শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: 2a + (2/a) = 6 হলে, a² + (1/a²) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2a + (2/a) = 6
বা, 2{a + (1/a)} = 6
বা, a + (1/a) = 6/2
∴ a + (1/a) = 3

এখন,
a² + (1/a²)
= a² + (1/a)²
= {a + (1/a)}² - {2 × a × (1/a)}
= 3² - 2
= 9 - 2
= 7

∴ a² + (1/a²) এর মান 7.

প্রশ্ন: a + b = 4 এবং ab = 3 হলে, a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 4
ab = 3

এখন,
a³ + b³
= (a + b)³ - {3ab × (a + b)}
= 4³ - {3 × 3 × 4}
= 64 - 36
= 28

∴ a³ + b³ এর মান 28.

প্রশ্ন: a³ + b³ = 144, a + b = 6 হলে, ab = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a³ + b³ = 144
a + b = 6

এখন,
a³ + b³ = (a + b)³ - {3ab × (a + b)}
বা, 144 = 6³ - (3ab × 6)
বা, 144 = 216 - 18ab
বা, 18ab = 216 - 144
বা, 18ab = 72
বা, ab = 72/18
∴ ab = 4

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 12a² + 7a - 10 এর একটি উৎপাদক? 

সমাধান:
12a² + 7a - 10
= 12a² + 15a - 8a - 10
= 3a(4a + 5) - 2(4a + 5)
= (4a + 5)(3a - 2)

প্রশ্ন: p = √3 + √2, 1/p = √3 - √2 হলে, (p⁶ - 1)/p³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p = √3 + √2
1/p = √3 - √2

∴ {p - (1/p)} = √3 + √2 - √3 + √2
= 2√2

এখন,
(p⁶ - 1)/p³
= (p⁶/p³) - (1/p³)
= p³ - (1/p³)
= {p - (1/p)}³ + [{3 × p × (1/p)} × {p - (1/p)}]
= (2√2)³ + (3 × 1 × 2√2)
= 16√2 + 6√2
= 22√2

∴ (p⁶ - 1)/p³ এর মান 22√2

প্রশ্ন: 16a² + 16a + 2 এর সাথে ন্যূনতম কত যোগ করলে এটি একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে? 

সমাধান:
16a² + 16a + 2 
= 16a² + 2 ⋅ 4a ⋅ 2 + 2 
= (4a)² + 2 ⋅ 4a ⋅ 2 + (2)² - 2
= (4a + 2)² - 2

অর্থাৎ, 16a2 + 16a + 2 এর সাথে ন্যূনতম 2 যোগ করলে এটি একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে। 

প্রশ্ন: a² - 2ab + 2b - 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো-

সমাধন:
a² - 2ab + 2b - 1
= a² - 1 - 2ab + 2b
= a² - 1² - 2ab + 2b
= (a + 1)(a - 1) - 2b(a - 1)
= (a - 1)(a + 1 - 2b)

প্রশ্ন: p² - (√5)p + 1 = 0 হয়, তবে p³ + (1/p³) এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p² - (√5)p + 1 = 0
বা, p² + 1 = (√5)p
বা, (p² + 1)/p = √5
বা, (p²/p) + (1/p) = √5
∴ p + (1/p) = √5 

এখন,
p³ + (1/p³)
= p³ + (1/p)³
= {p+ (1/p)}³ - [3 ⋅ p ⋅ (1/p) ⋅ {p + (1/p)}]
= (√5)³ - (3 ⋅ 1 ⋅ √5)
= 5√5 - 3√5
= 2√5

∴ p³ + (1/p³) এর মান 2√5

প্রশ্ন: ab + bc + ca = 31 এবং a² + b² + c² = 19 হলে, a + b + c = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ab + bc + ca = 31
a² + b² + c² = 19

এখন,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
বা, (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
বা, (a + b + c)² = 19 + (2 × 31)
বা, (a + b + c)² = 19 + 62
বা, (a + b + c)² = 81
বা, a + b + c = √81
∴ a + b + c = 9

প্রশ্ন: a - (1/a) = 2 হলে, a⁴ + (1/a⁴) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - (1/a) = 2

