১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার বর্গের অন্তর ৩৭। বড় সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বর্গের অন্তর = ৩৭

ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = a
বড় সংখ্যাটি = a + ১

প্রশ্নমতে,
(a + ১)^২ - a^২ = ৩৭
বা, a² + ২a + ১ - a^২ = ৩৭ [∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]
বা, ২a = ৩৭ - ১
বা, ২a = ৩৬
বা, a = ৩৬/২
∴ a = ১৮

∴ বড় সংখ্যাটি = ১৮ + ১
= ১৯

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৫, ৭, ৮, ১০ ও ১২ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগলো। কতক্ষণ পরে ঘণ্টা গুলো পুনরায় একত্রে বাজবে? 

সমাধান:
৫, ৭, ৮, ১০ ও ১২  এর ল. সা. গু = ২ × ২ × ৫ × ৭ × ২ × ৩
= ৮৪০ 

∴ ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে = ৮৪০ সেকেন্ড পর
= (৮৪০/৬০) মিনিট পর [∵ ৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট]
= ১৪ মিনিট

প্রশ্ন: দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের যোগফল 11।  একক স্থানীয় অঙ্কটি a হলে, সংখ্যাটি হবে - 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একক স্থানীয় অঙ্ক = a

তাহলে,
দশক স্থানীয় অঙ্ক = 11 - a

∴ সংখ্যাটি = 10(11 - a) + a
= 110 - 10a  + a
= 110 - 9a

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪ ও ৫ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ২৭, ৪০ ও ৬৫ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ৩, ৪, ৫ ভাগশেষ থাকবে।

এখানে,
২৭ - ৩ = ২৪
৪০ - ৪ = ৩৬
৬৫ - ৫ = ৬০

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ৩৬ ও ৬০ এর ল. সা. গু। 

২৪, ৩৬ ও ৬০ এর ল. সা. গু = ১২

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ১২।

প্রশ্ন: রহিম, করিম ও মবিনের বয়সের সমষ্টি ১৭১ বছর। তাদের বয়সের অনুপাত ৫ : ৬ : ৮ হলে, মবিন ও রহিমের বয়সের পার্থক্য কত বছর? 

সমাধান:
অনুপাতের যোগফল = ৫ + ৬ + ৮
= ১৯ 

∴ মবিনের বয়স = ১৭১ × (৮/১৯) বছর 
= ৭২ বছর

∴ রহিমের বয়স = ১৭১ × (৫/১৯) বছর 
= ৪৫ বছর 

∴ মবিন ও রহিমের বয়সের পার্থক্য = ৭২ - ৪৫ বছর
= ২৭ বছর

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৪৫৩ থেকে যত বড় ৫৫১ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?   

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = a

প্রশ্নমতে,
a - ৪৫৩ = ৫৫১ - a
বা, a + a = ৫৫১ + ৪৫৩
বা, ২a = ১০০৪
বা, a = ১০০৪/২
∴ a = ৫০২ 

অতএব, সংখ্যাটি হলো ৫০২ 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় তাই মূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ, যে সকল সংখ্যাকে  p/q আকারে প্রকাশ করা যায়, সে সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেখানে p এবং q উভয়ই পূর্ণসংখ্যা এবং q শূন্য নয় এমন সংখ্যা। 

এখানে,
√3/2 ; একটি অমূলদ সংখ্যা। [√3 পূর্ণ সংখ্যা নয়]
√7/3 ; একটি অমূলদ সংখ্যা। [√7 পূর্ণ সংখ্যা নয়]
√5/6 ; একটি অমূলদ সংখ্যা। [√5 পূর্ণ সংখ্যা নয়]

√9/4 = 3/4 ; একটি মূলদ সংখ্যা। [সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, এবং 3 ও 4 উভয়ই পূর্ণ সংখ্যা]

প্রশ্ন: ১৫৯৬৮ কে কোন নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ৮৯ ও ভাগশেষ ৩৭ থাকে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভাজ্য = ১৫৯৬৮
ভাগশেষ = ৩৭
ভাগফল = ৮৯

