ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: 'CANVAS' শব্দের বর্ণগুলোকে কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান: 
CANVAS শব্দে 6টি বর্ণ আছে।
যার মধ্যে 1টি C, 2টি A, 1টি N, 1টি V এবং 1টি S আছে।

 সাজানো যাবে = 6!/2!
                       = 720/2
                       = 360 উপায়ে৷

প্রশ্ন: 'BACHELOR' শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতপ্রকারে সাজানো যায়? 

সমাধান: 
'BACHELOR' শব্দটিতে ৮টি বর্ণ। 
প্রতিবারে 3টি করে বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁸P₃ = 336

প্রশ্ন: 5টি চকলেট 3 জন বালিকার মধ্যে কত উপায়ে বিতরণ করা যেতে পারে? 

সমাধান: 
বালিকার সংখ্যা n = 3 জন
চকলেট r = 5টি 

চকলেট বিতরণ করা যেতে পারে = n^r
= 3⁵
= 243

প্রশ্ন: যদি ⁿC₆ = ⁿC₈ হয়, তবে ⁿC₂ = কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
ⁿC₆ = ⁿC₈
n = 6 + 8 = 14

ⁿC₂ = ¹⁴C₂ =(14 × 13)/(2 × 1)
                   = 91

প্রশ্ন: একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে 9টি দল অংশগ্রহণ করেছে। একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করা যাবে? 

সমাধান: 
প্রতিটি খেলার জন্য 9টি দল থেকে 2টি দল নির্বাচন করতে হবে 

মোট খেলার সংখ্যা = ⁹C₂ = 36

প্রশ্ন: একটি কলেজের অধ্যাপকের ৩টি খালি পদের জন্য 10জন প্রার্থী আছেন। খালি পদের সংখ্যা অপেক্ষা বেশি নয় এরূপ যে কোন সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচন করা যেতে পারে। কত প্রকারে প্রার্থী নির্বাচন করা যেতে পারে?

সমাধান: 
 3টি খালি পদের জন্য প্রার্থী আছেন = 10জন
1 জনকে নির্বাচন করার উপায় = ¹⁰C₁
2 জনকে নির্বাচন করার উপায় = ¹⁰C₂
3 জনকে নির্বাচন করার উপায় = ¹⁰C₃

মোট উপায় = ¹⁰C₁ +¹⁰C₂ +¹⁰C₃
= 10 + 45 + 120
= 175

প্রশ্ন: 'EDUCATIONS' শব্দটি থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ একত্রে কত উপায়ে বাছাই করা যেতে পারে?  

সমাধান: 
'EDUCATIONS' শব্দটি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে 5টি 
 এবং স্বরবর্ণ আছে 5টি 

5টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায় = ⁵C₃ = 10 
5টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায় = ⁵C₂ = 10 
বাছাইয়ের মোট উপায় = 10 × 10 = 100

প্রশ্ন: 'ECONOMIC' শব্দটির অক্ষরগুলো কতপ্রকারে সাজানো যাবে যেখানে প্রথমে N এবং শেষে M থাকবে?

সমাধান: 
'ECONOMIC' শব্দটিতে বর্ণ আছে ৮টি। 
C = 2 টি
O = 2টি

প্রথমে N এবং শেষে M থাকবে

∴ সাজানো যাবে = 6!/(2!2!)
                         = 180 উপায়ে

প্রশ্ন: ⁶P_r = 360 এবং ⁶C_r = 15 হলে r এর মান কত? 

সমাধান: 
ⁿP_r = ⁿC_r × r!
⁶P_r = ⁶C_r × r!
⁶P_r = 15 × r!
360 = 15 × r!
r! = 360/15
r! = 24
r! = 4!
r = 4

প্রশ্ন: 'FLORIDA' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
'FLORIDA' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি 
Vowel আছে 3টি 
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি 
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel  তিনটিকে সাজানো যায় =3!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3! 
= 120 × 6 
= 720

প্রশ্ন: একজন পরীক্ষার্থীকে 14টি প্রশ্ন থেকে 6টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। এর মধ্যে তাকে প্রথম 5টি থেকে 4টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে। সে কত প্রকারে প্রশ্নগুলি বাছাই করতে হবে?

সমাধান: 
প্রথম 5টি থেকে 4টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে
প্রথম 5টি থেকে 4টি প্রশ্ন বাছাই করার উপায় = ⁵C₄ =5

বাকি 9টি থেকে 2টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে
9টি থেকে 2টি প্রশ্ন বাছাই করার উপায় =  ⁹C₂ = 36

মোট প্রশ্ন বাছাই করার উপায় =  5 × 36 = 180

প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'ACTIVE' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যাবে? 

