১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

সিলেবাস

"Award Mania: Season - 14” এর জন্য প্রযোজ্য
--------------------------------------------
বিষয়: গাণিতিক যুক্তি 
সিলেবাস: ১. বীজগাণিতিক সূত্রাবলি, বহুপদী উৎপাদক, সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ, সরল ও দ্বিপদী অসমতা, সরল সহসমীকরণ। ২. সূচক ও লগারিদম, সমান্তর ও গুণোত্তর অনুক্রম ও ধারা। ৩. সেট, বিন্যাস ও সমাবেশ, পরিসংখ্যান ও সম্ভাব্যতা।

প্রশ্ন দেখুন অনুশীলন

১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক] · তারিখ অনির্ধারিত · ২৫ প্রশ্ন

১.

(√3)^{2x + 2} = 27 হলে x এর মান কত?

ক
1
খ
5/2
গ
2
ঘ
7/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (√3)^{2x + 2} = 27 হলে x এর মান কত?

সমাধান:

(√3)^{2x + 2} = 27
⇒ (√3)^{2x + 2} = (3)³
⇒ (√3)^{2x + 2} = {(√3)²}³⇒ (√3)^{2x + 2} = (√3)⁶
⇒ 2x + 2 = 6
⇒ 2x = 6 - 2
⇒ 2x = 4
⇒ x = 4/2
⇒ x = 2

২.

একটি খামারে কিছু সংখ্যক মুরগি ও গরু রয়েছে। তাদের মাথার সংখ্যা ৬০ এবং মোট পায়ের সংখ্যা ১৭০ টি। খামারে কতগুলো মুরগি রয়েছে?

ক
১৫ টি
খ
২৫ টি
গ
৩০ টি
ঘ
৩৫ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি খামারে কিছু সংখ্যক মুরগি ও গরু রয়েছে। তাদের মাথার সংখ্যা ৬০ এবং মোট পায়ের সংখ্যা ১৭০ টি। খামারে কতগুলো মুরগি রয়েছে?

সমাধান:
যেহেতু গরু ও মুরগির একটি করে মাথা থাকে তাই গরু ও মুরগির মোট সংখ্যা হবে = ৬০

ধরি,
খামারে গরুর সংখ্যা = ক টি
মুরগির সংখ্যা = (৬০ - ক) টি

আমরা জানি,
গরুর পায়ের সংখ্যা = ৪ টি এবং মুরগির পায়ের সংখ্যা = ২ টি

প্রশ্নমতে,
৪ক + ২(৬০ - ক) = ১৭০
⇒ ৪ক + ১২০ - ২ক = ১৭০
⇒ ২ক + ১২০ = ১৭০
⇒ ২ক = ১৭০ - ১২০
⇒ ২ক = ৫০
⇒ ক = ৫০/২
⇒ ক = ২৫

∴ খামারে গরুর সংখ্যা = ২৫ টি
এবং মুরগির সংখ্যা = (৬০ - ২৫) = ৩৫ টি

৩.

|x + 2| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
S = {x ∈ R: - 5 < x < 7}
খ
S = {x ∈ R: 5 < x < - 5}
গ
S = {x ∈ R: - 9 < x < 5}
ঘ
S = {x ∈ R: 9 < x < - 5}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x + 2| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতাটি হলো,
|x + 2| < 7
⇒ - 7 < x + 2 < 7
⇒ (- 7 - 2) < (x + 2 - 2) < (7 - 2) [উভয়পক্ষে (- 2) যোগ করে]
⇒ - 9 < x < 5

∴ অসমতাটির সমাধান, S = {x ∈ R: - 9 < x < 5}

৪.

3 + 6 + 12 + ................. ধারাটির 11 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
2047
খ
3175
গ
4260
ঘ
6141

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + ................. ধারাটির 11 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারাটির,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2
পদসংখ্যা, n = 11

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
a × (rⁿ - 1)/(r - 1) [যেখানে, r > 1]

∴ 11 টি পদের সমষ্টি = 3 × (2¹¹ - 1)/(2 - 1)
= 3 × (2¹¹ - 1)
= 3 × (2048 - 1)
= 3 × 2047
= 6141

৫.

a² + 6a + 8 - y² + 2y রাশিটির একটি উৎপাদক কোনটি?

ক
(a + y - 2)
খ
(a - y + 4)
গ
(a - y + 2)
ঘ
(a + y + 4)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² + 6a + 8 - y² + 2y রাশিটির একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশিটি হলো ,
a² + 6a + 8 - y² + 2y
= a² + (2 × a × 3) + 3² - 1 - y² + 2y
= (a + 3)² - (y² - 2y +1)
= (a + 3)² - (y - 1)²
= (a + 3 + y - 1)(a + 3 - y + 1)
= (a + y + 2)(a - y + 4)

৬.

log₁₀(0.001) = ?

