৫১তম বিসিএস ফাইনাল মডেল টেস্ট ও রিভিশন

প্রশ্ন: তিনটি কাঠের টুকরোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৪৩ মিটার, ৭৮ মিটার এবং ১১৭ মিটার। এগুলোকে সমান দৈর্ঘ্যের তক্তায় কাটলে একেকটি তক্তার সর্বাধিক দৈর্ঘ্য কত হতে পারে?

সমাধান:
প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য = ১৪৩, ৭৮ এবং ১১৭ এর গ.সা.গু
এখন, 
১৪৩ = ১৩ × ১১
৭৮ = ১৩ × ২ × ৩
১১৭ = ১৩ × ৩ × ৩ 

∴ গ.সা.গু হল = ১৩

∴ প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য হবে ১৩ মিটার।

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারায় 12তম পদের মান 77 হলে, এর প্রথম 23টি পদের যোগফল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
12 তম পদ = 77

ধরি,
ধারাটির ১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

তাহলে,
12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

শর্তমতে,
a + 11d = 77

আবার,
প্রথম n পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = (23/2){2a + (23 - 1)d}
= (23/2)(2a + 22d)
= (23/2) × 2(a + 11d)
= (23/2) × 2 × 77 [a + 11d = 77 বসিয়ে]
= 23 × 77
= 1771

∴  সমান্তর ধারাটির প্রথম 23টি পদের সমষ্টি  1771.

প্রশ্ন: 27^q + 27^q + 27^q এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
27^q + 27^q + 27^q
= 27^q(1 + 1 + 1)
= 27^q . 3
= (3³)^q . 3 
= 3^3q . 3
= 3^{3q + 1}

প্রশ্ন: ২০০ সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক হচ্ছে:

সমাধান:
২০০ এর মৌলিক উৎপাদকগুলো হল = ২ × ২ × ২ × ৫ × ৫  
এখানে,২ আছে ৩ বার এবং ৫ আছে ২ বার

∴ ২০০ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক = ২

প্রশ্ন: n(P) = 40, n(P ∩ Q) = 10 এবং n(P ∪ Q) = 50 হলে n(Q) = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(S) = 100,

n(P) = 40,
n(P ∩ Q) = 10
এবং n(P ∪ Q) = 50

আমরা জানি,
n(P ∪ Q) = n(P) + n(Q) - n(P ∩ Q)
⇒ 50 = 40 + n(Q) - 10
⇒ 50 = n(Q) + 30
⇒ n(Q) = 50 - 30
⇒ n(Q) = 20

প্রশ্ন: দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার ক্ষেত্রে, দশকের অঙ্ক এককের চেয়ে ২ বেশি। সেই সংখ্যা তার অঙ্কগুলির যোগফলের ৭ গুণের চেয়ে ৩ বেশি। সংখ্যাটি নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অংক = ক
দশক স্থানীয় অংক = (ক + ২)
∴সংখ্যাটি = ১০(ক + ২) + ক
= ১১ক + ২০

শর্তানুসারে,
১১ক + ২০ = ৭(ক + ক + ২) + ৩
বা, ১১ক + ২০ = ৭(২ক + ২) + ৩
বা, ১১ক + ২০ = ১৪ক + ১৪ + ৩ 
বা, ৩ক = ৩
∴ ক = ১

সংখ্যাটি = ১১ × ১ + ২০
= ৩১

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 +......................... ধারাটির 13 তম পদ কত?

সমাধান: 
5 + 8 + 11 + 14 +......................... এটি একটি সমান্তর ধারা,
যার প্রথম পদ, a = 5
এবং সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) d 

∴ 13 তম পদ = 5 + (13 - 1). 3
= 5 + 12 × 3
= 5 + 36
= 41

∴ 13 তম পদ = 41

প্রশ্ন: 10 + u + v + 640 +.................. গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, v এর মান কত?

