ডেইলি কুইজ [১৪০ দিনের রুটিনের অংশ]

প্রশ্ন: 'COMPUTER' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি ব্যঞ্জনবর্ণ থাকে?

সমাধান: 
COMPUTER - শব্দটিতে মোট 8টি বিভিন্ন বর্ণ আছে যাদের মধ্যে 3টি স্বরবর্ণ এবং 5টি ব্যঞ্জনবর্ণ।

শব্দের ১ম শূণ্যস্থানটি ব্যঞ্জনবর্ণ দিয়ে পূর্ণ করার উপায় = ⁵P₁ = 5

অবশিষ্ট ছয়টি শূণ্যস্থান পূর্ণ করা যায় 7! = 5040 উপায়ে।

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 5040 × 5
= 25200 উপায়ে

প্রশ্ন: ১৭, ৯, ১৬, ৫, ২০, ৮, ২৫, ১২, ২১, ২৩, ১০ এই উপাত্তগুলোর মধ্যক-

সমাধান:
এখানে,
n = ১১টি উপাত্ত আছে।

উপাত্তগুলোকে ছোট থেকে বড় আকারে সাজিয়ে পাই,
৫, ৮, ৯, ১০, ১২, ১৬, ১৭, ২০, ২১, ২৩, ২৫

আমরা জানি,
বিজোড় সংখ্যক সংখ্যার মধ্যক = (n + ১)/২ তমপদ

∴ মধ্যক = (১১ + ১)/২ তমপদ
= ৬ তমপদ
= ১৬

প্রশ্ন: কোনো একটি অফিসে জরিপ করে দেখা গেল 5 জন প্রথম আলো, 3 জন ভোরের কাগজ, 7 জন জনকণ্ঠ, 6 জন যুগান্তর পত্রিকা পড়ে। এদের মধ্য হতে একজনকে দৈবভাবে নির্বাচন করলে তিনি যুগান্তর পত্রিকা পড়েন এমন হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এখানে পত্রিকা পড়েন মোট = (5 + 3 + 7 + 6) = 21 জন।
যুগান্তর পত্রিকা পড়েন = 6 জন

∴ ঐ ব্যক্তির যুগান্তর পত্রিকা পড়ার সম্ভাবনা = 6/21
= 2/7

প্রশ্ন: A = {x : x, 20 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x : x, 5 এর গুণিতক এবং x ≤ 20} হলে A\B = কত?

সমাধান:
এখানে,
A = {x : x, 20 এর গুণনীয়কসমূহ}
20 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 4, 5, 10, 20
∴ A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

B = {x : x, 5 এর গুনিতক এবং x ≤ 20}
3 এর গুনিতক 5, 10, 15, 20, ....
∴ B = {5, 10, 15, 20}

∴ A\B = {1, 2, 4, 5, 10, 20}\{5, 10, 15, 20}
= {1, 2, 4}

প্রশ্ন: একটি গাড়িতে 2টি সামনের ও 3টি পেছনের সিট আছে। 5 জন যাত্রী মোট কতভাবে বসতে পারে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট যাত্রী = 5 জন
সামনের সিট = 2টি
পেছনের সিট = 3টি

∴ 5 জন থেকে 2 জন বেছে নেওয়ার উপায় = ⁵P₂
= 5!/(5 - 2)!
= (5 × 4 × 3!)/3!
= 20

বাকি 3 জনকে পেছনের 3 সিটে বসানোর উপায় = 3! = 6

∴ মোট বসানোর উপায় = 20 × 6 = 120

প্রশ্ন: একটি ছক্কাকে একবার নিক্ষেপ করা হলে, 2 এর গুণিতক পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কায় মোট সংখ্যা আছে = 6 টি
ছক্কায় 2 এর গুণিতকগুলো হলো = {2, 4, 6}
2 এর গুণিতক আছে = 3 টি

∴ 2 এর গুণিতক পাওয়ার সম্ভাবনা = 3/6
= 1/2

প্রশ্ন: ৬০, ৩১, ১৯, ২৩, ২৫, ৬৪, ৫২ উপাত্ত গুলোর পরিসর কত?

