Math Master

প্রশ্ন: ৯ টাকায় ১২ টি দরে কোন জিনিস ক্রয় করে, ৯ টাকায় ৮ টি দরে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
১২ টি জিনিসের ক্রয়মূল্য = ৯ টাকা
∴ ১ টি জিনিসের ক্রয়মূল্য = ৯/১২ = ৩/৪ টাকা

৮ টি জিনিসের বিক্রয়মূল্য = ৯ টাকা
∴ ১ টি জিনিসের বিক্রয়মূল্য = ৯/৮ টাকা

∴ লাভ = (৯/৮) - (৯/১২)
= (২৭ - ১৮)/২৪
 = ৯/২৪
= ৩/৮ টাকা

৩/৪ টাকায় লাভ হয় = ৩/৮ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = (৩/৮) × (৪/৩) টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (৩/৮) × (৪/৩) × ১০০ 
= ৫০ টাকা বা ৫০%

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
১১/৮ = ১.৩৭৫
৭/১২ = ০.৫৮
৫/৯ = ০.৫৬
৩/৪ = ০.৭৫

এখানে,
০.৫৬ < ০.৫৮ < ০.৭৫ < ১.৩৭৫

∴ ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশটি  = ৫/৯

প্রশ্ন: একটি বই ১৯০ টাকায় ক্রয় করে ১৭৫ টাকায় বিক্রয় করলে শতকরা কত ক্ষতি হয়?

সমাধান:

প্রশ্ন: কত টাকার ৩/৮ অংশ ৪৫ টাকার ৩/৫ অংশের সমান?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৩/৮ = ৪৫ এর ৩/৫
বা, ৩ক/৮ = (৪৫ × ৩)/৫
বা, ৩ক/৮ = ২৭
বা, ৩ক = ২১৬
বা, ক = ২১৬/৩
∴ ক = ৭২

∴ ৭২ টাকার ৩/৮ অংশ ৪৫ টাকার ৩/৫ অংশের সমান। 

প্রশ্ন: রাকিব, সাকিব ও মবিন একটি পুকুর থেকে ৬৯০ টি মাছ ধরেছে। তাদের অংশের অনুপাত যথাক্রমে ২/৩, ৪/৫ এবং ৫/৬ হলে, মবিন সাকিবের চেয়ে কতটি মাছ বেশি পেয়েছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
তিন জনের অনুপাত = ২/৩ : ৪/৫ : ৫/৬
= (২/৩) × ৩০ : (৪/৫) × ৩০ : (৫/৬) × ৩০
= ২০ : ২৪ : ২৫

অনুপাতগুলোর যোগফল = ২০ + ২৪ + ২৫
= ৬৯

∴ সাকিব মাছ পেয়েছে = ৬৯০ × (২৪/৬৯)
= ২৪০ টি

∴ মবিন মাছ পেয়েছে = ৬৯০ × (২৫/৬৯)
= ২৫০ টি

মবিন সাকিবের চেয়ে মাছ বেশি পেয়েছে = ২৫০ - ২৪০ টি
= ১০ টি

প্রশ্ন: একটি দ্রব্যের ক্রয়মূল্যের উপর লাভের হার ২০% হলে, বিক্রয়মূল্যের উপর লাভের হার কত হবে?

সমাধান:

প্রশ্ন: চারটি সমানুপাতী রাশির প্রান্ত রাশি দুইটির গুণফল ২৮৮। ১ম রাশি : ২য় রাশি = ১ : ২; ২য় রাশি : ৪র্থ রাশি = ১ : ৪ হলে, সংখ্যা চারটি হবে- 

সমাধান:
ধরি,
১ম রাশি = ক
∴ ২য় রাশি = ২ক
∴ ৪র্থ রাশি = ২ক × ৪ = ৮ক

এখান, ১ম রাশি /২য় রাশি = ৩য় রাশি/৪র্থ রাশি
∴ ৩য় রাশি = (১ম রাশি × ৪র্থ রাশি)/২য় রাশি
= (ক × ৮ক)/২ক = ৪ক
∴ সংখ্যা চারটি যথাক্রমে = ক, ২ক, ৪ক, ৮ক

প্রশ্নমতে, ক × ৮ক = ২৮৮
⇒ ৮ক^২ = ২৮৮
⇒ ক^২ = ২৮৮/৮
⇒ ক^২ = ৩৬
∴ ক = ৬
∴ সংখ্যা চারটি যথাক্রমে = ৬, (৬ × ২), (৬ × ৪), (৬ × 8) = ৬, ১২, ২৪, ৪৮

প্রশ্ন: ধান ও ধান থেকে উৎপন্ন চালের অনুপাত ৩ : ২ এবং গম ও গম থেকে উৎপন্ন সুজির অনুপাত ৪ : ৩ হলে, সমান পরিমাণের ধান ও গম থেকে উৎপন্ন চাল ও সুজির অনুপাত কত?

