ---------- (3)
এখন,
(x+y) + (x-y) = 19 + 3
⇒ 2x = 22
⇒ x = 11
এবং,
(x+y) - (x-y) = 19 - 3
⇒ 2y = 16
⇒ y = 8
∴ (x,y) = (11, 8)

আমরা জানি,
xy = {(x+y)/2}² - {(x-y)/2}²
= (10/2)² - (4/2)²
= 5² - 2²
= 25 - 4
= 21

প্রথম শর্তটি সবগুলো অপশনই পূর্ণ করে।
দ্বিতীয় শর্তের ক্ষেত্রে কেবল 93 এর অংকদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে 39 হয় অর্থাৎ (93-39) = 54 হ্রাস পায়।
অর্থাৎ, সংখ্যাটি 54।
বিকল্প পদ্ধতিঃ
ধরি,
একক স্থানিয় অংক = x
দশক স্থানীয় অংক = y
∴ সংখ্যাটি = 10y + x
এবং x + y = 12 -------- (1)
প্রশ্নমতে,
10x + y = (10y+x) - 54
⇒ 10x + y - 10y - x = -54
⇒ 9x - 9y = -54
∴ x - y = -6 ----------- (2)
এখন,
(1)+(2) ⇒ (x+y) + (x-y) = 12 - 6
⇒ 2x = 6
⇒ x = 3
আবার, (1) - (2) ⇒ (x+y) - (x-y) = 12 - (-6)
⇒ 2y = 18
⇒ y = 9
∴ সংখ্যাটি = 10y + x = 10(9) + 3 = 93

3x-2 > 2x-1
⇒ 3x-2x > 2-1
⇒ x > 1
∴ সমাধান সেট (1, ∞)

x > y...….....(1)
z < 0............(2)
(2) নং হতে, z অবশ্যই ঋণাত্মক সংখ্যা
(1) নং কে z দ্বারা গুন করলে, xz < yz.

log‌₂32
= log‌₂2⁵
= 5

³√³√a³
= ³√a
= a^1/3

6log3 - log9
= 6log3 - log3²
= 6log3 - 2log3
= 4log3
= log3⁴
= log81

এখানে, n তম পদ = 45
সূত্রমতে,
সমষ্টি, S = {n(n+1)(2n+1)} / 6
= {45(45+1)(2×45 + 1)} / 6
= (45 × 46 × 91) / 6
= 31,395

এখানে, ১ম পদ a = 2
ধরি, সাধারণ অনুপাত = r
ধারাটির চতুর্থ পদ = ar⁴⁻¹ = 2r³
প্রশ্নমতে,
2r³ = 54
⇒ r³ = 27
⇒ r = 3
∴ তৃতীয় পদ c = ar³⁻¹
= 2 × 3³⁻¹
= 2 × 3²
= 2 × 9
= 18

১ম রাশি = x³ + x²y
= x²(x+y)
২য় রাশি = x²y + xy²
= xy(x+y)
∴ ল.সা.গু. = x²y(x+y)

একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করতে হলে নিম্নোক্ত তথ্যগুলোর অন্তত যে কোন একটি জানা থাকতে হবেঃ
১. দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ
২. দুই কোণ ও এক বাহুর দৈর্ঘ্য
৩. দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ও একটির বিপরীত কোণ
৪. তিন বাহুর দৈর্ঘ্য

যেহেতু AB = AC সেহেতু △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
সুতরাং, ∠ABC = ∠ACB = 45°
আবার, যেহেতু AB∥EC সেহেতু ∠ABC = ∠ECD = 45°
চিত্র হতে, ∠ACE = 180° - (∠ACB + ∠ECD)
= 180° - (45° + 45°)
= 180° - 90°
= 90°

অতিভুজ = √(৩²+৪²)
= √(৯+১৬)
= √২৫
= ৫ সে.মি.

কোন বস্তু কণা বৃত্তাকার পথে ঘুরে আসলে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে পরিধি 2πr
অর্থাৎ, 3 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের পরিধি = 2.π.3 = 6π
অর্ধেক পথ ঘুরলে অর্ধ-পরিসীমা বা 6π/2 = 3π দূরত্ব অতিক্রম করে।

১ মিনিট বা ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে ৯০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে ঘুরে ৯০/৬০ বার
= ১.৫ বার
১ বার ঘুরলে ঘুরে ৩৬০°
∴ ১.৫ বার ঘুরলে ঘুরে (৩৬০ × ১.৫)°
= ৫৪০°
৫৪০° ঘুরে ১ সেকেণ্ডে
∴ ৯০° ঘুরে (১×৯০)/৫৪০ সেকেন্ডে
= ১/৬ সেকেন্ডে

“বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোন জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।”
অর্থাৎ, অপর জ্যা-টি ৪ সে.মি. দৈর্ঘ্যে সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে। সুতরাং, এই জ্যা এর দৈর্ঘ্যও ৮ সে.মি.। আবার,
বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
অন্যদিকে, জ্যা দুটি সমান্তরাল হতেও পারে আবার না ও হতে পারে।

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ক্ষেত্রফল (√3/4)a²
প্রশ্নমতে,
(√3/4)a² = 9√3
⇒ √3a² = 9√3 × 4
⇒ a² = (9√3 × 4)/√3
⇒ a² = 36
∴ a = 6

ধরি,
প্রস্থ = x মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = 2x মিটার
প্রশ্নমতে,
x.2x = 72
⇒ x² = 36
⇒ x = 6
অর্থাৎ, প্রস্থ 6 মিটার এবং দৈর্ঘ্য 12 মিটার।
∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = 2(6+12) মিটার
= ৩৬ মিটার।

A সেটের উপাদানগুলো মৌলিক সংখ্যা হবে এবং তাদের বর্গ 25 এর ছোট হবে।
কিন্তু x এর মান 5 হলে x² = 25 বা x² ≮ 25.
অর্থাৎ, 5 এর থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলোই হবে A এর উপাদান।
∴ A = {2, 3}
উল্লেখ্য 1 সংখ্যাটি মৌলিক কিংবা যৌগিক কোনটিই নয়।

প্রতি দলে ৪ জন করে নিয়ে দল গঠিত হবে।
৮ জন থেকে ৪ জন করে নিয়ে মোট দল গঠনের উপায় = ৮C৪ = (৮)!/(৪!(৮-৪)!) = (৮)!/(৪!×৪!) = ৭০ সমান সংখ্যক বা ৪ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ৭০/২ = ৩৫

যেহেতু একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে তাই ঢুকার সময় দরজা ৪ টি থাকলেও বের হওয়ার সময় যেটা দিয়ে প্রবেশ করবে সেটা বাদ দিয়ে ৩ টি দরজা থাকবে।
সুতরাং উপায় সংখ্যা = ৪×৩ = ১২

যেহেতু প্রত্যেকবার 2 জন করে হ্যান্ডশেক করবে সেহেতু মোট হ্যান্ডশেক সংখ্যা 15C2.
15C2
= 15!/{2!×(15-2)!}
= (15×14×13!) / (2!×13!)
= (15×14) / 2
= 105

৫০ জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = (৫০ × ৭৫) = ৩৭৫০
৩০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = (৩০ × ৭৮) = ২৩৪০
(৫০ - ৩০) বা ২০ জন ছাত্রীর মোট নম্বর = (৩৭৫০ - ২৩৪০) = ১৪১০
∴ ২০ জন ছাত্রীর গড় নম্বর = ১৪১০/২০ = ৭০.৫