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের সর্বনিম্ন সংখ্যা = ১৯ 
প্রদত্ত তথ্যের সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৬৪ 

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ সংখ্যা - সর্বনিম্ন সংখ্যা) + ১
= (৬৪ - ১৯) + ১
= ৪৫ + ১
= ৪৬

প্রশ্ন: একটি বিজ্ঞান মেলায় ১০ জন শিক্ষার্থী অংশ নিচ্ছে। তাদের মধ্যে থেকে একজনকে প্রজেক্ট উপস্থাপক এবং একজনকে সহকারী উপস্থাপক হিসাবে নির্বাচন করতে হবে। কতভাবে এই নির্বাচন করা যেতে পারে?

সমাধান:
১০ জন শিক্ষার্থী থেকে প্রজেক্ট উপস্থাপক নির্বাচন করার উপায় = ^১০C_১ = ১০
বাকি (১০ - ১) = ৯ জন শিক্ষার্থী থেকে সহকারী উপস্থাপক নির্বাচন করার উপায় = ^৯C_১ = ৯

∴ মোট বাছাই করার উপায় = ১০ × ৯ = ৯০

∴ ৯০ উপায়ে নির্বাচন করা যাবে।

প্রশ্ন: ৮০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ৬৬ জন ইংরেজি, ৬০ জন গণিতে এবং ৫০ জন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
মোট শিক্ষার্থী = ৮০
ইংরেজিতে পাশ করেছেন = ৬৬
গণিতে পাশ করেছেন = ৬০
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = ৫০

∴ শুধু ইংরেজিতে পাশ = (৬৬ - ৫০) জন = ১৬ জন
∴ শুধু গণিতে পাশ = (৬০ - ৫০) জন = ১০ জন

সুতরাং কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ করেছে = (১৬ + ১০ + ৫০) জন
= ৭৬ জন

∴ উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (৮০ - ৭৬) জন
= ৪ জন

প্রশ্ন: 7 জনকে একটি গোল টেবিলে বসাতে হবে, তবে 3 জন বন্ধু সবসময় পাশাপাশি বসবেন। কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
3 জন বন্ধু একত্রে থাকলে তাদেরকে একটি ইউনিট হিসেবে ধরলে মোট সংখ্যা = (1 + 4) জন
= 5 জন

আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)!

∴ 5 জনকে গোল টেবিলে বসানো যাবে = (5 - 1)!
= 4!
= 24 উপায়ে

আবার,
3 বন্ধু নিজেদের মধ্যে বসবে = 3! = 6 উপায়ে

∴ মোট বসার উপায় = 24 × 6
= 144

প্রশ্ন: প্রথম পাঁচটি বিজোড় সংখ্যার পরিমিত ব্যবধান-

সমাধান:
১ম পাঁচটি বিজোড় সংখ্যা = ১, ৩, ৫, ৭, ৯
∴ সংখ্যাগুলোর গড় = (১ + ৩ + ৫ + ৭ + ৯)/৫ = ৫

আমরা জানি,
পরিমিত ব্যবধান = √[{(৫ - ১)^২ + (৫ - ৩)^২ + (৫ - ৫)^২ + (৫ - ৭)^২ + (৫ - ৯)^২}/৫]
= √{(১৬ + ৪ + ০ + ৪ + ১৬)/৫}
= √(৪০/৫)
= √৮
= √(৪ × ২)
= ২√২

প্রশ্ন: নিশাতের ৫ জন সহপাঠী আছে যারা সবাই গান গাইতে জানে। সে তাদের মধ্যে থেকে এক বা একাধিক জনকে নিয়ে একটি ব্যান্ড দল গঠন করতে চায়। নিশাত কতভাবে এই ব্যান্ড দল গঠন করতে পারে?

