ডেইলি কুইজ [১৪০ দিনের রুটিনের অংশ]

প্রশ্ন: a + b = √10 এবং a - b = √6 হলে, 8ab(a² + b²) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = √10
a - b = √6

আমরা জানি,
(a + b)² - (a - b)² = 4ab
(a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²)

এখন,
8ab(a² + b²)
= 4ab × 2(a² + b²)
= {(a + b)² - (a - b)²} × {(a + b)² + (a - b)²}
= {(√10)² - (√6)²} × {(√10)² + (√6)²}
= (10 - 6) × (10 + 6)
= 4 × 16
= 64

প্রশ্ন: 12x³ - 38x² + 20x কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

সমাধান:
12x³ - 38x² + 20x
= 2x(6x² - 19x + 10)
= 2x(6x² - 15x - 4x + 10)
= 2x {3x(2x - 5) - 2(2x - 5)}
= 2x(2x - 5)(3x - 2)

প্রশ্ন: 3x + 4y = 10 এবং 2x - 3y = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
3x + 4y = 10 ......... (1)
2x - 3y = 1 .......... (2)

এখন, (1) নং সমীকরণকে 3 দিয়ে এবং (2) নং সমীকরণকে 4 দিয়ে গুণ করে যোগ করি,
3(3x + 4y) + 4(2x - 3y) = 3 × 10 + 4 × 1
⇒ 9x + 12y + 8x - 12y = 30 + 4
⇒ 17x = 34
⇒ x = 34/17
∴ x = 2

প্রশ্ন: 3x - 7 ≤ 8 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x - 7 ≤ 8
⇒ 3x - 7 + 7 ≤ 8 + 7 [উভয়পক্ষে 7 যোগ করে]
⇒ 3x ≤ 15
⇒ x ≤ 15/3
∴ x ≤ 5

প্রশ্ন: 3x² - 6x + 3 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x² - 6x + 3 = 0
এখানে, a = 3, b = - 6, c = 3

আমরা জানি, নিশ্চয়ক = b² - 4ac
= (- 6)² - 4 × 3 × 3
= 36 - 36
= 0

যেহেতু নিশ্চয়কের মান 0, তাই সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।

উল্লেখ্য:
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে। অর্থাৎ কাল্পনিক। 
4. যদি b² -  4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।

প্রশ্ন: যদি x > 0 এবং (x² + 1)² = 5x² হয়, তাহলে x³ + (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x² + 1)² = 5x²
বা, x² + 1 = √5x  [উভয়পক্ষকে বর্গমূল করে]
বা, (x² + 1)/x = √5
∴ x + (1/x) = √5

এখন,
প্রদত্ত রাশি = x³ + (1/x³)
= {x + (1/x)}³ - 3 . x . (1/x) {x + (1/x)}
= (√5)³ - 3(√5)
= 5√5 - 3√5
= 2√5

প্রশ্ন: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: x³ - 7x - 6

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - 7x - 6
এখন, x = - 1 হলে,
f(- 1) = (- 1)³ - 7(- 1) - 6 = - 1 + 7 - 6 = 0

∴ (x + 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।

এখন,
x³ - 7x - 6
= x³ + x² - x² - x - 6x - 6
= x²(x + 1) - x(x + 1) - 6(x + 1)
= (x + 1)(x² - x - 6)
= (x + 1)(x² - 3x + 2x - 6)
= (x + 1){x(x - 3) + 2(x - 3)}
= (x + 1)(x + 2)(x - 3)

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: - 2 < x < 8 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করলে কোনটি হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
- 2 < x < 8
⇒ - 2 - 3 < x - 3 < 8 - 3
⇒ - 5 < x - 3 < 5
⇒ |x - 3| < 5

∴ সমাধান: |x - 3| < 5

প্রশ্ন: রহিম 5 টাকা ও 10 টাকা মানের সমান সংখ্যক স্ট্যাম্প ক্রয় করল। যদি স্ট্যাম্প ক্রয়ের মোট খরচ 450 টাকা হয়, তাহলে রহিম মোট কতটি স্ট্যাম্প ক্রয় করেছিল? 