সমাধান:
এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, a = 10
ধরি, সাধারণ অনুপাত, r
ধারাটির চতুর্থ পদ = 640

আমরা জানি, n তম পদ = ar^{(n - 1)}
∴ চতুর্থ পদ = ar^{(4 - 1)} = ar³

প্রশ্নমতে,
ar³ = 640
বা, 10r³ = 640
বা, r³ = 640/10
বা, r³ = 64
বা, r³ = 4³
∴ r = 4

এখন, v হলো ধারাটির তৃতীয় পদ।
∴ v = ar^{(3 - 1)} = ar²
বা, v = 10 × 4²
বা, v = 10 × 16
∴ v = 160

প্রশ্ন: কোনো খুঁটির এক-চতুর্থাংশ ভূমির নিচে, এক-পঞ্চমাংশ পানির মধ্যে এবং ৫.৫ মিটার পানির উপরে দৃশ্যমান হলে খুঁটিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত হবে? 

সমাধান:
ধরি, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

মাটির নিচে ও পানির মধ্যে আছে = (ক/৪) + (ক/৫) অংশ
= (৫ক + ৪ক)/২০ অংশ
= ৯ক/২০ অংশ

আবার, পানির উপরে আছে = ক - (৯ক/২০)
= ১১ক/২০ অংশ

শর্তমতে,
১১ক/২০ = ৫.৫ মিটার
⇒ ক = (৫.৫ × ২০)/১১
⇒ ক = ১১০/১১ 
∴ ক = ১০ মিটার

অতএব, খুঁটির মোট দৈর্ঘ্য ১০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি কোণ ও তার পূরক কোণের মধ্যে সম্পর্ক এমন যে, কোণটি পূরক কোণের ৫ গুণ। কোণটির মান কত? 

সমাধান:
ধরি, একটি কোণ = ক
তাহলে, পূরক কোণ = ৯০° - ক
শর্তমতে,
ক = ৫(৯০° - ক)
⇒ ক = ৪৫০° - ৫ক
⇒ ক + ৫ক = ৪৫০°
⇒ ৬ক = ৪৫০° 
⇒ ক = ৭৫°

প্রশ্ন: 2q² + 5q + 4 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2q² + 5q + 4 = 0
সমীকরণটিকে aq² + bq + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 2, b = 5, এবং c = 4

∴ সমীকরণের নিশ্চায়ক (Discriminant), D = b² - 4ac
⇒ D = (5)² - 4 × 2 × 4
⇒ D = 25 - 32
⇒ D = - 7

যেহেতু, (D < 0), তাই সমীকরণটির মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
১. যদি D < 0 হয়, তবে মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
২. যদি D = 0 হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
৩. যদি D > 0 হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
৪. যদি D > 0 এবং D পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়, তবে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে। 

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৪২ সে.মি. হলে বৃত্তটির পরিধি কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৪২ সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি = ২πr
∴ বৃত্তের পরিধি = ২πr
= ২ × (২২/৭) × ৪২
= ২ × ২২ × ৬
= ২৬৪ সে.মি.

∴ বৃত্তের পরিধি ২৬৪ সে.মি.।

প্রশ্ন: যদি log₈p + log₈(1/6) = 1/3 হলে p এর মান কত হবে? 

সমাধান: 
log₈p +  log₈(1/6) = 1/3
⇒ log₈(p/6) = 1/3
⇒ p/6 = 8^1/3
⇒ p/6 = (2³)^1/3
⇒ p/6 = 2
∴ p = 12

প্রশ্ন: একটি দাবা খেলায় ৬ জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে ১ বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় সব মিলিয়ে কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

সমাধান:
একবার খেলার জন্য ২ জন করে প্রতিযোগী প্রয়োজন।

∴ মোট অনুষ্ঠিত ইভেন্টের সংখ্যা = ^৬C_২
 = ৬!/{২! × (৬ - ২)!} 
= ৬!/(২! × ৪!) 
= (৬ × ৫ × ৪!)/(২ × ১ × ৪!) 
= ১৫ টি 

প্রশ্ন: যদি y + (1/y) = 7 হয়, তবে y/(y² + y + 1) এর মান হচ্ছে:

সমাধান:
দেয়া আছে,
y + (1/y) = 7
⇒ (y² + 1)/y = 7
⇒ (y² + 1) = 7y

এখন,
y/(y² + y + 1)
= y/(7y + y)
= y/8y
= 1/8

প্রশ্ন: P(A ∩ B) = 1/3, P(A ∪ B) = 5/6, P(A) = 1/4 হলে, P(B) = কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
P(A ∩ B) = 1/3
P(A ∪ B) = 5/6
P(A) = 1/4

আমরা জানি,    P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 
বা, P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)
1/3 = (1/4) + P(B) - (5/6)
P(B) = (1/3) - (1/4) + (5/6)
P(B) = (4  - 3 + 10)/12
P(B) = 11/12

প্রশ্ন: Q একটি মৌলিক সংখ্যা হলে তার √Q কে কী হিসেবে প্রকাশ করা যায়?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যার সংজ্ঞা অনুসারে, Q কেবলমাত্র 1 এবং Q দ্বারা বিভাজ্য।
আমরা জানি যে, যদি Q একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় √Q​ মূলদ সংখ্যা হয়। 
কিন্তু যেহেতু Q মৌলিক, এটি কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।
∴ √Q মূলদ সংখ্যা নয়।
যদি Q = 2, 3, 5, 7, 11, 13,… হয়, তবে  √Q​​ একটি অমূলদ সংখ্যা (irrational number)।
কারণ  √Q​​ কখনো ভগ্নাংশ বা পূর্ণসংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।

অর্থাৎ √Q একটি অমূলদ সংখ্যা। 

প্রশ্ন: b³ - 21b - 20 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
b³ - 21b - 20
= b³ + b² - b² - b - 20b - 20
= b²(b + 1) - b(b + 1) - 20(b + 1)
= (b + 1)(b² - b - 20)
= (b + 1)(b² - 5b + 4b - 20)
= (b + 1){b(b - 5) + 4(b - 5)}
= (b + 1)(b + 4)(b - 5)

প্রশ্ন: ১৫ সদস্য বিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দল থেকে একজন নির্দিষ্ট অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক সহ ১১ সদস্যের দল, কত রকম উপায়ে নির্বাচন করা যায়?

সমাধান: 
১৫ সদস্য বিশিষ্ট দল থেকে একজন নির্দিষ্ট অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক সহ ১১ সদস্যের দল বাছাই করতে হলে, ২ জন কে বাছাই এর বাইরে রাখতে হবে।
(১৫ - ২) = ১৩ জনের মধ্য থেকে (১১ - ২) = ৯ জন কে বাছাই করতে হবে। 

উপায় সংখ্যা = ১৩C৯ 
= ১৩!/{৯! × (১৩ - ৯)!}
= ১৩!/(৪! × ৯!)
= (১৩ × ১২ × ১১ × ১০ × ৯!)/(৪ × ৩ × ২ × ৯!)
= ৭১৫

∴ মোট উপায় সংখ্যা = ৭১৫ 

প্রশ্ন: হাবিব নামের এক অসাধু ব্যবসায়ী বলে যে, সে ৪% ক্ষতিতে চাল বিক্রয় করে। কিন্তু সে বিক্রির সময় ১ কেজির স্থলে ৯০০ গ্রাম দেয়। হাবিবের শতকরা লাভ বা ক্ষতি কত?

সমাধান:
ধরি,
চালের পরিমাণ = ১ কেজি
চালের দাম = ১০০ টাকা

৪% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = ৯৬ টাকা
৯০০ গ্রাম চালের ক্রয়মূল্য = (৯০০/১০০০) × ১০০ = ৯০ টাকা

লাভ = ৯৬ - ৯০ = ৬ টাকা
শতকরা লাভ = (৬/৯০) × ১০০
= ৬.৬৭ টাকা বা ৬.৬৭%

প্রশ্ন: SCIENCE শব্দটির বর্ণগুলোকে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
SCIENCE শব্দটিতে,
মোট বর্ণসংখ্যা = 7 টি 
এর মধ্যে C = 2 টি এবং  E = 2 টি ।

∴  মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(2! × 2!)
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/(2 × 2)
= 1260

প্রশ্ন: 3z - 2y = 5 এবং 2z + 3y = 12 হলে (z, y) এর মান কত? 

