শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: b = √3 - a এবং a = √2 + b হলে  ab(a² + b²) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
b = √3 - a
⇒ a + b = √3

এবং,
a = √2 + b
⇒ a - b = √2

প্রদত্ত রাশি,
ab(a² + b²)
= (1/8) [8ab (a² + b²)]
= (1/8)[4ab × 2(a² + b²)]
=(1/8)[{(a + b)² - (a - b)²}{(a + b)² + (a - b)²}]
= (1/8)[{(√3)² - (√2)²}{(√3)² + (√2)²}]
= (1/8)[(3 - 2)(3 + 2)]
= 1 × (5/8)
= 5/8

প্রশ্ন: a + b = 10 এবং ab = 9 হলে a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = 10
ab = 9

আমরা জানি,
a³ + b³ 
= (a + b)³ - 3ab(a + b)
= 10³ - (3 × 9 × 10)
= 1000 - 270
= 730

প্রশ্ন: a + (1/a) = 2 হলে, a⁶ + (1/a⁶) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + (1/a) = 3
⇒ (a³)² + (1/a³)²
= {a³ + (1/a³)}² - 2 · a³ · (1/a³)
= [{a + (1/a)}³ - 3 · a · (1/a){a + (1/a)}]² - 2
= {(2³) - 3 · 2}² - 2
= (8 - 6)² - 2
= 2² - 2
= 4 - 2
= 2

প্রশ্ন: a + b = 17 এবং ab = 60 হলে a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 17
ab = 60

আমরা জানি,
a² + b² = (a + b)² - 2ab
 = 17² - (2 × 60)
 = 289 - 120
 = 169

প্রশ্ন: a + b = 5 হলে, a³ + b³ + 15ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 5

প্রদত্ত রাশি = a³ + b³ + 15ab
= (a + b)³ - 3ab(a + b) + 15ab
= 5³ - 3ab · 5 + 15ab
= 125 - 15ab + 15ab
= 125

প্রশ্ন: √3 - (1/a) = a হলে, a³ + a + (1/a) + (1/a³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
√3 - (1/a) = a
⇒ a + (1/a) = √3

প্রদত্ত রাশি = a³ + a + (1/a) + (1/a³)
= a³ + (1/a³) + a + (1/a)
= {a + (1/a)}³ - 3 · a · (1/a){a + (1/a)} + {a + (1/a)}
= (√3)³ - 3√3 + √3
= 3√3 - 3√3 + √3
= √3

প্রশ্ন: a² + b² + c² = 29, (a + b + c) = 9 হলে, ab + bc + ca এর মান কত?

সমাধান: 
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) 
⇒ 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)
⇒ 2(ab + bc + ca) = 9² - 29
⇒ 2(ab + bc + ca) = 81 - 29 
⇒ 2(ab + bc + ca) = 52
⇒ (ab + bc + ca) = 52/2
∴ (ab + bc + ca) = 26

প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = 2  হয়, তাহলে x² + (1/x²) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 2 

প্রদত্ত রাশি = x² + (1/x²)
= {x + (1/x)}² - 2 × x × (1/x)
= 2² - 2 
= 4 - 2
= 2

প্রশ্ন: x + (1/x) = √5 হলে (x⁶ + 1)/x³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x + (1/x) = √5

প্রদত্ত রাশি = (x⁶ + 1)/x³
= x⁶/x³ + 1/x³
= x³ + (1/x³)
= {x + (1/x)³- 3 . x . (1/x){x + (1/x)}
= (√5)³ - 3√5
= 5√5 - 3√5
= 2√5

প্রশ্ন : a = √5 - √4 হলে a² + (1/a²) এর মান কত?

