Math Master

চট্টগ্রাম থেকে ঢাকা হয়ে রাজশাহী যাওয়ার উপায়,
৫ × ৪ = ২০ উপায়।

৫, ৩, ৭, ২, ৩, মোট অংক আছে যাদের মধ্যে ২টি ৩ এবং বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন।

পাঁচ অংকের জোড় সংখ্যা গঠন করতে হলে, শেষ অংকে ২ নির্দিষ্ট করতে হবে।
এক্ষেত্রে অবশিষ্ট অংকগুলো দ্বারা গঠিত সংখ্যা = ৪!/২!
= ১২

FREEDOM শব্দটিতে 7টি বর্ণ আছে যাদের 2টি E.
∴ সবগুলো বর্ণ নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2! = 2520
∴ পুনর্বিন্যাস সংখ্যা = 2520 - 1 = 2519

COURAGE - শব্দটিতে মোট 7টি বিভিন্ন বর্ণ আছে যাদের মধ্যে 4টি স্বরবর্ণ এবং 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
শব্দের ১ম শূণ্যস্থানটি ব্যঞ্জনবর্ণ দিয়ে পূর্ণ করার উপায় = ³p₁ = 3
অবশিষ্ট ছয়টি শূণ্যস্থান পূর্ণ করা যায় 6! = 720 উপায়ে।
∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 720 × 3
= 2160

ALGEBRA শব্দটিতে মোট 7টি  বর্ণ রয়েছে যাদের মধ্যে 2টি A।
প্রতিবার 3টি বর্ণ নিয়ে সাজানোর ক্ষেত্রে-

(a) 2টি A অন্য একটি  ভিন্ন বর্ণ
(b) সবগুলোর বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন

(a) এর ক্ষেত্রে সাজানোর উপায়
= 1 × ⁵c₁ × 3!/2!
= 15
(b) এর ক্ষেত্রে সাজানোর উপায়
= ⁶p₃
= 120

∴ মোট শব্দ সংখ্যা
= 15 + 120
= 135

৭, ২, ৮, ৩, মোট ৪টি অংক রয়েছে।
৭০০০ অপেক্ষা বড় সংখ্যা গঠন করতে হলে ১ম অংকটি ৭ অথবা ৮ দিয়ে পূর্ণ করতে হবে,
যা ²p₁ = 2 উপায়ে পূর্ণ করা যায়।
অবশিষ্ট ৩টি অংক পূর্ণ করা যায় ৩! = ৬ উপায়ে
∴ মোট গঠিত সংখ্যা = ২ × ৬
= ১২

চার ডিজিটের টেলিফোন নম্বরে ১ম ডিজিট পূর্ণ করা যায় = 10 উপায়ে
অনুরূপে, ২য়, ৩য়, এবং ৪র্থ ডিজিটের প্রতিটি পূর্ণ করার উপায় = 10
∴ মোট টেলিফোন সংযোগ দেওয়া যাবে
= 10 × 10 × 10 × 10
= (10)⁴
= 10000 (উত্তর)।

তবে, এই অঙ্কের সমাধান নিয়ে যথেষ্ঠ বিতর্ক রয়েছে।
যেমন - ০০০০ কারোর টেলিফোন নাম্বার হতে পারে না।
সেক্ষেত্রে প্রকৃত সংযোগ হবে (10000 - 1) = 9999টি।

আবার,
ল্যান্ডফোনের বর্তমান নিয়ম অনুসারে, প্রথম অঙ্কটি 0 হয় না।
সেক্ষেত্রে, বাম দিকে 0 বাদে 9টি ডিজিট বসানো যাবে 9 উপায়ে।
তাহলে, মোট টেলিফোন সংযোগের সংখ্যা হবে 9 × 10 × 10 ×10 = 9000টি।

উত্তর নির্ভর করে প্রশ্নকর্তা কোনটি ধরে প্রশ্ন করবেন তার উপর।
সেক্ষেত্রে অপশন বিবেচনায় উত্তর করতে হবে।
আমাদের পরামর্শঃ
১. যদি অপশনে 9999 থাকে তবে এটি উত্তর করবেন।
২. যদি 9999 না থাকে; কিন্তু অপশনে 10000 ও 9000 দুটোই থাকে তাহলে 10000 উত্তর করবেন।
কেননা, সরকারি নির্দশনা থাকলে গাণিতিকভাবে প্রথমে 0 ব্যবহার করা যায়। তাই 10000 উত্তর হবে।
৩. 9999 ও 10000 কোনটিই অপশনে না থাকলে 9000 উত্তর করা যাবে।

নেকলেসে পাথর লাগানোর উপায় = (7 - 1)!/2 [(a - 1)!/2]
= 720/2
= 360

5টি বাহু থেকে প্রতিবার 4টি নিয়ে সমাবেশ সংখ্যা = ⁵c₄ = 5
যা নির্ণেয় চতুর্ভূজ সংখ্যা।

২টি দলের সমাবেশ থেকে একটি খেলা অনুষ্ঠিত হয়।
∴ মোট খেলা = ^৭c_২ 
= ২১

একজনকে সর্বদা বিদ্যমান রেখে ১১ সদস্যের দল গঠনের উপায়,
= ^{(১৫ - ১)}c_{(১১ - ১)}
= ^১৪c_১০
= ১০০১

২ জনকে সর্বদা বাদ দিয়ে ৪ জনের কমিটি গঠনের উপায়,
= ^{(১০ - ২)}c_৪
= ৭০

প্রতিক্ষেত্রে, ৩ জন পুরুষ ও ৩ জন মহিলা নিয়ে কমিটি গঠন করতে হবে।
এক্ষেত্রে কমিটি গঠন করার উপায়,
= ^৬c_৩ × ^৬c_৩
= ৪০০

শব্দটিতে 6টি অক্ষর আছে যাদের মধ্যে 3টি E প্রতিবার 4টি অক্ষর বাছাই করার ক্ষেত্রে-

(a) 3টি E অন্য একটি ভিন্ন বর্ণ।
(b) 2টি E অন্য 2টি ভিন্ন বর্ণ।
(c) সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন।

(a) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায়, 1 × ³c₁ = 3
(b) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায়, 1 × ³c₂ = 3
(c) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায়, ⁴c₄ = 1

∴ মোট উপায় = 3 + 3 + 1
= 7

কৌণিক বিন্দুর সংখ্যা = 10
2টি বিন্দুর সমাবেশ থেকে 1টি রেখা উৎপন্ন হয়।
∴ মোট রেখার সংখ্যা = ¹⁰c₂
= 45
এদের মধ্যে 10টি বহুভুজের বাহু।
∴ কর্ণের সংখ্যা = 45 - 10
= 35

ⁿc_{n - r}
= n!/{(n - r)! (n - n + r)!}
= n!/r!(n - r)!
= ⁿc_r