এখন,
a⁴ + (1/a⁴) = (a²)² + (1/a²)²
= {(a² + (1/a²)}² - 2 ⋅ a² ⋅ (1/a²)
= {(a² + (1/a²)}² - 2
= [{a - (1/a)}² + 2 ⋅ a ⋅ (1/a)]² - 2
= (2² + 2)² - 2
= 36 - 2
= 34

প্রশ্ন: a² + 7a + b যদি a - 5 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে b এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রদত্ত রাশি =  a² + 7a + b
যেহেতু, a - 5 প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক  
তাহলে, a - 5 = 0 বা, a = 5 বসালে প্রদত্ত রাশিটির মান 0 হবে।

ধরি,
f(a) = a² + 7a + b

∴ f(5) = 5² + (7 ⋅ 5) + b = 0
বা, 25 + 35 + b = 0
বা, 60 + b = 0
∴ b = - 60

∴ প্রদত্ত রাশিটি a - 5 দ্বারা বিভাজ্য হলে, b এর মান হবে (- 60). 

প্রশ্ন: x + y + z = 9 এবং x² + y² + z² = 29 হলে, (x - y)² + (y - z)² + (z - x)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y + z = 9
x² + y² + z² = 29

এখন,
(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²
= x² - 2xy + y² + y² - 2yz + z² + z² - 2zx + x² [∵ (a - b)² = a² - 2ab + b²]
= 2x² + 2y² + 2z² - 2xy - 2yz - 2zx
= 2(x² + y² + z²) - 2(xy + yz + zx)
= 2 ⋅ 29 - 2(xy + yz + zx)
= 2 ⋅ 29 - {(x + y + z)² - (x² + y² + z²)} [∵ 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)]
= 58 - (9² - 29)
= 58 - (81 - 29)
= 58 - 52
= 6

∴ (x - y)² + (y - z)² + (z - x)² এর মান 6

প্রশ্ন: x² = 11 + 2√30 হলে 1/x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x² = 11 + 2√30
x² = 6 +  2√30 + 5
x² = (√6)² + 2√6. √5 + (√5)²
x² = (√6 + √5)²
x = √6 + √5
1/x = 1/(√6 + √5)
1/x = (√6 - √5)/(√6 + √5)(√6 - √5)
1/x = (√6 - √5)/{(√6)² - (√5)²}
1/x =(√6 - √5)/(6 - 5)
1/x = (√6 - √5)/1
1/x = (√6 - √5)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি a³ - 6a² + 11a - 6 এর একটি উৎপাদক নয়? 

সমাধান:
a³ - 6a² + 11a - 6
= a³ - a² - 5a² + 5a + 6a - 6
= a²(a - 1) - 5a(a - 1) + 6(a - 1)
= (a - 1)(a² - 5a + 6)
= (a - 1) (a² - 3a - 2a + 6)
= (a - 1) {a(a - 3) - 2(a - 3)}
= (a - 1)(a - 2)(a - 3)

প্রশ্ন: 2a + 3b = 13 এবং ab = 6 হলে, 8a³ + 27b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2a + 3b = 13
ab = 6

এখন,
 8a³ + 27b³ 
= (2a)³ + (3b)³
= (2a + 3b)³ - 3 ⋅ 2a ⋅ 3b(2a + 3b)
= (2a + 3b)³ - 18ab(2a + 3b)
= 13³ - (18 ⋅ 6 ⋅ 13)
= 2197 - 1404
= 793

∴ 8a³ + 27b³ এর মান 793.

প্রশ্ন: 2a² + a - 15 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কত?