সমাধান:
মনে করি, প্রতিটি মানের স্ট্যাম্পের সংখ্যা = x টি

প্রশ্নমতে,
5x + 10x = 450
⇒ 15x = 450
⇒ x = 450/15
⇒ x = 30

যেহেতু রহিম দুই ধরনের স্ট্যাম্পই সমান সংখ্যক কিনেছে,
তাই মোট স্ট্যাম্পের সংখ্যা = (x + x) টি
= (30 + 30) টি
= 60 টি

প্রশ্ন: a + b + c = 15 এবং a² + b² + c² = 83 হলে, ab + bc + ac এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 15
a² + b² + c² = 83

আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac)
⇒ 2(ab + bc + ac) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)
⇒ 2(ab + bc + ac) = (15)² - 83
⇒ 2(ab + bc + ac) = 225 - 83
⇒ 2(ab + bc + ac) = 142
⇒ ab + bc + ac = 142/2
∴ ab + bc + ac = 71

প্রশ্ন: x³ - x² + ax - 12 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 3 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - x² + ax - 12
যেহেতু (x - 3) রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 3 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।

এখন, f(3) এর মান নির্ণয় করি,
f(3) = (3)³ - (3)² + a(3) - 12
= 27 - 9 + 3a - 12
= 18 + 3a - 12
= 3a + 6

শর্তমতে,
f(3) = 0
⇒ 3a + 6 = 0
⇒ 3a = - 6
∴ a = - 2

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 3 বেশি। অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা 9 কম হবে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
দশক স্থানীয় অঙ্কটি x
এবং একক স্থানীয় অঙ্কটি = x + 3
∴ সংখ্যাটি = 10x + (x + 3) = 11x + 3

অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে পরিবর্তিত সংখ্যাটি = 10(x + 3) + x = 11x + 30 

প্রশ্নমতে,
11x + 30 = 2(11x + 3) - 9
⇒ 11x + 30 = 22x + 6 - 9
⇒ 11x + 30 = 22x - 3
⇒ 22x - 11x = 30 + 3
⇒ 11x = 33
⇒ x = 3

∴ সংখ্যাটি = 11x + 3 = 11(3) + 3
= 33 + 3 = 36

প্রশ্ন: |2x - 1| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
(2x - 1) ধনাত্মক ধরে,
2x - 1 < 7
বা, 2x < 7 + 1
বা, 2x < 8
বা, x < 4

আবার, (2x - 1) ঋণাত্মক ধরে,
- (2x - 1) < 7
বা, 2x - 1 > - 7 [উভয়পক্ষকে -1 দ্বারা গুণ করে চিহ্ন পরিবর্তন করা হয়েছে]
বা, 2x > - 7 + 1
বা, 2x > - 6
বা, x > - 3

∴ নির্ণেয় সমাধান: {x ∈ R: - 3 < x < 4}

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 9x² - 24xy + 16y² - 25z² এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
9x² - 24xy + 16y² - 25z²
= (9x² - 24xy + 16y²) - 25z²
= {(3x)² - 2 . 3x . 4y + (4y)²} - (5z)²
= (3x - 4y)² - (5z)²
= (3x - 4y + 5z)(3x - 4y - 5z)

প্রশ্ন: (3x - 1, 7) = (8, 2y + 1) হলে, (x, y) এর মান কোনটি?

সমাধান:
ক্রমজোড়ের শর্তমতে,
3x - 1 = 8
বা, 3x = 8 + 1
বা, 3x = 9
বা, x = 9/3
∴ x = 3

আবার,
2y + 1 = 7
বা, 2y = 7 - 1
বা, 2y = 6
বা, y = 6/2
∴ y = 3

∴ নির্ণেয় মান, (x, y) = (3, 3)

প্রশ্ন: |x - 4| < 2 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 5x - 3 < n হবে?

সমাধান:
|x - 4| < 2
বা, - 2 < x - 4 < 2
বা, - 2 + 4 < x - 4 + 4 < 2 + 4
বা, 2 < x < 6
বা, 2 × 5 < 5x < 6 × 5
বা, 10 < 5x < 30
বা, 10 - 3 < 5x - 3 < 30 - 3
∴ 7 < 5x - 3 < 27

m < 5x - 3 < n এর সাথে তুলনা করে পাই,
∴ m = 7 এবং n = 27

প্রশ্ন: যদি a + 2b = 8 এবং ab = 8 হয়, তাহলে a এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a + 2b = 8 ......... (1)
এবং, ab = 8 ⇒ b = 8/a ......... (2)

এখন, (1) নং সমীকরণে b এর মান বসিয়ে পাই,
a + 2(8/a) = 8
⇒ a + (16/a) = 8
⇒ (a² + 16)/a = 8
⇒ a² + 16 = 8a
⇒ a² - 8a + 16 = 0
⇒ a² - 2 . a . 4 + 4² = 0
⇒ (a - 4)² = 0
⇒ a - 4 = 0
∴ a = 4

প্রশ্ন:

সমাধান: