ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

দেয়া আছে,
a + b = √8,
a - b = √5

8ab(a² + b²) = 4ab. 2(a² + b²)
                     = {(a + b)² - (a - b)²}{(a + b)² + (a - b)²}
                     = {(√8)² - (√5)² }{(√8)² + (√5)² }
                     = (8 - 5)(8 + 5)
                     = 3 × 13
                     = 39 

    a⁴ + a² + 1 
= (a²)² + 2. a².1 + 1² - a²
= (a² + 1)² - a²
=(a² + 1 + a)(a² + 1 - a)
= (a² + a + 1)(a² - a + 1)

দেয়া আছে,
a = √7 + √6
1/a = 1/√7 + √6
      =(√7 - √6)/(√7 + √6)(√7 - √6)
      = (√7 - √6)/{(√7)² - (√6)²}
      = (√7 - √6)/(7 - 6)
      = (√7 - √6)/1
      =√7 - √6

a - 1/a = √7 + √6 - (√7 - √6)
            = √7 + √6 - √7 + √6
             = 2√6


(a⁶ - 1)/a³ = a⁶/a³ - 1/a³
                 = a³ - (1/a)³
                 = (a - 1/a)³ + 3a.1/a.(a - 1/a)
                 = (2√6)³ + 3.2√6
                  = 8.6√6 + 6√6
                  = 48√6 + 6√6
                   = 54√6

9 - a² + 6ab - 9b² 
9 - {a² - 2.a .3b + (3b)²}
3² - (a- 3b)²
{3 + (a - 3b)}{3 - (a - 3b)}
(3 + a - 3b)(3 - a + 3b)

দেয়া আছে,
x² - √5x + 1 = 0
x² + 1 = √5x 
(x² + 1)/x = √5x/x
x²/x + 1/x = √5
x + 1/x = √5

(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4x.1/x
(x - 1/x)² = (√5)² - 4
               = 5 - 4 
               = 1
x - 1/x = 1

x² - 1/x² = (x + 1/x)(x - 1/x)
               = √5 .1 
                = √5

x² + 2xy - 2y - 1
= x² - 1 + 2xy - 2y 
= x² - 1² + 2xy - 2y 
= (x + 1)(x - 1) + 2y(x - 1)
= (x - 1) (x + 2y + 1)

দেয়া আছে,
1 = x - x²
x² = x - 1

(1/x) + x² = (1/x) + x - 1
               = {1 + x(x - 1)}/x
               = 1 + x² - x/x
                = 1 + x - 1 - x/x
                = 0/x
                = 0

2m² - m - 15 
2m² - 6m + 5m - 15
= 2m(m - 3) + 5(m - 3)
= (2m + 5)(m - 3)

দেয়া আছে 
x² + 2x + 1 = 0 
x² + 2.x.1 + 1²  = 0 
(x + 1)² = 0
x + 1 = 0
x = - 1  

x⁵ + 1/x⁵ = (- 1)⁵ + 1/(- 1)⁵
                 = - 1 + (1/- 1)
                  = - 1 - 1
                  = - 2

ধরি 
f(a) = a³ - 6a² + 12a - 9 
f(3) = 3³ - 6 × 3² + 12 × 3  - 9
      = 27 - 6 × 9 + 36 - 9
      = 27 - 54 + 36 - 9 
      = 63 - 63 
      = 0 
a - 3 , f(a) এর একটি উৎপাদক। 

ধরি,
f(x)= x³ - 3x² + 4x - 4
f(2)= 2³ - 3 .2² + 4. 2 - 4
     = 8 - 12 + 8 - 4 
     = 16 - 16 
     = 0 

x³ - 3x² + 4x - 4
= x³ - 2x²  - x² + 2x  + 2x - 4
=x²(x - 2) - x (x - 2) + 2(x - 2) 
= (x - 2)(x² - x + 2)

দেয়া আছে,
a² + b² = 45
ab = 18 

(1/a) + (1/b) = (a + b)/ab 
                     = √(a + b)²/ab
                     = √(a² + b² + 2ab)/ab
                     = √(45 + 2 . 18)/18
                     = √(45+ 36)/18
                     = √81/18
                     = 9/18
                     = 1/2

ধরি,
f(x) = 3x⁵ + 2x + 5
f(- 1) = 3(- 1)⁵ + 2(- 1) + 5
         = 3(- 1) - 2 + 5
         = - 3 - 2 + 5 
         = - 5  + 5
         = 0
x + 1, f(x) এর একটি উৎপাদক। 

দেয়া আছে,
 x = 1 + √3
y = 1 - √3


x + y = 1 + √3 + 1 - √3 = 2 
xy = (1 + √3)(1 - √3)
     = 1² - (√3)²
     = 1 - 3
     = - 2

x² + y² = (x + y)²  - 2.xy 
            = 2² - 2(- 2)
            = 4 + 4 
            = 8 

x² - 3xy - 40y² 
= x² - 8xy + 5xy - 40y² 
= x(x - 8y) + 5y(x - 8y)
= (x - 8y) (x + 5y)

দেয়া আছে, 
x⁴ + x² + 1 = 5x² 
x⁴ + 1 = 5x² - x²
x⁴ + 1 = 4x² 
(x⁴ + 1)/x² = 4x²/x²
x⁴/x² + 1/x² = 4 
x² + 1/x² = 4
(x + 1/x)² - 2x.1/x = 4
(x + 1/x)² - 2 = 4
(x + 1/x)² = 6
x + 1/x = √6

3x² - x - 14 = 0 
3x² - 7x + 6x - 14 = 0
x(3x - 7) + 2(3x - 7) = 0
(3x - 7)(x + 2) = 0

হয়                       অথবা 
3x - 7 = 0                 x + 2 = 0
3x = 7                       x = - 2
x = 7/3

দেয়া আছে,
a + b + c = 5
a² + b² + c² = 9

আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
5² = 9 + 2(ab + bc + ca)
25  = 9 + 2(ab + bc + ca)
25 - 9 = 2(ab + bc + ca)
16 = 2(ab + bc + ca)
ab + bc + ca = 16/2
ab + bc + ca = 8

4x² - 9 - y(y - 6) 
= 4x² - 9 - y² + 6y
= 4x² - (y² - 6y + 9)
= (2x)² - {y² - 2 . y . 3 + 3²}
= (2x)² - (y - 3)²
= {2x + (y - 3)}{2x - (y - 3)}
= (2x + y - 3)(2x - y + 3)