আমরা জানি,
ভাজক = (ভাজ্য - ভাগশেষ)/ভাগফল
= (১৫৯৬৮ - ৩৭)/৮৯
= ১৫৯৩১/৮৯
= ১৭৯

প্রশ্ন: ৩/৫, ৮/১৫ এবং ২/৩ এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান:
আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = লবগুলোর গ.সা.গু/হরগুলোর ল.সা.গু

৩, ৮, ২ এর গ.সা.গু = ১

৫, ১৫, ৩ এর ল.সা.গু = ১৫

∴ ভগ্নাংশগুলোর গ.সা.গু = ১/১৫

প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৫ অংশ পানিতে, ২/৩ অংশ কাঁদায় এবং অবশিষ্ট ৪ মিটার পানির উপরে আছে। বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
ধরি,
সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ১ অংশ 

পানিতে ও কাঁদায় আছে = (১/৫) + (২/৩) অংশ
= (৩ + ১০)/১৫ অংশ
= ১৩/১৫ অংশ

∴ পানির উপরে আছে = ১ - (১৩/১৫) অংশ 
= (১৫ - ১৩)/১৫ অংশ
= ২/১৫ অংশ 

প্রশ্নমতে,
২/১৫ অংশ = ৪ মিটার

∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ৪ × (১৫/২) মিটার 
= ৩০ মিটার 

∴ বাঁশটির দৈর্ঘ্য ৩০ মিটার।

প্রশ্ন: চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত? 

সমাধান:
চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯
চার অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০

পার্থক্য = ৯৯৯৯ -  ১০০০
= ৮৯৯৯

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ১৯২ এবং গ.সা.গু ১৬। একটি সংখ্যা ৬৪ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?  

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ল.সা.গু = ১৯২
গ.সা.গু = ১৬
একটি সংখ্যা = ৬৪

ধরি,
অপর সংখ্যাটি = a

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু 
বা, ৬৪ × a = ল.সা.গু × গ.সা.গু 
বা, ৬৪ × a = ১৯২ × ১৬
বা, a = (১৯২ × ১৬)/৬৪
∴ a = ৪৮

∴ অপর সংখ্যাটি ৪৮।

প্রশ্ন: একটি বিদ্যালয়ে ৭ম শ্রেণিতে ৪৪ জন ছাত্র আছে এবং ঐ শ্রেণিতে ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত ১১ : ৯। ঐ শ্রেণিতে শতকরা কত ভাগ ছাত্র? 

সমাধান:
ধরি,
ছাত্র সংখ্যা = ১১ক
ছাত্রী সংখ্যা = ৯ক

তাহলে,
মোট শিক্ষার্থী = ১১ক + ৯ক
= ২০ক

∴ ঐ শ্রেণিতে শতকরা ছাত্র = (ছাত্র সংখা/মোট শিক্ষার্থী) × ১০০
= (১১ক/২০ক) × ১০০
= ১১ × ৫
= ৫৫%

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল ১৪৭ এবং বিয়োগফল ৩ হলে, সংখ্যা দুইটি কত? 

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি a এবং b

প্রশ্নমতে,
a + b = ১৪৭  ..... (i)
a - b = ৩  ..... (ii)

(i) নং ও (ii) নং যোগ করে পাই,
a + b + a - b = ১৪৭ + ৩
বা, ২a = ১৫০
বা, a = ১৫০/২
∴ a = ৭৫ 

a এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
৭৫ + b = ১৪৭
বা, b = ১৪৭ - ৭৫
∴ b = ৭২ 

অতএব, সংখ্যা দুইটি ৭২ এবং ৭৫

প্রশ্ন: একটি সৈন্যদলে যদি নতুন ১১জন সদস্য নিয়োগ দেয়া হতো, তবে তাদেরকে ২০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ সৈন্যদলের সদস্য সংখ্যা কত? 