সমাধান :
দেওয়া আছে,
a = √5 - √4

∴ 1/a = 1/(√5 - √4)
= 1(√5 + √4)/(√5 - √4)(√5 + √4)
= (√5 + √4)/(√5)² - (√4)²
= (√5 + √4)/(5 - 4)
= (√5 + √4)

এখন,
a² + (1/a²) = {a + (1/a)}² - 2 × a × (1/a)
= (√5 - √4 + √5 + √4)² - 2
= (2√5)² - 2
= 20 - 2
= 18

প্রশ্ন: x⁴ + 2x² + 1 = 5x² হলে, x + (1/x) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x⁴ + 2x² + 1 = 5x²
⇒ x² + 2 + (1/x²) = 5
⇒ x² + (1/x²) = 5 - 2  = 3
⇒ {x + (1/x)}² - 2 . x . (1/x) = 3
⇒ {x + (1/x)}² - 2 = 3
⇒ {x + (1/x)}² = 3 + 2 
⇒ {x + (1/x)}² = 5
⇒ x + (1/x) = √5

প্রশ্ন: a² - 2a - 1 = 0 হলে a³ - 1/a³ = ?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a² - 2a - 1 = 0
বা, a² - 1 = 2a
বা, (a² - 1)a = 2a/a [ উভয়পক্ষে a দ্বারা ভাগ করে ]
বা, a - 1/a = 2 ....... ( 1 )
বা, (a - 1/a)³ = 2³ [ ঘন করে ]
বা, a³ - (1/a)³ - 3 × a × 1/a × (a - 1/a) = 8 [ ( 1 ) নং থেকে ]
বা, a³ - 1/a³ - 3 × (a - 1/a) = 8
বা, a³ - 1/a³ - 3 × 2 = 8 [ ( 1 ) নং থেকে ]
বা, a³ - 1/a³ = 8 + 6
বা, a³ - 1/a³ = 14

প্রশ্ন: 4x² + 9y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
মনে করি,
a যোগ করতে হবে
4x² + 9y² + a
= (2x)² + (3y)² + 2 · 2x · 3y
= (2x)² + (3y)² + 12xy   [ a = 24xy]
= (2x + 3y)²

∴12xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

আবার,
4x² + 9y² + (- 4x²)
= 4x2 + 9y2 - 4x²
= 9y²
= (3y)²

∴ - 4x² যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

আবার,
4x² + 9y² + (- 9y²)
= 4x² + 9y² - 9y²
= 4x²
= (2x)²

∴ - 9y² যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

∴ সঠিক উত্তর সবকটি।

প্রশ্ন: x² - √7x + 1 = 0 হলে, x - 1/x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - √7x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = √7x
⇒ (x² + 1)/x = √7x
⇒ x + (1/x) = √7

আমরা জানি
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4x.1/x
(x - 1/x)² = (√7)² - 4
(x - 1/x)² = 7 - 4
(x - 1/x)² = 3
x - 1/x = √3

প্রশ্ন: a - b = c হলে, a³ - b³ - c³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - b = c
⇒ (a - b)³ = c³
⇒ a³ - b³ - 3ab(a - b) = c³
⇒ a³ - b³ - 3abc = c³  [a - b এর মান বসিয়ে]
⇒ a³ - b³ - c³ = 3abc

প্রশ্ন: a + b = 5 এবং a - b = 3 হলে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 5
a - b = 3

ab = {(a + b)/2}² - {(a - b)/2}²
= (5/2)² - (3/2)²
= (25/4) - (9/4)
= (25 - 9) / 4
= 16/4
= 4

প্রশ্ন: a + b + c = 6 এবং a² + b² + c² = 14 হলে, (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
a + b + c = 6
a² + b² + c² = 14

প্রদত্ত রাশি = (a - b)² + (b - c)² + (c - a)²
= a² + 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ca + a²
= 2a² + 2b² + 2c² - 2(ab + bc + ca)
= 2(a² + b² + c²) - {(a + b + c)² - (a² + b² + c²)}
= (2 × 14) - {(6)² - 14}
= (2 × 14) - (36 - 14)
= 28 - 22
= 6

প্রশ্ন: a⁴ + a²b² + b⁴ = 8 এবং a² + ab + b² = 4 হলে, a² - ab + b² এর মান কত?

