Math Master

x ≤ (4 + x/3)
⇒ x - x/3 ≤ 4 + x/3 - x/3
⇒ (3x - x)/3 ≤ 4
⇒ 2x/3 × 3/2 ≤ 4 × 3/2
⇒ x ≤ 6

মনে করি, মূলদ্বয় α ও -α
আমরা জানি, মূলদ্বয় এর যোগফল = -b/a
⇒ α - α = -k/1
∴ k = 0

x + (1/x) = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ (x - 1) = 0 [বর্গমূল করে]
⇒ x = 1
∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = {1}

একটি সংখ্যা = x
অপর সংখ্যা = 2x/5
x + 2x/5 = 98
⇒ 5x + 2x = 98 × 5
⇒ 7x = 490
⇒ x = 70
∴একটি সংখ্যা = 70; অপর সংখ্যা = 28

(- 5 + 7)/2 = 1
∴ - 5 - 1<x - 1<7 - 1
⇒ -6 <x -1<6
∴ |x -1|<6

x² - 1 ধনাত্নক হলে,
⇒ x² - 1 < 3
⇒ x² < 4
⇒ x² - 2²<0
⇒(x + 2)(x - 2)<0
∴ (x + 2)এবং (x - 2) বিপরীত চিহ্নযুক্ত
∴ x > -2; x < 2 এর জন্য (x + 2)(x - 2) < 0 সত্য হয়।
আবার, x² - 1 ঋণাত্মক হলে,
⇒ -(x² - 1) < 3
⇒ x² < ± √2i
এটি বাদ দিতে হবে কারন এটি জটিল সংখ্যা(Complex number) 
∴ নির্ণেয় সমাধান: -2 < x < 2

কেটে নেওয়া কাগজের ক্ষেত্রফল = 5x বর্গমিটার
মূল কাগজের ক্ষেত্রফল = 45 বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
5x < 45
⇒ x < 9
∴x এর সম্ভাব্য মান 5 <x <9

মনে করি, সংখ্যাটি =x
প্রশ্নমতে, x এর 60/100 = 39
⇒ x =(39 × 100)/60 = 65
∴ সংখ্যাটি = 65

-2<3 - x<8
⇒ -2 -3<-x<8 - 3
⇒ - 5<-x<5
⇒ -5 <x<5
∴ |x|<5

y<7 হল সকল ঋণাত্মক সংখ্যা, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
0≤x≤5 হল 1, 2, 3, 4, 5
∴ y = -1  x = 2 হলে xy = -2
y = 0 x = 2 হলে xy = 0
y = 3 x = 2 হলে xy = 6

a>b
1/a<1/b [ ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন উলটে যায়]

নিশ্চয়ক D = (b² - 4ac)
∴ x² - 2x - 2 এর নিশ্চয়ক D = (-2)² - 4.1.(-2) = 12
∴ D>0 
∴ x² - 2x - 2 এর মূলের প্রকৃতি হবে বাস্তব ও অসমান

- 7 <2x +3<7
⇒ -10<2x<4
⇒ -5<x<2
∴নির্ণেয় সমাধান সেট S = {x∈R : -5<x<2}

মনে করি, পুত্রের বর্তমান বয়স x বছর
পাঁচ বছর পরে, পুত্রের বয়স =(5 + x) বছর
পাঁচ বছর পরে, পিতার বয়স = (7x + 5) বছর
প্রশ্নমতে,
x + 5 + 7x + 5 = 50
⇒ 8x = 40
⇒ x = 5
∴পুত্রের বর্তমান বয়স 5 বছর

মনে করি, ত্রিভুজের উচ্চতা x মিটার
ভূমি = (2x + 6) মিটার
প্রশ্নমতে,
⇒ (1/2) × (2x + 6) × x = 810
⇒ x² + 3x = 810
⇒ x² + 3x - 810 = 0
⇒ x² + 30x -27x - 810 = 0
⇒ (x + 30)(x - 27) = 0
∴ x = 27 or x = -30[ গ্রহণ যোগ্য নয়]
∴ ত্রিভুজের উচ্চতা 27 মিটার

(z - 2)/(z-1) = 2 -1/(z-1)
⇒ (z - 2)/(z -1) + 1/(z - 1) =2
⇒ (z - 1)/(z - 1) =2
⇒ 1 = 2 [ যা অসম্ভব]
সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণের কোনো সমাধান নেই
নির্ণেয় সমাধান সেট S =∅

2x² + 9x+ 9 = 0 কে দ্বিঘাত সমীকরণের আর্দশ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 2, b = 9, c =9
x = (-b ± √(b² - 4ac)) ÷ 2a
∴ x = {- 9 ± √(81 - 72)} ÷ 4
x₁ = -3/2 ; x₂ = -3

ঘণ্টায় 60 কিলোমিটার বেগে যায় x কিলোমিটার
ঘণ্টায় 40 কিলোমিটার বেগে যায় (240 - x) কিলোমিটার
প্রশ্নমতে,
x/60 + (240 - x)/40 = 5
⇒ 2x + 720 -3x = 5 × 120
⇒ x = 720 - 600 = 120
∴ঘণ্টায় 60 কিলোমিটার বেগে যায় 120 কিলোমিটার

x² = (√5)x
⇒ x² - (√5)x = 0
⇒ x(x - √5) = 0
∴ x = 0অথবা x = √5
∴ নির্ণেয় সমাধান সেট S = {0, √5}

a, b, c প্রত্যেকে বাস্তব সংখ্যা হলে,
(b + c). a = b.a + c.a [বিতরণ বিধি]
(a + b) + c = a + (b + c)[সহ সংযোগ বিধি]
a.b = b.a[বিনিময় বিধি]
(a.b).c = a.(b.c)[ সহসংযোগ বিধি]

(z - 1)(z + 2) = (z + 4)(z - 2)
⇒ z² - z + 2z - 2 = z² + 4z - 2z - 8
⇒ z - 2z = -8 + 2
⇒ z = 6

ধরি সংখ্যা টি ''ক''
প্রশ্নমতে, ক এর ৩০% এর ১৫% =১৮
⇒ ক এর ৩০/১০০ এর ১৫/১০০ = ১৮
⇒ ক এর ৯/২০০ = ১৮
⇒ ক = (১৮ × ২০০)/৯ = ৪০০
∴ সংখ্যা টি ৪০০