বিসিএস প্রিলি ও লিখিত সমন্বিত প্রস্তুতি

প্রশ্ন: একটি লোহার পাত ও একটি তামার পাতের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৬৮ সেমি. ও ২১০ সেমি.। পাত দুটি থেকে কেটে নেওয়া একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য হবে ১৬৮ সেমি. ও ২১০ সেমি. এর গ.সা.গু.

১৬৮ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৭  
২১০ = ২ × ৩ × ৫ × ৭
সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক = ২ × ৩ × ৭

∴ ১৬৮ ও ২১০ এর গ.সা.গু. = ৪২

∴ সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য হবে = ৪২ সেমি.

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৮% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ৬০০ টাকা বেশি হলে ১২% লাভ হতো। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।

৮% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ৮) টাকা = ৯২ টাকা।
এবং ১২% লাভে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১২) টাকা = ১১২ টাকা।

সুতরাং বিক্রয়মূল্য বেশি = (১১২ - ৯২) = ২০ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ২০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা  
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/২০ টাকা  
বিক্রয়মূল্য ৬০০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ × ৬০০/২০ টাকা  
= ৩০০০ টাকা।

∴ দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য = ৩০০০ টাকা।

প্রশ্ন: ২২০ এর ৩০%, p এর ৬% এর সমান। p এর মান কত? 

সমাধান: 
p এর ৬% = ২২০ এর ৩০%  
বা, p × (৬/১০০) = ২২০ × (৩০/১০০)  
বা, ৬p/১০০ = (২২০ × ৩০)/১০০  
বা, ৬p × ১০০ = ২২০ × ৩০ × ১০০  
বা, p = (২২০ × ৩০ × ১০০)/(৬ × ১০০)  
∴ p = ১১০০

প্রশ্ন: একটি শহরের জনসংখ্যা ১২% বৃদ্ধি পেয়ে ২২৪০ জন হলে পূর্বের জনসংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
১২% বৃদ্ধিতে-
বর্তমান জনসংখ্যা ১১২ জন হলে পূর্বে ছিল = ১০০ জন
∴ বর্তমান জনসংখ্যা ১ জন হলে পূর্বে ছিল = ১০০/১১২ জন
∴ বর্তমান জনসংখ্যা ২২৪০ জন হলে পূর্বে ছিল = (১০০ × ২২৪০)/১১২ জন
= ২০০০ জন

∴ পূর্বের জনসংখ্যা = ২০০০ জন।

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ৯২ বছর হয়। ৬ বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৫ : ৩। ৮ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
বর্তমানে,
পিতার বয়স = x বছর  
পুত্রের বয়স = y বছর  

দেওয়া আছে,  
x + y = ৯২ বছর.........(i)

৬ বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৫ : ৩  
তাহলে,  
(x - ৬)/(y - ৬) = ৫/৩  
বা, ৩(x - ৬) = ৫(y - ৬)  
বা, ৩x - ১৮ = ৫y - ৩০  
বা, ৩x = ৫y - ১২  
∴ x = (৫y - ১২)/৩.........(ii)

(ii) সমীকরণটি (i)-এ বসাই:  
(৫y - ১২)/৩ + y = ৯২  
বা, ৫y - ১২ + ৩y = ২৭৬  
বা, ৮y = ২৮৮  
∴ y = ৩৬

y এর মান (i) নং এ বসাই,  
∴ x = ৯২ - ৩৬ = ৫৬

৮ বছর পর,  
পিতার বয়স = ৫৬ + ৮ = ৬৪  
পুত্রের বয়স = ৩৬ + ৮ = ৪৪  

∴ ৮ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত = ৬৪ : ৪৪ = ১৬ : ১১

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ২৪, ৩৬, ৪৮ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১৪, ২৬ ও ৩৮ অবশিষ্ট থাকে?