ক
2
খ
- 1/3
গ
- 3
ঘ
- 1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀(0.001) = ?

সমাধান:
log₁₀(0.001)
= log₁₀(1/1000)
= log₁₀(1/10³)
= log₁₀10^{- 3}
= - 3 log₁₀10
= - 3 [log₁₀10 = 1]

৭.

log8 + log64 + log512 +............ ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
25log8
খ
45log8
গ
55log8
ঘ
80log8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log8 + log64 + log512 +............ ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log 8 + log 64 + log 512 +...........
= log 8¹ + log 8²+ log 8³ +...........
= log 8 + 2 log 8 + 3 log 8 +...........
=( 1 + 2 + 3 +.....) log 8

এখন, 1 + 2 + 3 +..... ধারাটির 9 টি পদের সমষ্টি,
= n(n + 1)/2
= {9 × (9 + 1)}/2
= (9 × 10)/2
= 90/2
= 45

সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি = 45 log 8

৮.

A = {x ∈ N এবং 7 ≤ x < 11} এবং B = {x ∈ N এবং x মৌলিক সংখ্যা < 15} হলে (A - B) = ?

ক
{2, 7, 10}
খ
{2, 7}
গ
{8, 9, 10}
ঘ
{ }

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N এবং 7 ≤ x < 11} এবং B = {x ∈ N এবং x মৌলিক সংখ্যা < 15} হলে (A - B) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : 7 ≤ x < 11}
B = {x : x মৌলিক সংখ্যা < 15}

এখন,
A = {x : 7 ≤ x < 11}
= {7, 8, 9, 10}
এবং
B = {x : x মৌলিক সংখ্যা < 15}
= {2, 3, 5, 7, 11, 13}

A - B = {x : x ∈ A এবং x ∉ B}
= {7, 8, 9, 10} - {2, 3, 5, 7, 11, 13}
= {8, 9, 10}

৯.

৫২টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে নিরপেক্ষভাবে একটি তাস নির্বাচন করা হলো, তাসটি টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/১৩
খ
৮/১৩
গ
১০/১৩
ঘ
১২/১৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫২টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে নিরপেক্ষভাবে একটি তাস নির্বাচন করা হলো, তাসটি টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট তাস সংখ্যা = ৫২ টি
এর মধ্যে, টেক্কা = ৪ টি

∴ তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/৫২
= ১/১৩

∴ তাসটি টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/১৩)
= (১৩ - ১)/১৩
= ১২/১৩

১০.

যদি x - y = 4 এবং xy = 5 হয়, তবে x³ - y³ + 8(x + y)² এর মান কত?

ক
288
খ
344
গ
412
ঘ
448

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x - y = 4 এবং xy = 5 হয়, তবে x³ - y³ + 8(x + y)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 4
এবং xy = 5

∴ x³ - y³ + 8(x + y)²
= (x - y)³ + 3xy(x - y) + 8{(x - y)² + 4xy}
= (4)³ + (3 × 5 × 4) + 8{4² + (4 × 5)} [মান বসিয়ে]
= 64 + 60 + 8 × (16 + 20)
= 124 + (8 × 36)
= 124 + 288
= 412

১১.

(x^a/x^b)^{(a + b)} (x^b/x^c)^{(b + c)} (x^c/x^a)^{(c + a)} এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
- 1
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x^a/x^b)^{(a + b)} (x^b/x^c)^{(b + c)} (x^c/x^a)^{(c + a)} এর মান কত?

সমাধান:

১২.

একটি বয়েজ স্কুলের এসেম্বলিতে নবম শ্রেণির লাইনে জিসানের পেছনে যতজন ছাত্র দাঁড়িয়ে আছে সামনে তার থেকে ১২ জন বেশি দাঁড়িয়ে আছে। তার পেছনে যতজন দাঁড়িয়ে আছে সম্পূর্ণ লাইনে তার তিনগুন ছাত্র আছে। নবম শ্রেণির লাইনে কতজন ছাত্র আছে?

ক
২৫ জন
খ
৩৬ জন
গ
৩৯ জন
ঘ
৪৫ জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বয়েজ স্কুলের এসেম্বলিতে নবম শ্রেণির লাইনে জিসানের পেছনে যতজন ছাত্র দাঁড়িয়ে আছে সামনে তার থেকে ১২ জন বেশি দাঁড়িয়ে আছে। তার পেছনে যতজন দাঁড়িয়ে আছে সম্পূর্ণ লাইনে তার তিনগুন ছাত্র আছে। নবম শ্রেণির লাইনে কতজন ছাত্র আছে?