সমাধান:
3z - 2y = 5................(1)
2z + 3y = 12................(2)

(1) × 3 + (2) × 2 ⇒
⇒ 9z - 6y  + 4z + 6y = 15 + 24
⇒ 13z = 39
⇒ z = 39/13
⇒ z = 3

(2) নং হতে পাই,
2z + 3y = 12
⇒ 2 × 3 + 3y = 12
⇒ 6 + 3y = 12
⇒ 3y = 12 - 6
⇒ 3y = 6
⇒ y = 2

নির্ণেয় সমাধান (z, y) = (3,2)

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৮০% শিক্ষার্থী ইংরেজিতে এবং ৭০% শিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করেছে। যদি ৬০% শিক্ষার্থী দুই বিষয়েই পাশ করে থাকে, তবে উভয় বিষয়ে ফেল করা শিক্ষার্থীর হার নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
ইংরেজিতে পাশ করেছে = ৮০%
বাংলায় পাশ করেছে = ৭০%
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = ৬০%

কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ (বাংলা বা ইংরেজি) = (ইংরেজিতে পাশ) + (বাংলায় পাশ) - (উভয় বিষয়ে পাশ)
= (৮০ + ৭০ - ৬০)%
= (১৫০ - ৬০)%
= ৯০%

উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (মোট শিক্ষার্থী) - (কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ)
= (১০০ - ৯০)%
= ১০%

∴ উভয় বিষয়ে শতকরা ১০ জন শিক্ষার্থী ফেল করেছে।

প্রশ্ন:


সমাধান:

প্রশ্ন: 6q - 9 < 3 এবং q বাস্তব সংখ্যা হলে, q এর মানের পরিসীমা হচ্ছে:

সমাধান:
6q - 9 < 3
⇒ 6q < 3 + 9
⇒ 6q < 12
⇒ q < 12/6
∴ q < 2

অর্থাৎ, q ∈ (- ∞, 2)

প্রশ্ন: পিতা-মাতার গড় বয়স ৩৮ বছর। তিনজনের (পিতা, মাতা, মেয়ে) গড় বয়স ২৮ হলে, মেয়ের বয়স নির্ণয় করুন।

সমাধান:
পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৩৮ বছর
পিতা ও মাতার বয়সের সমষ্টি = (৩৮ × ২) বছর
= ৭৬ বছর

পিতা, মাতা ও মেয়ের বয়সের গড় ২৮ বছর 
পিতা, মাতা ও মেয়ের বয়সের সমষ্টি = (২৮ × ৩) বছর 
= ৮৪ বছর

মেয়ের বয়স = (৮৪ - ৭৬) বছর
= ৮ বছর

প্রশ্ন: 3p³ + 2p² - 21p - 20 রাশির একটি উৎপাদক হচ্ছে:

সমাধান: 
ধরি,
f(p) = 3p³ + 2p² - 21p - 20
∴ f(- 1) = 3(- 1)³ + 2(- 1)² - 21(- 1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 0
যেহেতু f(- 1) = 0 হয়,

সুতরাং,  p - (- 1) বা p + 1 হচ্ছে প্রদত্ত রাশির একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: ৫০% নম্বর পেতে একজন শিক্ষার্থী ২০টি প্রশ্নের সঠিক উত্তর দিয়েছে। যদি সে ৮০% নম্বর পেতে চায়, তবে তাকে কয়টি প্রশ্ন ঠিক করতে হবে?

সমাধান: 
৫০% নম্বর পায় সঠিক উত্তর দিয়ে = ২০ টি প্রশ্নের  
∴ ১% নম্বর পায় সঠিক উত্তর দিয়ে = ২০/৫০ টি প্রশ্নের 
∴ ৮০% নম্বর পায় সঠিক উত্তর দিয়ে = (২০ × ৮০)/ ৫০ টি প্রশ্নের 
= ৩২ টি প্রশ্নের 

∴ ছাত্রটির প্রশ্নের উত্তর শুদ্ধ করতে হবে = ৩২ টি।

প্রশ্ন: [log₁₀(a²/bc) + log₁₀(b²/ac) + log₁₀(c²/ab)]² এর মান কত হবে?  