সমাধান:
২৪ - ১৪ = ১০  
৩৬ - ২৬ = ১০  
৪৮ - ৩৮ = ১০  

২৪, ৩৬, ৪৮ থেকে যথাক্রমে ১৪, ২৬ ও ৩৮ বিয়োগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১০ অবশিষ্ট থাকে।

এখন,
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩  
৩৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩  
৪৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩

∴ ২৪, ৩৬ ও ৪৮ এর ল.সা.গু.  
= ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩  
= ১৪৪

যেহেতু প্রতিক্ষেত্রে ১০ অবশিষ্ট থাকে  
∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১৪৪ - ১০ = ১৩৪

প্রশ্ন: রাহিম একটি বই করিমের কাছে ১০% ক্ষতিতে বিক্রি করল। রাহিম যদি বইটি ২০% কম দামে ক্রয় করত এবং ৬০ টাকা বেশি দামে বিক্রি করত তবে তার ২০% লাভ হতো। রাহিম বইটি কত দামে ক্রয় করেছিল?

সমাধান:
১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) = ৯০ টাকা
২০% কমে বইটির ক্রয়মূল্য = (১০০ - ২০) = ৮০ টাকা
২০% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২০) = ১২০ টাকা

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা  
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১২০/১০০) টাকা  
∴ ক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (১২০ × ৮০)/১০০ টাকা  
= ৯৬ টাকা

∴ বিক্রয়মূল্য = (৯৬ - ৯০) = ৬ টাকা

৬ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা  
∴ ১ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য (১০০/৬) টাকা  
∴ ৬০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রি করলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৬০)/৬ টাকা  
= ১০০০ টাকা

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি বার্ষিক ২০% চক্রবৃদ্ধি সুদে ৫০০ টাকা ব্যাংকে জমা রাখলেন। দুই বছর শেষে ঐ ব্যক্তি সুদসহ কত টাকা পাবেন?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, P = ৫০০ টাকা
সুদের হার, r = ২০%
সময়, n = ২ বছর
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = ?

আমরা জানি,
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P (১ + r)ⁿ
= ৫০০ × (১ + ২০%)^২
= ৫০০ × (১ + ২০/১০০)^২
= ৫০০ × (১ + ১/৫)^২
= ৫০০ × {(৫ + ১)/৫}^২
= ৫০০ × (৬/৫)^২
= ৫০০ × ৬/৫ × ৬/৫
= ৭২০ টাকা

∴ সুদসহ পাবেন = ৭২০ টাকা।

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের কোণগুলোর অনুপাত ৪ : ৫ : ৬ : ৩। তৃতীয় বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
ধরি, চতুর্ভুজের কোণগুলো:
৪x, ৫x, ৬x, ৩x

চতুর্ভুজের কোণগুলোর যোগফল = ৩৬০°

তাহলে সমীকরণ,
৪x + ৫x + ৬x + ৩x = ৩৬০
→ ১৮x = ৩৬০
∴ x = ৩৬০/১৮ = ২০°

কোণগুলো হবে:
৪x = ৮০°
৫x = ১০০°
৬x = ১২০°
৩x = ৬০°

বৃহত্তম থেকে ক্রম:
১২০°, ১০০°, ৮০°, ৬০°

∴ তৃতীয় বৃহত্তম কোণের মান = ৮০°

প্রশ্ন: একজন দোকানদার ২টি খাতা ক্রয় করে। প্রথমটি ৪০০ টাকায়, দ্বিতীয়টি ৫০০ টাকায়। প্রথমটি ১৫% লাভে এবং দ্বিতীয়টি ১০% ক্ষতি দিয়ে বিক্রি করা হলো। মোট লাভ/ক্ষতির হার কত?

সমাধান:
প্রথম খাতার বিক্রয়মূল্য = ৪০০ + [(১৫/১০০) × ৪০০]  
= ৪০০ + ৬০  
= ৪৬০ টাকা  

দ্বিতীয় খাতার বিক্রয়মূল্য = ৫০০ - [(১০/১০০) × ৫০০]  
= ৫০০ - ৫০  
= ৪৫০ টাকা  

দুইটি খাতার ক্রয়মূল্য = (৪০০ + ৫০০) = ৯০০ টাকা  

দুইটি খাতার বিক্রয়মূল্য = (৪৬০ + ৪৫০) = ৯১০ টাকা  

তাহলে,  
বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য = [(৯১০ - ৯০০) × ১০০]/৯০০  
= ১০০০/৯০০  
= ১.১১%

