ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: cosθ = 4/5 হলে, cotθ = কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ১২ হলে, বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২
= {১২(১২ - ৩)}/২
= (১২ × ৯)/২
= ৫৪ টি

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের এক বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের যোগফলের সমান হলে ত্রিভুজটি হবে- 

সমাধান:
"যদি কোনো ত্রিভুজে একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের যোগফলের সমান হয়, তবে সেই ত্রিভুজটি হবে সমকোণী।"
অর্থাৎ,
(অতিভুজ)^২ = (ভূমি)^২ +(লম্ব)^২ ⇒ ত্রিভুজটি সমকোণী

অন্য অপশন গুলো-
ক) সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ:
ত্রিভুজের তিনটি কোণই যদি ৯০°-এর কম হয়, তাহলে সেটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।

গ) স্থূলকোণী ত্রিভুজ: 
ত্রিভুজের একটি কোণ যদি ৯০°-এর বেশি এবং ১৮০° থেকে ছোট হয়, তবে সেটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ।

ঘ) সমবাহু ত্রিভুজ:
যেসব ত্রিভুজের তিনটি বাহু সমান এবং তিনটি কোণই ৬০°, সেগুলো সমবাহু ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: একটি ষড়ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 3 : 4 : 5 : 6 : 8 : 10 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
অনুপাতগুলোর যোগফল = 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 = 36

একটি ষড়ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (6 - 2) × 180°
= 720°

∴ বৃহত্তম কোণের মান = 720° × (10/36)
= 200°

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য দেয়া থাকলে- 

সমাধান:
যদি কেবলমাত্র অতিভুজের দৈর্ঘ্য দেয়া থাকে, তবে অসংখ্যক সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব। কারণ, অতিভুজের দৈর্ঘ্য নির্দিষ্ট থাকলেও, অন্যান্য দুই বাহুর মান বিভিন্ন হতে পারে, যা বিভিন্ন আকৃতির ত্রিভুজ তৈরি করবে।
যেমনঃ
3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²
(√7)² + (√18)² = 7 + 18 = 25 = 5²
এই ভাবে অনেকগুলো ত্রিভুজ আঁকা যাবে।

প্রশ্ন: 18 মিটার উঁচু খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 6√3 মিটার হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ কত?

সমাধান:

খুঁটির দৈর্ঘ্য AB = 18 মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = 6√3
সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB = θ?

ΔABC এ
tanθ = AB/BC
⇒ tanθ = 18/(6√3)
⇒ tanθ = 3/√3 = (√3 × √3)/√3
⇒ tanθ = √3
⇒ tanθ = tan60°
∴ θ = 60°

∴ সূর্যের উন্নতি কোণ হলো 60°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্বের দৈর্ঘ্যের অনুপাত ৯ : ৪০ এবং অতিভুজের দৈর্ঘ্য ৪১ সে.মি. হলে ভূমি এবং লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ভূমি = ৯ক
লম্ব = ৪০ক
অতিভুজ = ৪১ (দেওয়া আছে)

আমরা জানি,
পিথাগোরাসের সূত্র হতে,
⇒ (৯ক)^২ + (৪০ক)^২ = ৪১^২
⇒ ৮১ক^২ + ১৬০০ক^২ = ১৬৮১
⇒ ক^২(৮১ + ১৬০০) = ১৬৮১
⇒ ক^২ = ১৬৮১/১৬৮১
⇒ ক^২ = ১
∴ ক = ১

তাহলে,
ভূমি = ৯ × ১ = ৯ সে.মি.
লম্ব = ৪০ × ১ = ৪০ সে.মি.

প্রশ্ন: tanA × √(1 - sin²A) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanA × √(1 - sin²A)
= tanA × √cos²A
= (sinA/cosA) × cosA
= sinA

প্রশ্ন: একটি Nonagon- এর অন্তকোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
বাহুর সংখ্যা n = 9
বহুভুজের অন্তকোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (9 - 2) × 180°
= 7 × 180০°
= 1260°

∴ একটি Nonagon-এর অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি = 1260°

এখানে,
Monogon (1 side)
Digon (2 sides)
Triangle (3 sides)
Quadrilateral (4 sides)

Pentagon (5 sides)
Hexagon (6 sides)
Heptagon (7 sides)
Octagon (8 sides)

Nonagon (9 sides)
Decagon (10 sides)

প্রশ্ন: 17 মিটার লম্বা একটি মই দেয়ালের সাথে খাড়াভাবে আছে। মইটির গোড়া দেয়াল থেকে কত দূর সরালে উপরের প্রান্ত 2 মিটার নিচে নামবে?