সমাধান: 
a⁴ + a²b²+ b⁴ = 8 এবং a² + ab + b² = 4
বা, (a²)² + 2.a².b² + (b²)² - a².b² = 8
বা, (a² + b²)²  - (ab)² = 8
বা, (a² + b² + ab)(a² + b² - ab) = 8
বা, 4(a² - ab + b²) = 8
∴ a² - ab + b² = 2

প্রশ্ন: যদি a - (1/a) = 4 হয়, তবে a⁴ + (1/a⁴) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - (1/a) = 4

প্রদত্ত রাশি = a⁴ + (1/a⁴)
= (a²)² + (1/a²)²
= {a² + (1/a²)}² - 2 · a² · (1/a²)
= {(a)² + (1/a)²}² - 2
= [{a - (1/a)}² + 2 · a · (1/a)]² - 2
= {(4²) + 2}² - 2
= (16 + 2)² - 2
= 18² - 2
= 322

প্রশ্ন: p² = 11 + 2√30 হলে p^{- 1} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p² = 11 + 2√30
 = 6 + 2√30 + 5
 = (√6)² + 2√6 · √5 +(√5)²
 = (√6+ √5)²

∴ p = √6 + √5
⇒ 1/p = 1/(√6 + √5)
⇒ 1/p = (√6 - √5)/(√6 + √5)(√6 - √5)
⇒ 1/p = (√6 - √5)/(√6)² - (√5)²}
⇒ 1/p = (√6 - √5)/(6 - 5)
⇒ 1/p = (√6  -√5)/1
∴  p^{- 1} = √6 - √5

প্রশ্ন: (1/x) + (1/y) = 5 এবং (1/x²) - (1/y²) = 15 হলে, (1/x) - (1/y) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(1/x) + (1/y) = 5 
এবং (1/x²) - (1/y²) = 15

এখন,
(1/x²) - (1/y²) = 15 
⇒ {(1/x) + (1/y)}{(1/x) - (1/y)} = 15
⇒ 5(1/x) - (1/y) = 9  [(1/x) + (1/y) = 15
⇒ (1/x) - (1/y) = 15/5
∴ (1/x) - (1/y) = 3

প্রশ্ন: x² + y² = 34 এবং x - y = 2 হলে, (x/y) + (y/x) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x² + y² = 34
x - y = 2
⇒ (x - y)² = 2²
⇒ x² - 2xy + y² = 4
⇒ x² + y² - 2xy = 4
⇒  34 - 2xy = 4
⇒  2xy = 34 - 4
⇒  2xy = 30
∴ xy = 15 

এখন,
(x/y) + (y/x)
= (x² + y²)/xy
= 34/15

প্রশ্ন: a + (1/a) = 4 হলে, a/(a² - 3a + 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + (1/a) = 4
⇒ (a² + 1)/a = 4
⇒ a² + 1 = 4a

প্রদত্ত রাশি = a/(a² - 3a + 1)
= a/(a² + 1 - 3a)
= a/(4a - 3a)
= 1

প্রশ্ন : (a³ - b³) = 19 এবং (a - b) = 1 হলে, (a² + ab + b²) এর মান কত?

সমাধান :
দেওয়া আছে,
(a³ - b³) = 19
এবং (a - b) = 1

আমরা জানি,
(a³ - b³) = (a - b) × (a² + ab + b²)
⇒ 19 = 1 × (a² + ab + b²)
⇒ (a² + ab + b²) = 19

প্রশ্ন: x - y = 1, xy = 20 হলে, x + y এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x - y = 1
xy = 20

আমরা জানি,
(x + y)² = (x - y)² + 4xy 
⇒ (x + y)² = 1² + 4 × 20
⇒ (x + y)² = 1 + 80
⇒ (x + y)² = 81
⇒ (x + y)²  = 9²
∴  x + y = 9