∴ তাহলে লাভ হয় = ১.১১%

প্রশ্ন: একজন ছাত্রের প্রথম পরীক্ষার প্রাপ্ত নম্বর ৮৫। তৃতীয় পরীক্ষার পর তার নম্বরের গড় ৮৭ থেকে ৮২ হয়। ২য় ও ৩য় পরীক্ষার ফলাফলের গড় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ছাত্রটির প্রথম পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর = ৮৫
এবং তিনটি পরীক্ষার প্রাপ্ত নম্বরের গড় = ৮২

∴ তিনটি পরীক্ষার প্রাপ্ত মোট নম্বর = (৮২ × ৩) = ২৪৬

সুতরাং, ২য় ও ৩য় পরীক্ষার প্রাপ্ত মোট নম্বর = (২৪৬ - ৮৫) = ১৬১

∴ ২য় ও ৩য় পরীক্ষার ফলাফলের গড় = ১৬১ / ২ = ৮০.৫

প্রশ্ন: ৮% সরল মুনাফায় ৯ মাসে ২০,০০০ টাকার মুনাফা কত?

সমাধান:
এখানে,
আসল, P = ২০,০০০ টাকা
মুনাফার হার, r = ৮% = ৮/১০০
সময়, n = ৯ মাস = ৯/১২ = ৩/৪ বছর

সুদ, I = Pnr
= ২০,০০০ × (৩/৪) × (৮/১০০)
= ১,২০,০০০/১০০
= ১,২০০ টাকা

প্রশ্ন: পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৪, ৬, ৯, ১২ ও ১৫ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৪ = ২ × ২  
৬ = ২ × ৩  
৯ = ৩ × ৩  
১২ = ২ × ২ × ৩  
১৫ = ৩ × ৫  

∴ ৪, ৬, ৯, ১২ ও ১৫ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫  
= ১৮০
অর্থাৎ ১৮০ সেকেন্ড পরে ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে।

এখন,  
৬০ সেকেন্ড = ১ মিনিট  
∴ ১৮০/৬০ = ৩ মিনিট

∴ ৩ মিনিট পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: একজন চাকরিজীবী তার বেতনের ১/৫ অংশ বাড়িভাড়া, ১/৪ অংশ যাতায়াত, এবং ১/৩ অংশ খাদ্যে ব্যয় করেন। তাহলে তার আয়ের শতকরা কত ভাগ অবশিষ্ট থাকে?

সমাধান:
ধরি, মোট বেতন = ১ অংশ

মোট ব্যয় = ১/৫ + ১/৪ + ১/৩
= ১২/৬০ + ১৫/৬০ + ২০/৬০
= ৪৭/৬০

অবশিষ্ট = ১ - (৪৭/৬০)
= ১৩/৬০

শতকরা অবশিষ্ট = (১৩/৬০)/১ × ১০০%
= ১৩০০/৬০%
= ২১.৬৭%

প্রশ্ন: করিম বইয়ের দোকান থেকে একটি ইংরেজি বই ৯০ টাকায় ক্রয় করল। কিন্তু বইটির কভারে মূল্য দেওয়া ছিল ১৫০ টাকা। সে শতকরা কত টাকা কমিশন পেল?

সমাধান:
কমিশন = (১৫০ - ৯০) টাকা  
= ৬০ টাকা

১৫০ টাকায় কমিশন পেল = ৬০ টাকা  
১ টাকায় কমিশন পেল = ৬০/১৫০ টাকা  
১০০ টাকায় কমিশন পেল = (৬০ × ১০০)/১৫০ টাকা  
= ৪০ টাকা

সুতরাং, ৪০% কমিশন পেল।

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ২০% এর মান ৪০ হলে, সংখ্যাটির ১৫% কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ২০% = ৪০
⇒ ক × (২০/১০০) = ৪০
⇒ ক × ১/৫ = ৪০
⇒ ক = ৪০ × ৫
∴ ক = ২০০