সমাধান:

ধরি,
জিসানের পেছনে আছে = ক জন
সামনে আছে = (ক + ১২) জন
জিসান সহ সম্পূর্ণ লাইনে আছে = (ক + ক + ১২ + ১) জন
= (২ক + ১৩) জন

প্রশ্নমতে,
২ক + ১৩ = ৩ক
⇒ ৩ক - ২ক = ১৩
⇒ ক = ১৩

∴ সম্পূর্ণ লাইনে ছাত্র আছে = (২ × ১৩ + ১৩) জন
= (২৬ + ১৩) জন
= ৩৯ জন

১৩.

3 - 2x ≤ 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
x ≥ 2
খ
x ≤ - 2
গ
x ≥ - 2
ঘ
x ≤ 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 - 2x ≤ 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতাটি,
3 - 2x ≤ 7
⇒ 3 - 2x - 3 ≤ 7 - 3 [প্রতিপক্ষে (- 3) যোগ করে]
⇒ - 2x ≤ 4
⇒ 2x ≥ - 4 [অসমতার উভয়পক্ষে ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুন করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তিত হয় ]
⇒ x ≥ - (4/2)
⇒ x ≥ - 2

১৪.

একটি গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ ৯ এবং তৃতীয় পদ ২৭ হলে ধারাটির কততম পদ ৭২৯?

ক
৫
খ
৬
গ
৭
ঘ
৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ ৯ এবং তৃতীয় পদ ২৭ হলে ধারাটির কততম পদ ৭২৯?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারাটির দ্বিতীয় পদ = ৯
তৃতীয় পদ = ২৭
সাধারণ অনুপাত, r = ২৭/৯ = ৩
∴ প্রথম পদ, a = (দ্বিতীয় পদ/সাধারণ অনুপাত) = ৯/৩ = ৩
n-তম পদ = ৭২৯

প্রশ্নমতে,
ar^{n - ১} = ৭২৯
⇒ ৩ × ৩^{n - ১} = ৭২৯
⇒ ৩^{n - ১} = ৭২৯/৩
⇒ ৩^{n - ১} = ২৪৩
⇒ ৩^{n - ১} = ৩^৫
⇒ n - ১ = ৫
⇒ n = ৫ + ১
⇒ n = ৬

১৫.

a³ - 9 + (a + 1)³রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

ক
(a + 1)(2a² - 5a + 8)
খ
(a - 1)(2a² + 5a - 8)
গ
(a - 1)(2a² + 5a + 8)
ঘ
(a + 1)(2a² - 5a - 8)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a³ - 9 + (a + 1)³রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:

a³ - 9 + (a + 1)³
a³ - 9 + a³ + 3a²+ 3a + 1
= 2a³ + 3a² + 3a - 8
= 2a³ - 2a² + 5a² - 5a + 8a - 8
= 2a²(a - 1) + 5a(a - 1) + 8(a - 1)
= (a - 1)(2a² + 5a + 8)

১৬.

log_a (ab) = c হলে log_b a = ?

ক
1
খ
1/c
গ
1/(c + 1)
ঘ
1/(c - 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_a (ab) = c হলে log_b a = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_a (ab) = c
⇒ log_a a + log_a b = c
⇒ 1 + log_a b = c
⇒ log_ab = c - 1
⇒ 1/log_ba = c - 1
⇒ log_b a = 1/(c - 1)

১৭.

2 + 4 + 6 + 8 +.................. ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 2550 হলে, n এর মান কত?

ক
49
খ
50
গ
51
ঘ
53

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 4 + 6 + 8 +.................. ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 2550 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 4 - 2 = 2

সমান্তর ধারার n-তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}

প্রশ্নমতে,
(n/2){2a + (n - 1)d} = 2550
⇒ (n/2){(2 × 2) + (n - 1)2} = 2550
⇒ (n/2)(4 + 2n - 2) = 2550
⇒ (n/2)(2n + 2) = 2550
⇒ (n/2) × 2(n + 1) = 2550
⇒ n(n + 1) - 2550 = 0
⇒ n² + n - 2550 = 0
⇒ n² + 51n - 50n - 2550 = 0
⇒ n(n + 51) - 50(n + 51) = 0
⇒ (n + 51)(n - 50) = 0
হয়, n + 51 = 0 অথবা n - 50 = 0
হয়, n = - 51 অথবা n = 50

যেহেতু পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই n = - 51 গ্রহণযোগ্য নয়।

∴ পদসংখ্যা, n = 50

১৮.

দুইটি সংখ্যার বিয়োগফল ২৫ এবং যোগফল বিয়োগফলের ৫ গুণ। সংখ্যা দুইটি কত?

