Math Master

প্রশ্ন: যদি sin⁡θ = 3/5​, তাহলে cos⁡θ =?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosθ = √(1 - sin²θ)
= √{1 - (3/5)²}
= √(1 - 9/25)
= √{(25 - 9)/25}
= √(16/25)
= 4/5

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজে, tan⁡θ =?

সমাধান:

sinθ = লম্ব/অতিভুজ
cosθ = ভূমি/অতিভুজ
tanθ = লম্ব/ভূমি
cotθ = ভূমি/লম্ব
secθ = অতিভুজ/ভূমি
cosecθ = অতিভুজ/লম্ব

প্রশ্ন: cotθ = ?

সমাধান:
cotθ = ভূমি/লম্ব
cotθ = 1/tanθ
cotθ = cosθ/sinθ

প্রশ্ন: যদি sin⁡θ = cos⁡θ হয়, তাহলে θ = ?

সমাধান:
sin⁡θ = cos⁡θ
⇒ sinθ/cosθ = 1
⇒ tanθ = 1
⇒ tanθ = tan45°
∴ θ = 45°

প্রশ্ন: যদি tan⁡θ = √3, তাহলে θ =?

সমাধান:
tan⁡θ = √3
⇒ tanθ = tan60°
⇒ θ = 60°

প্রশ্ন: cos²30° - sin²30° =?

সমাধান:
cos²30° - sin²30°
= (√3/2)² - (1/2)²
= 3/4 - 1/4
= (3 - 1)/4
= 2/4
= 1/2

প্রশ্ন: (- 520°) কোন চতুর্ভাগে বিদ্যমান?

সমাধান: 

(- 520°) = (- 450° - 70°) = (- 5 × 90° - 70°) 
(- 520°) একটি ঋণাত্মক কোণ এবং (- 520°) কোণটি উৎপন্ন করতে কোনো রশ্মিকে ঘড়ির কাঁটার দিকে একবার সম্পূর্ণ ঘুরে একই দিকে আরো এক সমকোণ বা 90° এবং 70° ঘুরে তৃতীয় চতুর্ভাগে আসতে হয়েছে (উপরের চিত্র)।
সুতরাং, (- 540°) কোণটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করছে।

প্রশ্ন: cos480° এর মান কত?

সমাধান:
cos480°
= cos(450° + 30°)
= cos(5 × 90° + 30°) [৩য় চতুর্ভাগে অবস্থিত]
= - sin30°
= - 1/2

প্রশ্ন: যদি sin A = 1/2 হয়, তাহলে cotA = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sinA = 1/2

আমরা জানি,
cos²A = 1 - sin²A
= 1 - (1/2)²
= 1 - (1/4)
= (4 - 1)/4
= 3/4
∴ cosA = √(3/4)
= √3/2

এখন,
cotA = cosA/sinA
= (√3/2)/(1/2)
= (√3/2) × 2
= √3

প্রশ্ন: sin{(9π/2) + θ} = ?

সমাধান:
sin{(9π/2) + θ}
= Sin {9 × (π/2) + θ}
= Sin (9 × 90° + θ)
= cosθ

90° করে 9 বার ঘুরলে দ্বিতীয় চতুর্ভাগে আসবে যেখানে Sinθ এর মান ধনাত্মক।
আবার, sin (90° + θ) = cosθ এবং sin(n × 90° + θ) = cosθ হবে যদি n এর মান বিজোড় হয়।

প্রশ্ন: 1/{tanA√(1 - sin²A)} = ?

সমাধান: 
tanA√(1 - sin²A)
= tanA√(cos²A)
= (sinA/cosA) × cosA
=  sinA 

অতএব,
 1/{tanA√(1 - sin²A)} 
= 1/sinA
= cosecA

প্রশ্ন: sinθ + cosθ = √2sin(90° - θ) হলে, tanθ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
 sinθ + cosθ = √2 sin(90° - θ)
⇒ sinθ + cosθ = √2 cosθ
⇒ (sinθ + cosθ)/cosθ = √2 
⇒ (sinθ/cosθ ) + (cosθ/ cosθ) = √2 
⇒ tanθ + 1 = √2
⇒ tanθ = √2 - 1

প্রশ্ন: cos60°.cos30° + sin60°.sin30° = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
cos(A - B) = cosA. cosB + sinA . sinB

এখন,
cos 60°. cos 30° + sin 60°. sin 30°
= cos(60° - 30°)
= cos 30°
= √3/2

প্রশ্ন: sin⁴θ - cos⁴θ এর মান কত হবে, যদি sin²θ - cos²θ = 2 হয়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sin²θ - cos²θ = 2

sin⁴θ - cos⁴θ
= (sin²θ)² - (cos²θ)²
= (sin²θ + cos²θ)(sin²θ - cos²θ)
= 1 × 2
= 2

প্রশ্ন: যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং sin(θ + 18°) = 1/2 হয়, তবে θ এর মান কত?

সমধান:
sin(θ + 18°) = 1/2
বা, sin(θ + 18°) = sin30°
বা, θ + 18° = 30°
বা, θ = 30° - 18°
θ = 12°

∴ θ এর মান 12° হবে।