সমাধান:
2a² + a - 15
= 2a² + 6a - 5a - 15
= 2a(a + 3) - 5(a + 3)
= (a + 3)(2a - 5)

প্রশ্ন: a³ = 19 + b³ এবং (- b) = 1 - a হলে, ab = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a³ = 19 + b³
বা, a³ - b³ = 19

এবং
- b = 1 - a
বা, a - b = 1

এখন,
a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)
বা, 19 = (1)³ + 3 ⋅ ab ⋅ 1
বা, 19 = 1 + 3ab
বা, 3ab = 19 - 1
বা, ab = 18/3
∴ ab = 6

প্রশ্ন: a³ - a - 24 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(a) = a³ - a - 24
∴ f(3) = 3³ - 3 - 24
= 27 - 3 - 24
= 27 - 27
= 0

∴ (a - 3) প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।
এখন,
a³ - a - 24
= a³ - 3a² + 3a² - 9a + 8a - 24
= a²(a - 3) + 3a(a - 3) + 8(a - 3)
= (a - 3)(a² + 3a + 8)

প্রশ্ন: a² + 13a + 36 কে a + 4 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?  

সমাধান:
ধরি,
f(a) = a² + 13a + 36

∴ f(- 4) = (- 4)² + 13(-4) + 36
= 16 - 52 + 36
= 52 - 52
= 0

∴ ভাগশেষ 0 হবে। 

প্রশ্ন: a + b = 13 এবং a - b = 3 হলে, 2a² + 2b² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 13 
a - b = 3

এখন,
2a² + 2b²
= 2(a² + b²)
= {(a + b)² + (a - b)²} 
= (13² + 3²) 
= (169 + 9)
= 178

∴ 2a² + 2b²  এর মান 178

প্রশ্ন: 9a² + 18a - 40 এর একটি উৎপাদক (3a + 10) হলে, অপর উৎপাদকটি কত?

সমাধান:
9a² + 18a - 40
= 9a² + 30a - 12a - 40
= 3a(3a + 10) - 4(3a + 10)
= (3a + 10)(3a - 4)

∴ একটি উৎপাদক (3a + 10) হলে, অপর উৎপাদকটি হবে (3a - 4).

প্রশ্ন: p - √7 = - q এবং q = p - √5 হলে 2pq এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p - √7 = - q
বা, p + q = √7

এবং, q = p - √5
বা, √5 = p - q
বা, p - q = √5

এখন,
4pq = (p + q)² - (p - q)²
বা, 4pq = (√7)² - (√5)²
বা, 4pq = 7 - 5
বা, 4pq = 2
বা, 4pq/2 = 2/2 [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]
∴ 2pq = 1

প্রশ্ন: a⁴ + 1 = 3a² হলে, a + (1/a) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a⁴ + 1 = 3a²
বা, a²{a² + (1/a²)} = 3a²
বা, {a² + (1/a²)} = 3a²/a²
বা, {a² + (1/a²)} = 3 
বা, {a + (1/a)}² - 2 ⋅ a ⋅ (1/a) = 3
বা, {a + (1/a)}² - 2 = 3 
বা, {a + (1/a)}² = 3 + 2
বা, {a + (1/a)}² = 5
∴ a + (1/a) = √5

প্রশ্ন: a + b = m, a² + b² = n এবং a³ + b³ = p³ হয়, তাহলে m³ + 2p³ = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = m
a² + b² = n

এখন,
m³ + 2p³
= (a + b)³ + 2(a³ + b³)
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 2a³ + 2b³
= 3a³ + 3a²b + 3ab² + 3b³
= 3(a³ + a²b + ab² + b³)
= 3{a²(a + b) + b²(a + b)}
= 3(a + b)(a²+b²)
= 3 ⋅ m ⋅ n
= 3mn

প্রশ্ন: (1/a) + (1/b) = 3, (1/a²) - (1/b²) = 9 হলে, (1/a) - (1/b) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(1/a) + (1/b) = 3
(1/a²) - (1/b²) = 9

এখন,
(1/a)² - (1/b)² = {(1/a) + (1/b)} {(1/a) - (1/b)}
বা, 9 = 3{(1/a) - (1/b)}
বা, 3{(1/a) - (1/b)} = 9
বা, (1/a) - (1/b) = 9/3
∴ (1/a) - (1/b) = 3

প্রশ্ন: x⁸ - 5x⁴ - 14 = কত?

সমাধান:
x⁸ - 5x⁴ - 14
= x⁸ - 7x⁴ + 2x⁴ - 14
= x⁴(x⁴ - 7) + 2(x⁴ - 7)
= (x⁴ - 7)(x⁴ + 2)