১৯তম জুডিসিয়াল সার্ভিস (BJS) প্রস্তুতি

প্রশ্ন: একটি চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৬ মিটার । চতুর্ভুজটির পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
চতুর্ভুজের দৈর্ঘ্য = ৮ মিটার 
চতুর্ভুজের প্রস্থ = ৬ মিটার 

আমরা জানি, 
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার 
= ২ (৮ + ৬) মিটার 
= ২ × ১৪ মিটার 
= ২৮ মিটার। 

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চর্তুভুজের একটি কোণ ৮০° হলে তার বিপরীত কোণটির মান কত? 

সমাধান: 
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের দুটি বিপরীত কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
∴ একটি কোণ ৮০° হলে, অপরটি কোণটি হবে = (১৮০ - ৮০)°  
= ১০০° ।

প্রশ্ন: সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের একটি ১১৫° হলে অপরটি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
∴ নির্ণেয় কোণ = (১৮০ - ১১৫)° 
= ৬৫° ।

প্রশ্ন: সামান্তরিকের একটি কোণ যদি সমকোণ হয়, তবে সেটিকে কী বলা হয়? 

সমাধান: 
- সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে তাকে আয়তক্ষেত্র বলে। 

অন্যদিকে, 
- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, তাকে সামান্তরিক বলে।
- যে চতুর্ভুজের ৪টি বাহুই পরস্পর সমান এবং বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল, তাকে রম্বস বলে। 
- যে চতুর্ভুজের দুটি বিপরীত বাহু সমান্তরাল কিন্তু সমান নয়, তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে। 
- আয়তক্ষেত্রের দুটি সন্নিহিত বাহু সমান হলে, তাকে বর্গ বলে।

প্রশ্ন: 5 সে.মি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 4 সে.মি দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত সে.মি? 

সমাধান: 

 ধরি, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ OA = 5 সে.মি 
কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব OC = 4 সে.মি 

এখন, 
OAC সমকোণী ত্রিভুজে,
AC = √(OA² - OC²)
= √(5² - 4²)
= √(25 - 16)
= √9
= 3 সে.মি 

আমরা জানি, 
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ জ্যা AB = 2 × AC 
= 2 × 3 সে.মি 
= 6 সে.মি ।

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ পাঁচটি কোণের সমষ্টি হবে- 

সমাধান: 
কোণগুলোর সমষ্টি হবে = {90 × (2n - 4)}° 
= {90 × (2 × 5 - 4)}° 
= {90 × (10 - 4)}° 
= {90 × 6}° 
= 540°

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ৪ মিটার বেশি। ঘরটির পরিসীমা ৩২ মিটার হলে ঘরটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ঘরটির প্রস্থ = ক মিটার
∴ ঘরটির দৈর্ঘ্য = (ক + ৪) মিটার 
∴ ঘরটির পরিসীমা = ২ {(ক + ৪) + ক} মিটার 
= ২ (ক + ৪ + ক) মিটার 
= ২ (২ক + ৪) মিটার 

প্রশ্নমতে, 
২ (২ক + ৪) = ৩২ 
বা, ৪ক + ৮ = ৩২ 
বা, ৪ক = ৩২ - ৮ 
বা, ৪ক = ২৪ 
∴ ক = ৬ 
অর্থাৎ, ঘরটির প্রস্থ = ৬ মিটার 

∴ ঘরটির দৈর্ঘ্য = (ক + ৪) মিটার 
= (৬ + ৪) মিটার 
= ১০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়াম আকৃতির লোহার পাতের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৬ সে.মি. ও ২ সে.মি. এবং এদের লম্ব দূরত্ব ২ সে.মি। পাতটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.? 

সমাধান: 
পাতটি ট্রাপিজিয়াম আকৃতির, তাই 
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ১/২ × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × লম্ব দূরত্ব 
= ১/২ × (৬ + ২) × ২ 
= (৮/২) × ২ 
= ৮ বর্গ সে.মি. 

∴ পাতটির ক্ষেত্রফল = ৮ বর্গ সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১ এয়র, এর দৈর্ঘ্য ১২.৫ মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ এয়র = ১০০ বর্গমিটার 

দেওয়া আছে, 
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ১২.৫ মিটার 

∴ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ 
বা, প্রস্থ = ক্ষেত্রফল/দৈর্ঘ্য 
বা, প্রস্থ = ১০০/১২.৫ 
∴ প্রস্থ = ৮ মিটার । 

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দিয়ে অংকিত বৃত্তের কেন্দ্রকে কী বলে? 

সমাধান: 
অন্তঃকেন্দ্র: 
- ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে। 

পরিকেন্দ্র: 
- কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দিয়ে অংকিত বৃত্তকে বলে পরিবৃত্ত এবং বৃত্তের কেন্দ্রকে বলে পরিকেন্দ্র। 
- ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে। 

ভরকেন্দ্র: 
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে। 

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর অনুপাত যথাক্রমে ৪ : ৬ : ৭ : ৯ : ১০ হলে, পঞ্চভুজটির বৃহত্তম অন্তঃস্থ ও ক্ষুদ্রতম অন্তঃস্থ কোণের পার্থক্য কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
পঞ্চভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = ৫৪০°

দেওয়া আছে, 
প্রদত্ত অনুপাত = ৪ : ৬ : ৭ : ৯ : ১০
∴ অনুপাতের যোগফল = ৪ + ৬ + ৭ + ৯ + ১০
= ৩৬

∴ ক্ষুদ্রতম অন্তঃস্থ কোণ = {৫৪০° এর (৪/৩৬)} = ৬০°
∴ বৃহত্তম অন্তঃস্থ কোণ = {৫৪০° এর (১০/৩৬)} = ১৫০°

∴ পঞ্চভুজটির বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অন্তঃস্থ কোণের পার্থক্য = (১৫০ - ৬০)°
= ৯০° ।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২৫০০ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ২৫০০ বর্গমিটার 
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √২৫০০ মিটার
= ৫০ মিটার 

আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য 
= (৫০ × ৪) মিটার 
= ২০০ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ২০০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ ২০° হলে, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
নির্ণেয় বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ
= ৩৬০°/২০° 
= ১৮ 

∴ বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা = ১৮ ।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৩.৯ বর্গ সে.মি এবং ভূমি ২.৬ সে.মি হলে এর উচ্চতা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সামান্তরিকের ভূমি ২.৬ সে.মি
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৩.৯ বর্গ সে.মি 

আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা 
বা, উচ্চতা = ক্ষেত্রফল/ভূমি 
বা, উচ্চতা = ৩.৯/২.৬ 
∴ উচ্চতা = ১.৫ সে.মি ।