সমাধান:

ধরি,
AC মইয়ের গোড়া C থেকে D বিন্দুতে সরালে উপরের প্রান্ত A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে 2 মিটার নামবে।
মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = BD = 17 মিটার
এবং AB = 2 মিটার
∴ BC = 17 - 2 = 15 মিটার

এখন,
BC² + CD² = BD² [যেহেতু ∠C = 90°]
⇒ CD² = BD² - BC²
⇒ CD² = (17)² - (15)²
⇒ CD² = 289 - 225
⇒ CD² = 64
∴ CD = 8 মিটার

∴ মইটির গোড়া দেয়াল থেকে 8 মিটার দূরে সরাতে হবে।

প্রশ্ন: tanθ + cotθ = 4 হলে, tan²θ + cot²θ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ + cotθ = 4
⇒ (tanθ + cotθ)² = 4²
⇒ tan²θ + cot²θ + 2tanθcotθ = 16
⇒ tan²θ + cot²θ = 16 - 2   ;[tanθ · cotθ = tanθ(1/tanθ) = 1]
∴ tan²θ + cot²θ = 14

প্রশ্ন: সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ 140° হলে এর বাহুর সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
আমরা জানি, একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাণ যদি θ হয়, আর বাহুর সংখ্যা n তবে,
θ = {(n - 2) × 180°}​/n

এখন,
⇒ 140° = {(n - 2) × 180°}​/n  ;[θ = 140°]
⇒ 140°n = 180°n - 360°
⇒ 180°n - 140°n = 360°
⇒ 40°n = 360°
⇒ n = 360°/40°
∴ n = 9

∴ বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = 9 টি

প্রশ্ন: পিথাগোরাস ত্রয়ীর একটি সদস্য 16 হলে অন্য দুটি সদস্য কী কী?

সমাধান:
পিথাগোরাস ত্রয়ী:
তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a, b, c (যেখানে c > a, b) যদি c² = a² + b² শর্ত মানে তাহলে তাদেরকে (a, b, c) পিথাগোরাস ত্রয়ী বলা হয়।
এখানে
(34)² = 1156
(30)² + (16)² = 900 + 256 = 1156
∴ (34)² = (30)² + (16)²
----------------------------------
এখানে
(65)² = 4225
(63)² + (16)² = 3969 + 256 = 4225
∴ (65)² = (63)² + (16)²

অপশনে দ্বৈত উত্তর থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হলো।

 

প্রশ্ন: A = 30° হলে, cos(3A/2) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = 30°

এখন,
cos(3A/2)
= cos{(3 × 30°)/2}
= cos(90/2)
= cos45°
= 1/√2

প্রশ্ন: যদি sin⁡θ = √3cos⁡θ হয়, তাহলে θ = ?

সমাধান:
sin⁡θ = √3cos⁡θ
⇒ sinθ/cosθ = √3
⇒ tanθ = √3
⇒ tanθ = tan60°
∴ θ = 60°

প্রশ্ন: যদি ∠С = 90°, ∠B = 30°, AB = 10, AC = АВ/2 হয়, তাহলে BC এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
এখানে,
AC = АВ/2
AC = 10/2 = 5

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
АВ² = ВС² + АС²
বা, 10² = ВС² + 5²
বা, ВС² = 10² - 5²
বা, ВС² = 100 - 25
বা, BC² = 75
বা, BC = ± √75
- √75 গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হয় না।
∴ BC = √75
⇒ BC = 5√3

প্রশ্ন: tan(180° - θ) = ?

সমাধান:

tan(180° - θ) এর মানে হল tan দ্বিতীয় ভাগে।
তাই tan এর মান ঋণাত্নক হবে।
∴ tan(180° - θ) = - tanθ

প্রশ্ন: একটি বাস 5 কিলোমিটার পূর্বদিকে যায় তারপর 12 কিলোমিটার উত্তরদিকে যায়। যাত্রাস্থান থেকে বাসটির সর্বশেষ অবস্থানের সরাসরি দূরত্ব কত?

সমাধান:

যাত্রাস্থান থেকে বাসের সরাসরি দূরত্ব = √(5² + 12²)
= √(25 + 144)
= √169
= 13

∴ যাত্রাস্থান থেকে বাসের সরাসরি দূরত্ব = 13 কিলোমিটার

প্রশ্ন: ত্রিকোণমিতিতে, sin⁡²θ + cos⁡²θ সমান কত?

সমাধান:

sin²θ + cos²θ
= (লম্ব/অতিভুজ)^২ + (ভূমি/অতিভুজ)^২
= (লম্ব^২ + ভূমি^২)/অতিভুজ^২
= অতিভুজ^২/অতিভুজ^২   ;[অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২]
= ১

প্রশ্ন: tan²45° sin60° tan30° এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tan²45° sin60° tan30°
= (1)² × (√3/2) ×  (1/√3)
= 1/2