সমাধান: 
'ACTIVE' শব্দটিতে 6 টি বর্ণ রয়েছে 

যাদের মধ্যে 3টি স্বরবর্ণ।

6টি বর্ণকে সাজানো যায় = 6! = 720

 স্বরবর্ণ 3টিকে 1টি ধরে মোট বর্ণ হয় 4টি 
4টি বর্ণকে সাজানো যায় = 4!
 স্বরবর্ণ 3টিকে সাজানো যায় = 3! 

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা
= 4! × 3!
= 24 × 6 
= 144

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস সংখ্যা
= 720 - 144
= 576

প্রশ্ন: 6 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলা থেকে 5 জনের একটি কমিটি কত প্রকারে গঠন করা যেতে পারে যেন প্রত্যেক কমিটিতে অন্তত একজন মহিলা থাকে?

সমাধান: 

   পুরুষ (6 জন)  মহিলা(4 জন)
১)        4                     1
২)       3                     2
৩)       2                     3
৪)       1                     4

মোট উপায় = (⁴C₁ × ⁶C₄) + (⁴C₂ × ⁶C₃) + (⁴C₃ × ⁶C₂) + (⁴C₄ × ⁶C₁)
= 60 + 120 + 60 + 6
= 246

প্রশ্ন: 8টি বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কৌণিক বিন্দুগুলো যোগ করে কতগুলো ত্রিভুজ তৈরি করা যায়?

সমাধান: 
একটি ত্রিভুজ গঠন করতে 3টি বিন্দুর প্রয়োজন 
ত্রিভুজ গঠন করা যাবে = ⁸C₃ = 56

প্রশ্ন: প্রত্যেকটি অঙ্ক কেবল একবার নিয়ে 7, 6, 3, 5, 2, 4 অঙ্কগুলো দ্বারা তিন অঙ্ক বিশিষ্ট কত গুলো ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যায়? 

সমাধান: 
প্রত্যেকটি অঙ্ক কেবল একবার নিয়ে 7, 6, 3, 5, 2, 4 অঙ্কগুলো দ্বারা তিন অঙ্ক বিশিষ্ট ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যাবে = ⁶P₃ = 120

প্রশ্ন: 8 জন বালক এবং 2 জন বালিকার মধ্য থেকে বালিকাদের সর্বদা বর্জন করে 6 জনের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে? 

সমাধান: 
বালক = 8 জন 
বালিকা = 2 জন 
বালিকাদের সর্বদা বর্জন করে 
8 জন বালকের মধ্যে 6 জন নিতে হবে 

কমিটি গঠনের উপায় = ⁸C₆ = 28

প্রশ্ন: 5 × ⁿP₃ = 4 × ^{(n + 1)}P₃ হলে n এর মান কত? 

সমাধান: 
ⁿP₃ = n × (n - 1) × (n - 2)
⁽ⁿ⁺¹⁾P₃ = (n + 1) × n × (n - 1)

এখন
5 × n × (n - 1) × (n - 2) = 4 × (n + 1) × n × (n - 1)
⇒ 5(n - 2) = 4(n + 1)
⇒  5n - 10 = 4n + 4
⇒  5n - 4n = 4 + 10
n = 14

প্রশ্ন: একটি সামাজিক অনুষ্ঠানে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে শুভেচ্ছা বিনিময় সংখ্যা 105 হলে, ঐ অনুষ্ঠানে কতজন লোক উপস্থিত ছিলো ?

সমাধান: 
শুভেচ্ছা বিনিময়ের উপায় সংখ্যা = ⁿC₂ = 105
n(n - 1)/2 = 105
n² - n = 210
n² - n - 210 = 0
n2 - 15n + 14n - 210 = 0
n(n - 15) + 14(n - 15) = 0
(n - 15)(n + 14) = 0

n = 15 , - 14 

উপস্থিত ছিলো = 15 

প্রশ্ন: 8 জন ও 10 জন খেলোয়াড়ের দুইটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে 8 জনের দল থেকে কমপক্ষে 7 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকবে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে? 

সমাধান: 
১ম দল (8 জন)  ২য় দল(10জন)
১)     8                      3
২)    7                      4 

১) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = ⁸C₈ × ¹⁰C₃ = 1 × 120 = 120
২)নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = ⁸C₇ × ¹⁰C₄ = 8 × 210 = 1680

টিম গঠনের উপায় = 120 + 1680  = 1800