অর্থাৎ, সংখ্যাটি ২০০

এখন,
২০০ এর ১৫% = ২০০ × (১৫/১০০)
= ২০০ × (৩/২০)
= ৩০

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। ১ম নল দ্বারা ১৫ মিনিটে পূর্ণ হয় ও ২য় নল দ্বারা ৩০ মিনিটে পূর্ণ হয়। নল দুটি একত্রে খুলে দিলে খালি চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পূর্ণ হবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/১৫ অংশ
২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/৩০ অংশ

∴ দুটি নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/১৫) + (১/৩০) অংশ  
= (২ + ১)/৩০ অংশ  
= ৩/৩০ অংশ  
= ১/১০ অংশ

১/১০ অংশ পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে  
১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় = ১০ মিনিটে

∴ চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হবে = ১০ মিনিটে।

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% হারে ৮০০ টাকা ২ বছর পর সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
মূলধন, P = ৮০০ টাকা  
সুদের হার, r = ১০% = ১০/১০০  
সময়, n = ২ বছর  

আমরা জানি,  
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে,  
SI = P × r × n  
= ৮০০ × (১০/১০০) × ২  
= ১৬০ টাকা  

আবার,  
চক্রবৃদ্ধি মুনাফায়,  
C = P (১ + r)ⁿ  
= ৮০০ (১ + ১০/১০০)^২ 
= ৮০০ (১.১)^২  
= ৮০০ × ১.২১  
= ৯৬৮ টাকা  

∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = C - P  
= ৯৬৮ - ৮০০  
= ১৬৮ টাকা 

∴ পার্থক্য = ১৬৮ - ১৬০ = ৮ টাকা

প্রশ্ন: একটি সৈন্যদলকে ৯, ১২ ও ১৫ সারিতে সাজানো যায়। আবার তাদেরকে বর্গাকারে সাজানো যায়। ঐ দলে কমপক্ষে কতজন সৈন্য ছিল?

সমাধান:
সৈন্যদলকে ৯, ১২ ও ১৫ সারিতে সাজানো যায়।  
ফলে সৈন্যদের সংখ্যা ৯, ১২ ও ১৫ দ্বারা বিভাজ্য।

এমন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হবে ৯, ১২ ও ১৫ এর ল.সা.গু।
৯ = ৩ × ৩  
১২ = ২ × ২ × ৩  
১৫ = ৩ × ৫  

∴ ৯, ১২ ও ১৫ এর ল.সা.গু 
= ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫  
= ১৮০ (যা বর্গাকার সংখ্যা নয়)

১৮০ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫  
এটিকে বর্গাকার সংখ্যা করতে হলে কমপক্ষে ৫ দ্বারা গুণ করতে হবে।

৯, ১২ ও ১৫ সারিতে এবং বর্গাকারে সাজানোর জন্য সৈন্যদের সংখ্যা হবে  
= (২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫) × ৫ জন  
= ৯০০ জন

∴ সৈন্যের সংখ্যা = ৯০০ জন।

প্রশ্ন: রুবেল একটি ব্যাংকে বার্ষিক ৮% সরল সুদে ৩০,০০০ টাকা ৫ বছরের জন্য জমা রাখলে, মেয়াদ শেষে মোট কত টাকা তিনি ফেরত পাবেন?

সমাধান:
এখানে,
আসল, P = ৩০,০০০ টাকা  
সুদের হার, r = ৮%  
সময়, n = ৫ বছর  

আমরা জানি,  
I = (P × r × n)/১০০  
= (৩০,০০০ × ৮ × ৫) / ১০০  
= (১২,০০,০০০)/১০০  
= ১২,০০০ টাকা  

∴ মোট টাকা পাবেন = সুদ + আসল  
= ৩০,০০০ + ১২,০০০  
= ৪২,০০০ টাকা

প্রশ্ন: কোনো আসল ৪ বছরে সুদে-আসলে ৬৮০ টাকা এবং ৬ বছরে সুদে-আসলে ৭২০ টাকা হয়। শতকরা সরল সুদের হার কত?