সমাধান: 
log₁₀(a²/bc) + log₁₀(b²/ac) + log₁₀(c²/ab)
= log₁₀{(a²/bc) × (b²/ac)×(c²/ab)}
= log₁₀1
= 0

∴ [log₁₀(a²/bc) + log₁₀(b²/ac) + log₁₀(c²/ab)]² এর মান হচ্ছে (0)² = 0

প্রশ্ন: একটি কাজ ৩০ জনের দ্বারা ২৪ দিনে সম্পন্ন হয়। কাজের ১৮ দিন পর যদি ১২ জন শ্রমিক বাদ পড়ে, তাহলে বাকি ১৮ জনের জন্য অবশিষ্ট কাজ শেষ করতে সময় কত লাগবে?

সমাধান: 
১৮ দিন পর - 
অবশিষ্ট সময় থাকে = (২৪ - ১৮) দিন 
= ৬ দিন 
এবং অবশিষ্ট লোক থাকে = (৩০ - ১২) জন 
= ১৮ জন 

৩০ জন লোক অবশিষ্ট কাজ করতে পারে = ৬ দিনে 
∴ ১ জন লোক অবশিষ্ট কাজ করতে পারে = ৬ × ৩০ দিনে 
∴ ১৮ জন লোক অবশিষ্ট কাজ করতে পারে = (৬ × ৩০)/১৮ = ১০ দিনে 

∴  অবশিষ্ট কাজ সম্পূর্ণ করতে পারবে = ১০ দিনে।

প্রশ্ন: {q ∈ N এবং q² - 16 = 0} সেটটির তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
q² - 16 = 0
⇒ q² = 16
⇒ q = √16
∴ q = ± 4

কিন্তু q স্বাভাবিক সংখ্যা তাই ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ q = 4

প্রশ্ন: ৯ জন বন্ধুকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যেতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানোর উপায় = (৯ - ১)!

∴ ৯ জন বন্ধুকে বসানোর উপায় = (৯ - ১)!
= ৮!
= ৪০৩২০

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ যথাক্রমে ১৭ সেন্টিমিটার ও ১৪ সেন্টিমিটার হলে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের একটি কর্ণ = ১৭ সেন্টিমিটার 
এবং অপর কর্ণটি = ১৪ সেন্টিমিটার 

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
= (১/২) × ১৭ × ১৪
= ১১৯ বর্গ সেন্টিমিটার।

প্রশ্ন: যদি কোনো মূলধন সরল সুদে ৩ বছরে ৬৮০০ টাকা এবং ৫ বছরে ৮০০০ টাকা হয়, তবে সুদের হার নির্ণয় করুন। 

সমাধান:
এখানে,
আসল + ৫ বছরের সুদ = ৮০০০ টাকা
আসল + ৩ বছরের সুদ= ৬৮০০ টাকা
∴ ২ বছরের সুদ = (৮০০০ - ৬৮০০) টাকা
= ১২০০ টাকা

∴ ৩ বছরের সুদ = (১২০০ × ৩)/২ টাকা
= ১৮০০ টাকা

∴ আসল = (৬৮০০ - ১৮০০) টাকা
= ৫০০০ টাকা

৫০০০ টাকার ৩ বছরের সুদ = ১৮০০ টাকা
∴ ১ টাকার ১ বছরের সুদ = ১৮০০/(৫০০০ × ৩) টাকা
∴ ১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = (১৮০০ × ১০০)/(৫০০০ × ৩)
= ১২%

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে y/6, y/6 এবং 8y/6 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = দুই সমকোণ = 180°
বা, y/6 + y/6 + 8y/6 = 180°
বা, (y + y + 8y)/6 = 180°
বা, 10y/6 = 180°
বা, 5y/3 = 180°
বা, 5y = 180° × 3
বা, y = (180° × 3)/5
∴ y = 108° 

∴ বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ হবে = 8y/6
= {(8 × 108)/6}°
= 144°

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: যদি কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ২৫ সে.মি. হয় এবং অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের ব্যবধান ৫ সে.মি. হয়, তবে ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের এক বাহু = ক
অপর বাহু = (ক + ৫)

