সহকারী থানা শিক্ষা অফিসার (ATEO)

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, 
ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)×a^২ বর্গ একক 

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২ 
= (√৩/৪) × (২)^২ 
= (√৩/৪) × ৪ 
= √৩ 

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √৩ বর্গমিটার। 

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি একটি দ্রব্য ৮০০ টাকায় ক্রয় করে ২০% লাভে বিক্রয় করল। ক্রেতা ঐ দ্রব্য তৃতীয় এক ব্যক্তির কাছে ১০% ক্ষতিতে বিক্রয় করল। শেষ বিক্রয় মূল্য কত ছিল?

সমাধান: 
২০% লাভে বিক্রয়মূল্য= (১০০ + ২০) টাকা = ১২০ টাকা

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৮০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১২০ × ৮০০)/১০০ টাকা
= ৯৬০ টাকা 

আবার, ১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য= (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা 

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৯০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৯০/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৯৬০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য= (৯০ × ৯৬০)/১০০ টাকা
= ৮৬৪ টাকা 

∴ শেষ বিক্রয় মূল্য = ৮৬৪ টাকা ।

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + ............ + 68 = কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
প্রথম পদ, a = 1 
সাধারণ অন্তর, d = (2 - 1) = 1
পদসংখ্যা, n = 68

∴ সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d} 
= (68/2){2 × 1 + (68 - 1) × 1}
= 34 × (2 + 67) 
= (34 × 69)
= 2346

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হলো। ছক্কা দুটিতে ওঠা সংখ্যার যোগফল মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
দুটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হলে মোট নমুনাক্ষেত্র, n(S) = (৬ × ৬) 
= ৩৬ 

ধরি,
ছক্কা দুটিতে ওঠা সংখ্যার যোগফল মৌলিক সংখ্যা হওয়ার ঘটনা = E 

∴ E = {(১, ১), (১, ২), (১, ৪), (১, ৬), (২, ১), (২, ৩), (২, ৫), (৩, ২), (৩, ৪), (৪, ১), (৪, ৩), (৫, ২), (৫, ৬), (৬, ১), (৬, ৫)} 
∴ n(E) = ১৫ 

∴ ছক্কা দুটিতে ওঠা সংখ্যার যোগফল মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা P(E) = n(E)/n(S) 
= ১৫/৩৬ 
= ৫/১২ ।

প্রশ্ন: ৮৪০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান: 
৮৪০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৭
= ২^৩ × ৩^১ × ৫^১ × ৭^১
এখানে, 
২ এর সূচক হলো ৩, ৩ এর সূচক হলো ১, ৫ এর সূচক হলো ১ এবং ৭ এর সূচক হলো ১ 

এখন, 
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা। 
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১) (১ + ১) (১ + ১) (১ + ১)
= ৪ × ২ × ২ × ২
= ৩২

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ৩২ টি । 

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের যদি কোনো একটি কোণ অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হয়, তবে ত্রিভুজটি কোন ধরনের হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
বড় কোণ = x 
∴ অপর দুই কোণের সমষ্টি = x 

শর্তমতে, 
x + x = 180° 
বা, 2x = 180° 
বা, x = 180°/2 
∴ x = 90° 
অর্থাৎ, ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।