সমাধান: 
৩ কেজি ধান থেকে চাল হয় ২ কেজি
∴ ১ কেজি ধান থেকে চাল হয় ২/৩ কেজি
∴ ১২ কেজি ধান থেকে চাল হয় (২ × ১২)/৩ কেজি
= ৮ কেজি 

৪ কেজি গম থেকে সুজি হয় ৩ কেজি
∴ ১২ কেজি গম থেকে সুজি হয় (৩ × ১২)/৪ কেজি
= ৯ কেজি 

∴ সমান পরিমাণের ধান ও গম থেকে উৎপন্ন চাল ও সুজির অনুপাত = ৮ : ৯

প্রশ্ন: ১২১ : ৩৬ দ্বিভাজিত অনুপাত কোনটি?

সমাধান: 
দ্বিভাজিত অনুপাত: কোন অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশির বর্গমূলের অনুপাতকে তার দ্বিভাজিত অনুপাত বলা হয়। 
১২১ : ৩৬ দ্বিভাজিত অনুপাত = √১২১ : √৩৬  = ১১ : ৬

প্রশ্ন: একজন ফল ব্যবসায়ীর ১০% ফল পচে যায় এবং আরও ১০% ফল পরিবহনের সময় নষ্ট হয়ে যায়। বাকি ফল শতকরা কত টাকা লাভে বিক্রয় করলে মোটের উপর তার ২০% লাভ হবে?

সমাধান:
ধরি,
ফল ক্রয় করে ১০০ টাকার

মোট ফল নষ্ট হয় = ১০ + ১০ = ২০%
বাকি থাকে = ১০০ - ২০ = ৮০%

২০% লাভে,
বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ২০ = ১২০ টাকা

৮০ টাকায় লাভ করতে হবে = ১২০ - ৮০ = ৪০ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ করতে হবে = ৪০/৮০ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ করতে হবে = (৪০ × ১০০)/৮০ টাকা
= ৫০ টাকা

প্রশ্ন: ২৮০ মিটার লম্বা একটি ফিতা বাবুল, বাশার ও বরকতের মাঝে ভাগ করে দেয়া হলো। বাবুল ও বাশারের ফিতার অনুপাত ২ : ৩, বাশার ও বরকতের ফিতার অনুপাত ৩ : ২ হলে বরকতের ফিতার দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাবুল : বাশার = ২ : ৩
বাশার : বরকত = ৩ : ২

∴ বাবুল : বাশার : বরকত = ২ : ৩ : ২

ধরি, 
বাবুল, বাশার ও বরকতের ফিতার দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ২ক, ৩ক ও ২ক মিটার

শর্তমতে,
২ক + ৩ক + ২ক = ২৮০
বা, ৭ক = ২৮০
বা, ক = ২৮০/৭
∴ ক = ৪০

∴ বরকতের ফিতার দৈর্ঘ্য = ২ × ৪০
= ৮০ মিটার

প্রশ্ন: একটি ঘড়ি ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৩৬ টাকা বেশি হলে ১২.৫% লাভ হতো। ঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা

১০% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = ১০০ - ১০ = ৯০ টাকা
 ১২.৫% লাভে, বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১২.৫ = ১১২.৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য বেশি = ১১২.৫ - ৯০ = ২২.৫ টাকা

এখন,
বিক্রয়মূল্য ২২.৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/২২.৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৩৬ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৩৬)/২২.৫ টাকা
= (১০০ × ৩৬ × ১০)/২২৫
= ১৬০ টাকা

∴ ঘড়িটির ক্রয়মূল্য ১৬০ টাকা।

প্রশ্ন: দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল ২৫/২৮। এদের একটি ৫/৭ হলে, অপর ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি ভগ্নাংশের গুণফল = ২৫/২৮ 
এবং, একটি ভগ্নাংশ = ৫/৭

∴ অপর ভগ্নাংশটি = (২৫/২৭)/(৫/৭)
= (২৫/২৭) × (৭/৫)
= ৫/৪

প্রশ্ন: ২৪০ টি কমলা তিন ভাইয়ের মধ্যে ১/৮ : ১/৩ : ১/৬ অনুপাতে ভাগ করে দিলে ৩য় ভাই কয়টি কমলা পাবে? 

সমাধান:
১/৮ : ১/৩ : ১/৬
= (১/৮) × ২৪ : (১/৩) × ২৪ : (১/৬) × ২৪ [৮, ৩, ৬ এর ল.সা.গু = ২৪]
=  ৩ : ৮ : ৪

ধরি, তিন জন পাবে যথাক্রমে ৩a, ৮a, ৪a টি কমলা

প্রশ্নমতে,
৩a + ৮a + ৪a = ২৪০
⇒ ১৫a = ২৪০
⇒ a = ২৪০/১৫
⇒ a = ১৬

∴ ৩য় ভাই কমলা পাবে = ৪ × ১৬ = ৬৪ টি

প্রশ্ন: ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের দ্বিগুণ হলে শতকরা লাভ বা ক্ষতির পরিমাণ কত?