শর্তমতে,
ক^২ + (ক + ৫)^২ = ২৫^২
⇒ ক^২ + ক^২ + ১০ক + ২৫ = ৬২৫
⇒ ২ক^২ + ১০ক - ৬০০ = ০
⇒ ক^২ + ৫ক - ৩০০ = ০
⇒ ক^২ + ২০ক - ১৫ক - ৩০০ = ০
⇒ ক(ক + ২০) - ১৫(ক + ২০) = ০
⇒ (ক + ২০)(ক - ১৫) = ০
হয়, ক = ১৫ অথবা, ক = - ২০  [দৈর্ঘ্য ঋনাত্নক হতে পারে না]

∴ সবেচেয়ে ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৫ সে.মি.

প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে শুধু জোড় অবস্থানে সীমাবদ্ধ রেখে EXAMPLE শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায়?

সমাধান:
এখানে মোট বর্ণ আছে 7টি
স্বরবর্ণ আছে (E, A, E) 3টি এবং যার মধ্যে 2টি E এবং 1টি A.
ব্যঞ্জনবর্ণ আছে 4টি

স্বরবর্ণ 3টি জোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3!/2! = 3
বাকি 4টি বর্ণ 4টি বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = ⁴P₄ = 4! = 24

∴ স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 3 × 24 = 72

প্রশ্ন: একটি থলেতে 2টি কালো বল, 3টি সবুজ বল এবং 4টি হলুদ বল আছে। থলেটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি সবুজ বল থাকে?

সমাধান:
কালো বল = 2টি
সবুজ বল = 3টি 
হলুদ বল =  4টি 

3টি সবুজ বল থেকে 1টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 2টি  নিয়ে উপায় = ³C₁ × ⁶C₂
3টি সবুজ বল থেকে 2টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 1টি  নিয়ে উপায় =³C₂ × ⁶C₁
3টি সবুজ বল থেকে 3টি  = ³C₃

মোট উপায়  = (³C₁ × ⁶C₂) + (³C₂ × ⁶C₁) + (³C₃) 
= (45 + 18 + 1)
= 64

প্রশ্ন: যদি ১৫,০০০ টাকা বার্ষিক ১২% চক্রবৃদ্ধি হারে ২ বছর রাখা হয়, তবে মোট চক্রবৃদ্ধি মুনাফা কত হবে?

সমাধান:
মূলধন, P = ১৫০০০ টাকা
সুদের হার, r = ১২%
সময়, n = ২ বছর

আমরা জানি,
C = P(1 + r/১০০)ⁿ
= ১৫০০০ × {1 + (১২/১০০)}^২
= ১৫০০০ × (১১২/১০০)^২
= ১৫০০০ × (১.১২)^২
= ১৫০০০ × ১.২৫৪৪
= ১৮,৮১৬ টাকা

মুনাফা = C - P
= ১৮,৮১৬ − ১৫,০০০
= ৩,৮১৬ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ৩,৮১৬ টাকা।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ভূমির দৈর্ঘ্য ২৯ সে.মি. এবং উচ্চতা ১৪ সে.মি.। সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হবে:

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের ভূমি = ২৯ সে.মি.
এবং উচ্চতা = ১৪ সে.মি.

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= (২৯ × ১৪)
= ৪০৬ বর্গ সে.মি.

∴ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৪০৬ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে কমপক্ষে একটি H আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দুটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে নমুনা হবে=HH, HT, TH, TT
কমপক্ষে একটি H আসার এমন ঘটনা = HH, HT, TH

∴ দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করলে কমপক্ষে একটি H আসার সম্ভাবনার = 3/4

প্রশ্ন: একটি ব্যবসায় আসিফের বিনিয়োগ ছিল ৫০০০ টাকা। ৮ মাস পরে সিয়াম কিছু অর্থ নিয়ে সেই ব্যবসায় যুক্ত হয়। এক বছর পর লাভ ৩ : ৪ অনুপাতে ভাগ হলে, সিয়াম কত টাকা বিনিয়োগ করেছিল?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লভ্যাংশের অনুপাত = ৩ : ৪