সমাধান:
৬ বছরের সুদ + আসল = ৭২০ টাকা  
৪ বছরে সুদ + আসল = ৬৮০ টাকা  

∴ ২ বছরের সুদ = ৪০ টাকা  
∴ ১ বছরের সুদ = ৪০/২ টাকা  

∴ ৪ বছরের সুদ = (৪০ × ৪)/২ টাকা  
= ৮০ টাকা  

সময়, n = ৪ বছর  
আসল, P = ৬৮০ - ৮০ = ৬০০ টাকা  

আমরা জানি,  
I = Pnr
বা, r = I/Pn  
বা, r = (৮০ × ১০০)/(৬০০ × ৪)  
∴ r = ৩.৩৩%

প্রশ্ন: ৯৬ লিটার দুধের মিশ্রণে আগে থেকেই ১২ লিটার পানি মিশানো আছে। দুধ ও পানির অনুপাত ৭ : ৩ করতে চাইলে আরও কত লিটার পানি মিশানো যাবে?

সমাধান:
মোট মিশ্রণ = ৯৬ লিটার  
মিশ্রণে পানি = ১২ লিটার  

নতুন দুধ : পানি অনুপাত = ৭ : ৩  

মোট মিশ্রণে দুধ আছে = ৯৬ - ১২  
= ৮৪ লিটার  

নতুন অনুপাত,  
৮৪/নতুন পানি = ৭/৩  
⇒ ২৫২ = ৭ × নতুন পানি  
⇒ নতুন পানি = ২৫২ / ৭  
= ৩৬ লিটার  

∴ আরও পানি মিশানোর পরিমাণ (৩৬ - ১২) লিটার  
= ২৪ লিটার

প্রশ্ন: একটি শহরে ৬,০০০ জন বাসিন্দা আছে। এদের মধ্যে ৬৫% ব্যবসার সাথে জড়িত। শহরে কতজন বাসিন্দা ব্যবসার সাথে জড়িত নয়?

সমাধান:
মোট বাসিন্দা = ৬,০০০ জন  
ব্যবসার সাথে জড়িত = ৬৫%  

∴ ব্যবসার সাথে জড়িত আছে = ৬,০০০ এর ৬৫%  
= ৬,০০০ × (৬৫/১০০)  
= ৩,৯০০ জন  

∴ ব্যবসার সাথে জড়িত নয় = ৬,০০০ − ৩,৯০০  
= ২,১০০ জন

প্রশ্ন: ২০% সরল সুদে কত বছরে আসল সুদাসলে তিনগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি, আসল = P টাকা  
সুদাসল = ৩P টাকা  

∴ সুদ = সুদাসল - আসল  
= ৩P - P  
= ২P  

এখানে,  
সুদের হার, r = ২০%

আমরা জানি,  
I = pnr/১০০  
⇒ ২P = (P × ২০ × n)/১০০  
⇒ ২ = (২০ × n)/১০০  
⇒ ২০০ = ২০n  
⇒ n = ২০০/২০
∴ n = ১০  

∴ সময় = ১০ বছর

প্রশ্ন: একটি জাহাজ ১৫ কিমি/ঘণ্টা বেগে চললে ১৮ দিনে একটি বন্দরে পৌঁছায়। একটি লঞ্চ একই স্থান থেকে ১ দিন পরে রওনা করে ১০ কিমি/ঘণ্টা বেগে চললে, জাহাজটি বন্দরে পৌঁছানোর কতদিন পরে লঞ্চটি বন্দরে পৌঁছাবে?

সমাধান:
জাহাজের বেগ = ১৫ কিমি/ঘণ্টা,
জাহাজটি বন্দরে পৌঁছাতে সময় নেয় = ১৮ দিন।

∴ পথের মোট দূরত্ব = বেগ × সময় = (১৫ × ২৪ × ১৮) কি.মি. = ৬৪৮০ কি.মি.

এখন, লঞ্চের বেগ = ১০ কিমি/ঘণ্টা
∴ লঞ্চ ১ দিনে যায় = (১০ × ২৪) কি.মি. = ২৪০ কি.মি.

