ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

এখানে,
১ম পদ a = 2
সাধারণ অন্তর d  = - 3 - 2 = - 5

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d 
15তম পদ = a + (15 - 1)d 
                    = 2 + 14 (- 5)
                   = 2 - 70
                   = - 68

প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3= 2
পদ সংখ্যা, n = 8
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার সমষ্টি S_n = {a(rⁿ - 1)}/(r - 1)

প্রথম আটটি পদের সমষ্টি,
S₈ = [3{(2)⁸ -1}]/(2 - 1)
    = 3 × (256 - 1)
    = 3 × 255
   = 765

এখানে
১ম পদ a = 7
সাধারণ অন্তর d =11 - 7 = 4

আমরা জানি,
 n তম পদ = a + (n - 1)d
বা, 403 = 7 +(n - 1)×(4)
বা, 403=7 + 4n - 4
বা, 403 = 4n + 3
বা 4n = 403 - 3
বা  4n = 400
বা n = 400/4
   n  = 100

দেয়া আছে, 
অনুক্রমের n তম পদ {1 - (- 1)³ⁿ}/2
15তম পদ {1 - (- 1)^{3 ×15}}/2
                 = {1 - (- 1)⁴⁵}/2
                 = {1 - (- 1)}/2
                 = (1 + 1)/2 
                 = 2/2
                 =1

এখানে
a = 128,
r = 32/64 = 1/2
ধরি,
n তম পদ = 1/8

প্রশ্নমতে,
ar^n-1 = 1/8
বা, 64 ×(1/2)^n-1 = 1/8
বা, (1/2)^n-1 = 1/512
বা, (1/2)^n-1 = (1/2)⁹
বা, n - 1 = 9
∴ n = 10

এখানে
১ম পদ a = 4
সাধারণ অন্তর d = 11 - 4 = 7

আমরা জানি,
 n তম পদ = a + (n - 1)d
বা,67 = 4 +(n - 1) × 7
বা,67 = 4 + 7n - 7 
বা, 67 = 7n - 3
বা 7n = 67 + 3 
বা 7n = 70 
 n = 10

সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
         = (10/2){2 × 4 + (10 - 1)×(7)}
         = 5 {8 + 9 × (7)}
         = 5 (8 + 63)
         = 5 × 71 
         = 355

n তম পদ 2n + 2^{n - 1}
৩য় পদ = 2 × 3 + 2^{3 - 1} = 6 + 2² = 6 + 4 = 10
৪র্থ পদ = 2 ×  4 + 2^{4 - 1} = 8 + 2³ = 16 
 
৩য় পদ ও ৪র্থ পদের পার্থক্য= 16 - 10 = 6

ধারাটির প্রথম পদ, a = 16
ধারাটির দ্বিতীয় পদ, ar^{2 -1} = ar = 8

অতএব সাধারণ অনুপাত, r = 8/16 = 1/2

∴ 11তম পদ ar^{11 - 1} = 16 (1/2)¹⁰
                             = (2⁴ × 1)/2¹⁰
                             = 1/2⁶
                             = 1/64

কোনো ধারার n তম পদ 2n + 1 হলে,
ধারাটির ১ম পদ = 2 × 1 + 1 = 2 + 1  = 3
ধারাটির ২য় পদ = 2 × 2 + 1 = 4 + 1  = 5
ধারাটির ৩য় পদ = 2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7
ধারাটির ৪র্থ পদ = 2 × 4 + 1 = 8 + 1 = 9
ধারাটির ৫ম পদ = 2 × 5 + 1 = 10 + 1 = 11
........................................................................
ধারাটিঃ  3, 5, 7, 9,.........................

(1³ + 2³ + 3³ + .............. + n³)/(1 + 2 + 3 + ............... + n) = 55 
{n(n + 1)/2}²/{n(n + 1)/2} = 55 
n(n + 1)/2 = 55
n(n + 1) = 110
n² + n - 110 = 0 
n² + 11n - 10n - 110 = 0 
n(n + 11) - 10 (n + 11 )= 0 
(n + 11)(n - 10) = 0
হয় 
n + 11 = 0 
n = - 11 [গ্রহণযোগ্য নয়]
অথবা 
n - 10 = 0
n = 10 

1³ + 2³ + 3³ +...........+n³ = 784
{n(n + 1)/2}² = 784
n(n + 1)/2 = 28
n(n + 1) = 56
n² + n - 56 = 0
n² + 8n - 7n - 56= 0
n(n + 8) -7(n + 8) = 0
(n - 7)(n + 8) = 0

হয়                     অথবা
n - 7 = 0                   n + 8 = 0
n = 7                          n = - 8  [গ্রহণযোগ্য নয়, কেননা n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না]

গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ, a
সাধারণ অনুপাত, r
এখানে,
তৃতীয় পদ, ar² = 16..................(1) এবং
ষষ্ঠ পদ, ar⁵ = 128 ....................(2)

 (2) ÷ (1) করে পাই,
ar⁵/ar² = 128/16
বা, r³ = 8
বা, r³ = 2³
বা, r = 2

r এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
ar² = 16
বা, a × 4 = 16
বা, a = 4

সমান্তর ধারার ১ম পদ a
সাধারণ অন্তর d

সমান্তর ধারার 12 তম পদ 48 হলে, 
a + (12 - 1)d = 48
a + 11d = 48

প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি
= (23/2){2a + (23 - 1)d}
= (23/2){2a + 22d)
= (23/2) × 2(a + 11d)
= 23 × 48
= 1104

আমরা জানি 
আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার যোগফল = n²
অতএব, প্রথম 12 টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল = 12² =144

১ম পদ,a = 9 
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 9 = - 2

ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যােগফল,
(n/2){2 × 9 + (n - 1)(- 2)} = - 96
⇒ (n/2){18 - 2n + 2} = - 96
⇒ (n/2){20 - 2n} = - 96
⇒ (n/2) × 2(10 - n) = - 96
⇒ n(10 - n) = - 96
⇒ 10n - n² = - 96
⇒ n² - 10n - 96 = 0
⇒ n² - 16n + 6n - 96 = 0
⇒ n(n - 16) + 6(n - 16) = 0
⇒ (n - 16)(n + 6) = 0
হয়                                অথবা 
n - 16 = 0                      n + 6 = 0
n = 16                           n = - 6  [গ্রহণযোগ্য নয়, কেননা n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না]

এখানে,
৪র্থ পদ ar^{4 -1} = 192
বা ar³ = 192 ......... (i)

প্রথম পদ, a = 3 ....... (ii)
(i) ÷ (ii) = 
ar³/a = 192/3
r³ = 64
r³ = 4³
∴ r = 4
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত, r = 4
২য় পদ x  = 3 × 4 = 12

এখানে
ধারাটির প্রথম পদ a = 6
সাধারণ অন্তর d = 9 - 6 = 3
এবং পদসংখ্য n = 16

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার ১৬তম পদের সমষ্টি
= (16/2){2. a + (16 - 1)d}
= 8{2 × 6 + 15 × 3}
= 8(12 + 45)
= 8 × 57 
= 456