সমাধান:
প্রশ্নমতে,
সৈন্যদলের সদস্য সংখ্যা = (২০, ৪০, ৫০ ও ৬০ এর ল. সা. গু) - ১১

সংখ্যাগুলোর  ল. সা. গু = ৫ × ২ × ২ × ২ × ৫ × ৩
= ৬০০

∴ সৈন্যদলের সদস্য সংখ্যা = ৬০০ - ১১
= ৫৮৯ জন

প্রশ্ন: রাকিব ও সিয়ামের আয়ের অনুপাত ৫ : ৭। সিয়াম ও তানভিরের আয়ের অনুপাত ৪ : ৫। রাকিবের আয় ১২০ টাকা হলে তানভিরের আয় কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
রাকিবের আয় = ১২০ টাকা
রাকিব ও সিয়ামের আয়ের অনুপাত = ৫ : ৭

∴ সিয়ামের আয় = রাকিবের আয়ের ৭/৫ অংশ
= ১২০ × (৭/৫) টাকা
= ১৬৮ টাকা 

আবার,
সিয়াম ও তানভিরের আয়ের অনুপাত = ৪ : ৫

∴ তানভিরের আয় = সিয়ামের আয়ের ৫/৪ অংশ
= ১৬৮ × (৫/৪) টাকা
= ২১০ টাকা

∴ তানভিরের আয় ২১০ টাকা।

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য?

সমাধান:
৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্যতার নীতি - কোন সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে , প্রদত্ত সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।  

এখানে,
৩৫৭৪ = ৩ + ৫ + ৭ + ৪ 
= ১৯ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়

৬৫৪১ = ৬ + ৫ + ৪ + ১
= ১৬ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়

২৬৭৪ = ২ + ৬ + ৭ + ৪
= ১৯ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়

৪১৩৭ = ৪ + ১ + ৩ + ৭
= ১৫ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য

∴ ৪১৩৭/৩ = ১৩৭৯ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত 8 : 3 : 2 এবং ল.সা.গু 96 হলে তাদের গ.সা.গু কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ল.সা.গু = 96

ধরি,
সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে 8a, 3a এবং 2a

এখন,
8a, 3a এবং 2a এর গ.সা.গু = a
8a, 3a এবং 2a এর ল.সা.গু = 24a

প্রশ্নমতে,
24a = 96
বা, a = 96/24
∴ a = 4

∴নির্ণেয় গ.সা.গু = 4

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক ধনাত্মক বিজোড় সংখ্যার গুণফল 195 হলে সংখ্যাদ্বয় কত?  

সমাধান:
ধরি,
ক্রমিক ধনাত্মক বিজোড় সংখ্যাদ্বয় = a, a + 2

শর্তমতে,
a(a + 2) = 195
বা, a² + 2a = 195
বা, a² + 2a - 195 = 0
বা, a² + 15a - 13a - 195 = 0
বা, a(a + 15) - 13(a + 15) = 0
বা, (a + 15)(a - 13) = 0

হয়,
a + 15 = 0
বা, a = - 15 (ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়)

অথবা, 
a - 13 = 0
∴ a = 13 

অতএব,
ক্রমিক ধনাত্মক বিজোড় সংখ্যাদ্বয় a = 13
এবং a + 2 = 13 + 2 = 15

প্রশ্ন: কতজন বালককে ১২৫ টি আপেল ও ১৪৫ টি কমলা সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে?

সমাধান:
এখানে,
১২৫ ও ১৪৫ এর গ.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় বালকের সংখ্যা।

১২৫ ও ১৪৫ এর গ.সা.গু = ৫ 

∴ ৫ জন বালককে ১২৫ টি আপেল ও ১৪৫ টি কমলা সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে।

প্রশ্ন: A : B = 3 : 4, B : C = 4 : 5 এবং C : D = 10 : 9 হলে, A : D = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A : B = 3 : 4
B : C = 4 : 5
C : D = 10 : 9

এখন,
(A/B) × (B/C) × ( C/D) = (3/4) × (4/5) × (10/9)
বা, A/D = 120/180
বা, A/D = 2/3

∴ A : D = 2 : 3

প্রশ্ন: ৩০ থেকে ৭০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর কত? 

সমাধান:
৩০ থেকে ৭০ এর মধ্যবর্তী মৌলিক সংখ্যাসমূহ = ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭

এদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৩১
এদের মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৬৭ 

∴ এদের অন্তর = ৬৭ - ৩১
= ৩৬