Math Master

প্রশ্ন: একটি দেওয়ালের দৈর্ঘ্য ২ মি. উচ্চতা ৩ মি. পুরুত্ব ৩০ সে. মি.। একটি ইটের দৈর্ঘ্য ১০ সে. মি. প্রস্থ ৪ সে. মি. উচ্চতা ৩ সে. মি.। দেওয়ালটি ইট দিয়ে তৈরী করতে কতটি ইট লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দেওয়ালের দৈর্ঘ্য = ২ মি. = ২০০ সে.মি.
উচ্চতা = ৩ মি. = ৩০০ সে.মি.
পুরুত্ব = ৩০ সে. মি.

এখন,
দেওয়ালের আয়তন = (২০০ × ৩০০ × ৩০) = ১৮০০০০০ সে. মি.
আবার, ইটের আয়তন = (১০ × ৪ × ৩) = ১২০ সে. মি.

আমরা জানি,
ইটের সংখ্যা = দেওয়ালের আয়তন/ইটের আয়তন
= ১৮০০০০০/১২০
= ১৫০০০ টি

প্রশ্ন: sinx = 4/5 হলে, cosx =?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosx= √(1 - sin²x)
= √{1 - (4/5)²}
= √(1 - 16/25)
= √{(25 - 16)/25}
= √(9/25)
= 3/5

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য 200 মিটার এবং প্রস্থ 120 মিটার। মাঠটির মাঝ দিয়ে 5 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য = 200 মিটার
এবং প্রস্থ = 120 মিটার

দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = (200 × 5) = 1000 বর্গমিটার
প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = (120 - 5) × 5 = 575 বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (1000 + 575) বর্গমিটার
= 1575 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি ঘনকের ধার 4 সে.মি হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের ধার a একক হলে তাহলে তার সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a² বর্গএকক

তাহলে,
ঘনকের ধার 4 সে.মি হলে এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = (6 × 4²) বর্গসে.মি.
= 6 × 16 বর্গ সে.মি.
= 96 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের অন্তর 6 সে.মি. এবং এদের লম্ব দূরত্ব 16 সে.মি.। যদি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 192 বর্গ সে.মি. হয় তবে ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল একটি বাহু = a সে.মি.
তাহলে, ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল অপর বাহু = (a + 6) সে.মি.
সমান্তরাল বাহু দুইটির লম্ব দূরত্ব, h = 16 সে.মি.
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 192 সে.মি.

প্রশ্নমতে,
(1/2) × (a + a + 6) × 16 = 192
⇒ 8 × (2a + 6) = 192
⇒ 16a + 48 = 192
⇒ 16a = 144
∴ a = 9

∴ ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল একটি বাহু = 9 সে.মি.
এবং ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল অপর বাহু = (9 + 6) = 15 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি মিনারের পাদদেশ হতে 30 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হলে মিনারটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

ধরি,
মিনারটির উচ্চতা, AB = h
মিনারের পাদদেশ হতে BC = 30 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠ACB = 45°

আমরা জানি,
tan∠ACB = AB/BC
⇒ tan45° = h/30
⇒ 1 = h/30
∴ h = 30

∴ মিনারটির উচ্চতা = 30 মিটার।

প্রশ্ন: cos2A = 0 হলে, sin2A এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cos2A = 0
⇒ cos2A = cos90°
⇒ 2A = 90°
∴ A = 45°

এখন,
sin2A = 2sinAcosA
sin2A = 2 × sin(45°) × cos(45°)
⇒ sin2A = 2 × (1/√2) × (1/√2)
⇒ sin2A = 1

প্রশ্ন: cos{(nπ)/6} অনুক্রমটির পঞ্চম পদের মান কত?

সমাধান:
cos{(nπ)/6} অনুক্রমটির পঞ্চমপদ = cos(5π)/6 [এখানে, n = 5]

এখন,
cos(5π)/6
= cos(5 × 180°)/6
= cos150°
= cos(90° + 60°)
= - sin60°
= - √3/2

প্রশ্ন: ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 80² = 6400
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × r²
= 3.14 × 40² [r = 80/2 = 40 cm]
= 5024

∴ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল = (6400 - 5024)
=1376 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: x = 2siny হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
siny এর রেঞ্জ = [-1, 1]
সুতরাং, siny এর সর্বোচ্চ মান = 1

∴ x এর সর্বোচ্চ মান = (2 × 1)
= 2

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ২৭০০০ ঘন সে.মি. হলে ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে এর আয়তন ক^৩ ঘনএকক

প্রশ্নমতে,
ক^৩ = ২৭০০০
∴ ক = ৩০

তাহলে,
ঘনকটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩০ সে.মি.
∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে = ৩০√৩ সে.মি.

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যদি 2a হয়, তবে ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর দৈর্ঘ্য যদি = 2a

আমরাজানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3a²/4

এখন,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 2a হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3(2a)²/4
= (√3 × 4a²)/4
= √3a²

প্রশ্ন: secA + tanA = 11/9 হলে, secA - tanA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
secA + tanA = 11/9

আমরা জানি,
sec²A - tan²A = 1
⇒ (secA + tanA)(secA - tanA) = 1
⇒ (11/9)(secA - tanA) = 1
⇒ (secA - tanA) = 1 × (9/11)
∴ secA - tanA = 9/11