লঞ্চের ২৪০ কি.মি যেতে সময় লাগে ১ দিন
∴ লঞ্চের ১ কি.মি যেতে সময় লাগে ১/২৪০ দিন
∴ লঞ্চের ৬৪৮০ কি.মি যেতে সময় লাগে ১ × ৬৪৮০ / ২৪০ দিন  
= ২৭ দিন

১ দিন পর রওয়ানা হওয়ায় লঞ্চের সময় লাগে মোট = (২৭ + ১) দিন = ২৮ দিন

∴ জাহাজ পৌঁছানোর (২৮ - ১৮) দিন বা ১০ দিন পর লঞ্চ পৌঁছাবে

অতএব, নির্ণেয় সময় = ১০ দিন (উত্তর)

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু., বিয়োগফল এবং ল.সা.গু যথাক্রমে ১২, ৬০ এবং ২৪৪৮। সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি = ১২x ও ১২y

তাহলে,
১২x - ১২y = ৬০
∴ ১২(x - y) = ৬০
⇒ x - y = ৫ .......... (১)

এবং,
সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ১২xy
∴ ১২xy = ২৪৪৮
⇒ xy = ২৪৪৮/১২
⇒ xy = ২০৪

আমরা জানি,
(x + y)^২ = (x - y)^২ + ৪xy

∴ (x + y)^২ = ৫^২ + ৪ × ২০৪
= ২৫ + ৮১৬
= ৮৪১

⇒ x + y = ২৯ .......... (২)

এখন, (১) + (২) করলে পাই,
২x = ৩৪
⇒ x = ১৭

এবং, (২) - (১) করলে পাই,
২y = ২৪
⇒ y = ১২

অতএব,
সংখ্যা দুটি = ১২ × ১৭ এবং ১২ × ১২
= ২০৪ ও ১৪৪

প্রশ্ন: ৮টি সংখ্যার গড় ৪০। এর সাথে ৪টি সংখ্যা যোগ করা হলো। সংখ্যা ৪টির গড় ২১। সম্মিলিতভাবে ১২টি সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
৮টি সংখ্যার সমষ্টি = (৪০ × ৮) = ৩২০
৪টি সংখ্যার সমষ্টি = (৪ × ২১) = ৮৪

∴ ১২টি সংখ্যার গড় = (৩২০ + ৮৪) / ১২ = ৩৩.৬৭ (প্রায়)

উত্তর- ৩৩.৬৭ (প্রায়)

প্রশ্ন : টাকায় ৪টি আম ক্রয় করে ৩টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান :
১টি আমের ক্রয়মূল্য = ১/৪ টাকা  
১টি আমের বিক্রয়মূল্য = ১/৩ টাকা  

∴ ১টি আম বিক্রয়ে লাভ = (১/৩) - (১/৪)  
= ১/১২ টাকা  

∴ লাভের হার = {(১/১২) × ১০০}/ (১/৪)  
= ৩৩.৩৩ %

প্রশ্ন: লিজা ও শিখার বয়সের অনুপাত ২ : ৩। তাদের দুজনের বয়সের সমষ্টি ৩০ বছর হলে, কার বয়স কত?

সমাধান:
লিজা ও শিখার বয়সের অনুপাত = ২ : ৩
ধরি, তাদের বয়স যথাক্রমে ২ক বছর ও ৩ক বছর।

প্রশ্নমতে,
২ক + ৩ক = ৩০
বা, ৫ক = ৩০
∴ ক = ৬

তাহলে, লিজার বয়স = (২ × ৬) বছর = ১২ বছর
এবং, শিখার বয়স = (৩ × ৬) বছর = ১৮ বছর

উত্তর: ১২ বছর এবং ১৮ বছর।

প্রশ্ন: (১/৮) : (১/৪) : (১/২) অনুপাতটি নিচের কোন অনুপাতের সমান?

সমাধান:
(১/৮) : (১/৪) : (১/২)
= (৮/৮) : (৮/৪) : (৮/২)  
= ১ : ২ : ৪