ধরি,
আসিফের বিনিয়োগ = ক টাকা

আসিফের বিনিয়োগ নিয়োজিত ছিলো = ১২ মাস
এবং সিয়ামের বিনিয়োগ নিয়োজিত ছিলো = (১২ - ৮) মাস = ৪ মাস

প্রশ্নমতে,
(৫০০০ × ১২)/(ক × ৪) = ৩/৪
⇒ ৬০০০০/ক = ৩
⇒ ৩ক = ৬০০০০
⇒ ক = ৬০০০০/৩
⇒ ক = ২০০০০

সিয়ামের বিনিয়োগ = ২০০০০ টাকা

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলে, ছক্কার উপরে থাকা সংখ্যাগুলোর গুণফল 6 পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
লুডুর দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6²
= 36

ছক্কার উপরে থাকা সংখ্যাগুলোর গুণফল ৬ পাওয়ার অনুকূল ঘটনা = {(1, 6), (3, 2), (2, 3), (6, 1)} = 4 টি

∴ গুণফল 6 পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 4/36
= 1/9

প্রশ্ন: p² - 8p + 15 < 0 হলে, p এর মান হবে:

সমাধান:
p² - 8p + 15 < 0
⇒ p² - 5p - 3p + 15 < 0
⇒ p(p - 5) - 3(p - 5) < 0
⇒ (p - 5)(p - 3) < 0

উপরের গাণিতিক বাক্যটি সত্য হবে যদি একটি উৎপাদক ধনাত্মক ও অপরটি ঋণাত্মক হয়। অর্থাৎ, p এর মান 3 ও 5 এর মাঝখানে হবে।

অর্থাৎ 3 < p < 5

প্রশ্ন: কেরোসিন ও পেট্রোলের মোট পরিমাণ ৬০ লিটার এবং তাদের অনুপাত ৪:৬। পেট্রোল কত লিটার যোগ করলে নতুন অনুপাত ১:২ হবে?

সমাধান:
৬০ লিটার কেরোসিন ও পেট্রোলের মিশ্রনের অনুপাত ৪ : ৬

∴ কেরোসিন আছে = ৪/১০ এর ৬০ লিটার = ২৪ লিটার
∴ পেট্রোল আছে = (৬০ - ২৪) = ৩৬ লিটার

 ঐ মিশ্রনে আর কত লিটার পেট্রোল মিশালে অনুপাত ১ : ২ হবে।

ধরি, পেট্রোল 'ক' লিটার যুক্ত করলে পেট্রোলের পরিমাণ হবে (৩৬ + ক) লিটার

প্রশ্নমতে,
২৪/(৩৬ + ক) = ১/২
⇒ ৩৬ + ক = ৪৮
⇒ ক = ৪৮ - ৩৬
∴ ক = ১২ লিটার

অতএব, ১২ লিটার পেট্রোল মিশালে অনুপাত হবে ১ : ২।

প্রশ্ন: যদি x + y = 5 এবং xy = 6 হয়, তাহলে, {x² + y² + 4xy}² = ?

সমাধান:
x² + y² + 4xy
= (x + y)² - 2xy + 4xy
= (x + y)² + 2xy
= (5)² + 2 × 6
= 25 + 12
= 37

∴ {x² + y² + 4xy}² = (37)² = 1369

প্রশ্ন: ৩০ সেকেন্ডে একটি ট্রেন ২০০ মিটার লম্বা স্টেশন অতিক্রম করে, এবং ২০ সেকেন্ডে ১০০ মিটার লম্বা ব্রিজ অতিক্রম করে। ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
(ক + ২০০)/৩০ = (ক + ১০০)/২০
⇒ ২০(ক + ২০০) = ৩০(ক + ১০০)
⇒ ২০ক + ৪০০০ = ৩০ক + ৩০০০
⇒ ৩০ক - ২০ক = ৪০০০ - ৩০০০
⇒ ১০ক = ১০০০ 
⇒ ক = ১০০০/১০ 
∴ ক = ১০০ মিটার

∴ ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ১০০ মিটার।