সমাধান: 
মোট সদস্য = ৫ জন
নিশাত চাইছে, এক বা একাধিক বন্ধুকে নিয়ে ব্যান্ড গঠন করতে।
অর্থাৎ, সে ১ জন, ২ জন, ৩ জন, ৪ জন, অথবা ৫ জনকেও নিতে পারে।

১ জন নেওয়ার উপায় = ^৫C_১
২ জন নেওয়ার উপায় = ^৫C_২
৩ জন নেওয়ার উপায় = ^৫C_৩
৪ জন নেওয়ার উপায় = ^৫C_৪
৫ জন নেওয়ার উপায় = ^৫C_৫
 
∴ মোট উপায় সংখ্যা = ^৫C_১ + ^৫C_২+ ^৫C_৩ + ^৫C_৪ + ^৫C_৫
= ৫ + ১০ + ১০ + ৫ + ১
= ৩১

প্রশ্ন: A = Ø, B = {a}, C = {a, b} সেট তিনটির শক্তি সেটগুলোর উপাদান সংখ্যার সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = Ø
∴ P(A) = {0}
A সেটের উপাদান সংখ্যা শূন্য এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 2⁰ = 1

আবার,
B = {a}
∴ P(B) = {{a}, 0}
∴ B সেটের উপাদান সংখ্যা 1 এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা  = 2¹ = 2

এবং
C = {a, b}
∴ P(C) = {{a}, {b}, {a, b}, 0}
∴ C সেটের উপাদান সংখ্যা 2 এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 2² = 4 

∴ সেট তিনটির শক্তি সেটগুলোর উপাদান সংখ্যার সমষ্টি = 1 + 2 + 4 = 7

প্রশ্ন: 0, 2, 4, 6, 8 অঙ্কগুলো প্রতি সংখ্যায় একবার ব্যবহার করে অর্থপূর্ণ পাঁচ অঙ্কের কয়টি সংখ্যা গঠন করা যায়?

সমাধান:
এখানে,
0, 2, 4, 6, 8 মোট পাঁচটি অঙ্ক আছে।
সবগুলো অঙ্ক নিয়ে সংখ্যা তৈরির মোট উপায় = 5! = 120

কিন্তু প্রথম অঙ্কটি 0 হলে সংখ্যাটি অর্থপূর্ণ পাঁচ অঙ্কের হয় না
এরূপ সংখ্যা গঠিত হয় = 4! = 24 উপায়ে

∴ মোট গঠিত সংখ্যা = (120 - 24) = 96 উপায়ে

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ১৫ জন ছাত্রের গড় বয়স ১৪ বছর। পরে ৫ জন নতুন ছাত্র আসলো, যাদের গড় বয়স ১৮ বছর। এখন তাদের গড় বয়স কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১৫ জন ছাত্রের গড় বয়স = ১৪ বছর
∴ ১৫ জন ছাত্রের মোট বয়স = (১৪ × ১৫) = ২১০ বছর

আবার,
৫ জন নতুন ছাত্রের গড় বয়স = ১৮ বছর
৫ জন নতুন ছাত্রের মোট বয়স = (১৮ × ৫) = ৯০ বছর

∴ (১৫ + ৫) = ২০ ছাত্রের মোট বয়স = (২১০ + ৯০) = ৩০০ বছর

∴ ২০ ছাত্রের গড় বয়স = (৩০০ ÷ ২০) বছর
= ১৫ বছর

প্রশ্ন: একটি সভায় প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করে করমর্দন করায় 78 টি করমর্দন হলো। সভায় মোট কতজন লোক ছিল?

সমাধান:
আমরা জানি,
করমর্দন দুইজনের মাঝে সংঘটিত হয়।

ধরি,
সভায় লোকের সংখ্যা n জন

∴ ⁿC₂ = 78
⇒ n!/{2! ×(n - 2)!} = 78
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{2! ×(n - 2)!} = 78
⇒ n(n - 1)/2 = 78
⇒ n² - n = 156
⇒ n² - n - 156 = 0
⇒ n² - 13n + 12n - 156 = 0
⇒ n(n - 13) + 12(n - 13) = 0
⇒ (n - 13)(n + 12) = 0
⇒ n - 13 = 0 অথবা n + 12 = 0
∴ n = 13 অথবা n = - 12
ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ n = 13

∴ সভায় মোট লোক ছিল 13 জন।

প্রশ্ন: 3 টি পোস্ট বাক্সে 5 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা n = 3 টি
চিঠির সংখ্যা r = 5 টি

∴ চিঠি ফেলা যায় = n^r = 3⁵ = 243 টি উপায়ে