সমাধান: 
ধরি,
বিক্রয়মূল্য x টাকা সুতরাং, ক্রয়মূল্য 2x টাকা
ক্ষতি = (2x - x) = x টাকা

এখন, 
2x টাকায় ক্ষতি হয় x টাকা
∴ 1 টাকায় ক্ষতি হয় x/2x টাকা
∴ 100 টাকায় ক্ষতি হয় (x × 100)/2x টাকা
= 50 টাকা

প্রশ্ন: 30 লিটার মিশ্রণে সিরাপ ও পানির অনুপাত 7 : 3। ঐ মিশ্রণে কি পরিমাণ পানি মিশ্রিত করলে সিরাপ ও পানির অনুপাত 3 : 7 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিরাপ ও পানির অনুপাত = 7 : 3
অনুপাতদ্বয়ের যোগফল = 7 + 3 = 10

∴ 40 লিটার মিশ্রণে সিরাপের পরিমাণ = 30 × (7/10) = 21 লিটার
∴ 40 লিটার মিশ্রণে পানির পরিমাণ = 30 × (3/10) = 9 লিটার

ধরি,
p লিটার পানি মিশ্রিত করলে সিরাপ ও পানির অনুপাত = 3 : 7 হবে
তাহলে, মোট পানি হবে = 9 + p লিটার

প্রশ্নমতে,
21 : (9 + p) = 3 : 7
⇒ 21/(9 + p) = 3/7
⇒ 27 + 3p = 147
⇒ 3p = 147 - 27
⇒ p = 120/3
∴ p = 40 

অতএব, 40 লিটার পানি মিশ্রিত করলে সিরাপ ও পানির অনুপাত 3 : 7 হবে.

প্রশ্ন: একটি খুঁটির 1/3 অংশ মাটির নিচে পুঁতে রাখা আছে। মাটির নিচে যতটুকু আছে তার 1/2 অংশ পানিতে আছে এবং বাকি অংশ পানির উপরে আছে। যদি পানির উপরে থাকা অংশটির দৈর্ঘ্য 9 ফুট হয়, পানিতে থাকা অংশটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
খুঁটির দৈর্ঘ্য = r মিটার

এখন,
মাটির নিচে আছে খুঁটিটির = r × (1/3) = r/3 অংশ
পানিতে আছে খুঁটিটির = (r/3) × (1/2) = r/6 অংশ 

∴ বাকি অংশ বা পানির উপরে আছে = r - (r/3) - (r/6)
= (6r - 2r - r)/6
= 3r/6
= r/2

প্রশ্নমতে,
r/2 = 9
∴ r = 18 ফুট

∴ খুঁটিটির পানিতে থাকা অংশটির দৈর্ঘ্য = 18/6
= 3 ফুট

প্রশ্ন: কোন অনুপাতের উভয় পদের সাথে 1 যোগ করলে অনুপাতটি 3 : 4 এবং উভয় পদ থেকে 1 বিয়োগ করলে অনুপাতটি 2 : 3 হবে?

সমাধান:
ধরি,
নির্ণেয় অনুপাত = a : b

১ম শর্তমতে, (a + 1)/(b + 1) = 3/4
বা, 4a + 4 = 3b + 3
বা, 4a = 3b + 3 - 4
∴ a = (3b - 1)/4

২য় শর্তমতে, (a - 1)/(b - 1) = 2/3
বা, 3a - 3 = 2b - 2
বা, 3a - 2b = 1
বা, 3{(3b - 1)/4}  - 2b = 1 [x ের মান বসিয়ে]
বা, (9b - 3)/4 - 2b = 1
বা, (9b - 3 - 8b)/4 = 1
বা, 9b - 3 - 8b = 4
বা, 9b - 8b = 4 + 3
∴ b = 7

∴ a = {(3 × 7) - 1}/4 = 20/4 = 5
∴ নির্ণেয় অনুপাত = 5 : 7

প্রশ্ন: টাকায় ৬ টি দরে লেবু ক্রয় করে টাকায় কয়টা লেবু বিক্রয় করলে শতকরা ২০ টাকা লাভ হবে? 

সমাধান:
১ টাকায় লেবু ক্রয় করা যায় = ৬ টি
∴ ১০০ টাকায় লেবু ক্রয় করা যায় = (৬ × ১০০) টি
= ৬০০ টি

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে লাভ করতে হবে ২০ টাকা
অর্থাৎ, ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ২০ = ১২০ টাকা

এখন,
১২০ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ৬০০ টি লেবু
∴ ১ টাকায় বিক্রয় করতে হবে = ৬০০/১২০ টি লেবু
= ৫ টি