ক
৬৩ এবং ৩৮
খ
৫০ এবং ২৫
গ
৭৫ এবং ৫০
ঘ
৬০ এবং ৩৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বিয়োগফল ২৫ এবং যোগফল বিয়োগফলের ৫ গুণ। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে ক এবং খ

প্রশ্নমতে,
ক - খ = ২৫ ........ (১)
এবং
ক + খ = ৫(ক - খ)
বা, ক + খ = ৫ক - ৫খ
বা, ৫ক - ক = খ + ৫খ
বা, ৪ক = ৬খ
বা, ক = ৬খ/৪
বা, ক = ৩খ/২ ......... (২)

ক এর মান (১) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
(৩খ/২) - খ = ২৫
বা, (৩খ - ২খ)/২ = ২৫
বা, খ = ৫০

খ এর মান (২) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
ক = ৩খ/২ = (৩ × ৫০)/২ = ৭৫

∴ সংখ্যা দুইটি হলো ৭৫ এবং ৫০

১৯.

A = {2, 3, 5} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

ক
3 টি
খ
7 টি
গ
8 টি
ঘ
9 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {2, 3, 5} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {2, 3, 5}

A সেটের উপাদান = 3 টি
∴ A এর প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1
= 2³ - 1
= 8 - 1
= 7 টি

২০.

10 টি বইয়ের মধ্য থেকে 5 টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 2 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে?

ক
42
খ
56
গ
84
ঘ
112

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 10 টি বইয়ের মধ্য থেকে 5 টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 2 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু 2 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে তাই মোট সংখ্যা হবে = (10 - 2) = 8 টি

এখন,
8 টি বইয়ের মধ্য থেকে 5 টি বই বাছাই করার উপায় সংখ্যা,
= ⁸C₅
= 8!/{5! × (8 - 5)!}
= 8!/(5! × 3!)
= (8 × 7 × 6 × 5!)/(5! × 3!)
= (8 × 7 × 6)/(3 × 2)
= 56

২১.

নিম্নোক্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?
4, 3, 2, 14, 8, 1, 11, 5, 9, 18, 7, 6, 8, 12, 17, 19, 16, 8, 13, 15

ক
3
খ
6
গ
7
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিম্নোক্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?
4, 3, 2, 14, 8, 1, 11, 5, 9, 18, 7, 6, 8, 12, 17, 19, 16, 8, 13, 15

সমাধান:
প্রথমে উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

এখানে উপাত্তগুলোর প্রচুরক হলো 8 কারণ 8 সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশিবার রয়েছে।

২২.

x² = √5x - 1 হলে x³ + (1/x)³ এর মান কত?

ক
2√5
খ
3√5
গ
4√5
ঘ
5√5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² = √5x - 1 হলে x³ + (1/x)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² = √5x - 1
⇒ (x²/x) = (√5x - 1)/x [উভয় পক্ষকে x দ্বারা ভাগ করে]
⇒ x = (√5x/x) - (1/x)
⇒ x = √5 - (1/x)
⇒ x + (1/x) = √5

∴ x³ + (1/x)³
= {x + (1/x)}³- 3x(1/x){x + (1/x)}
= (√5)³ - 3√5
= 5√5 - 3√5
= 2√5

২৩.

এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
1/2
ঘ
a^{(m + n)}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এর মান কত?

সমাধান:

২৪.

কোনো সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশ সংখ্যাটির এক-পঞ্চমাংশ অপেক্ষা ৬ বেশি হলে সংখ্যাটি কত?

ক
৩৫
খ
৪৫
গ
৬০
ঘ
৯০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশ সংখ্যাটির এক-পঞ্চমাংশ অপেক্ষা ৬ বেশি হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:

ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক/৩) - (ক/৫) = ৬
⇒ (৫ক - ৩ক)/১৫ = ৬
⇒ ২ক/১৫ = ৬
⇒২ক = ১৫ × ৬
⇒ ২ক = ৯০
⇒ ক = ৯০/২
⇒ ক = ৪৫

∴ সংখ্যাটি = ৪৫

২৫.

A ও B যথাক্রমে 36 ও 45 এর গুণনীয়ক সেট হলে, (A ∩ B) এর মান কত?

ক
{6, 9}
খ
{1, 3, 6 9}
গ
{ }
ঘ
{1, 3, 9}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A ও B যথাক্রমে 36 ও 45 এর গুণনীয়ক সেট হলে, (A ∩ B) এর মান কত?

সমাধান:

36 এর গুণনীয়ক = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
45 এর গুণনীয়ক = 1, 3, 5, 9, 15, 45
A = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
B = {1, 3, 5, 9, 15, 45}

∴ A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} ∩ {1, 3, 5, 9, 15, 45}
= {1, 3, 9}