৫১তম বিসিএস ফাইনাল মডেল টেস্ট ও রিভিশন

প্রশ্ন: i + i² + i³ + i⁴ =?

সমাধান:
জটিল সংখ্যার বিভিন্ন মানসমূহ-
• i = √(-1)
• i² = - 1
• i³ = - i
• i⁴ = 1

এখন,
i + i² + i³ + i⁴
= i + (- 1) + (- i) + 1
= i - 1 - i + 1
= 0

প্রশ্ন: x² - 6x + 5 = 0 হলে, (x - 3)² এর মান কত? 

সমাধান: 
x² - 6x + 5 = 0
⇒ x² - 6x + 3² - 9 + 5 = 0
⇒ (x - 3)² - 4 = 0
∴ (x - 3)² = 4

প্রশ্ন: রনি কিছু মূলধন ব্যাংকে সরল সুদে বিনিয়োগ করে, যা ২ বছরে সুদাসলে ২৪০ টাকা হয়। সে আরও ৩ বছর অপেক্ষা করে এবং সুদাসলে ৩০০ টাকা পায়। শুরুতে সে কি পরিমাণ বিনিয়োগ করেছিল? 

সমাধান:
৩ বছরে সুদ = ৩০০ - ২৪০ টাকা
= ৬০ টাকা 
১ বছরে সুদ ৬০/৩ টাকা
= ২০ টাকা
২ বছরে সুদ (২০ × ২) টাকা
= ৪০ টাকা 

আসল (২৪০ - ৪০) টাকা 
= ২০০ টাকা 

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকার প্রিজমের ভূমির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3, 4 ও 5 সে.মি. এবং উচ্চতা 8 সে.মি.। ইহার  আয়তন কত?

সমাধান: প্রিজমের ভূমির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3, 4 ও 5 সে.মি.
যেহেতু 3² + 4² = 5², ইহার ভূমি একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ক্ষেত্রফল = (1/2) × 4 × 3 = 6 বর্গ সে.মি.

সুতরাং, প্রিজমটির  আয়তন = 6 × 8 = 48 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: 2x + 3y = 13 এবং x - y = 4 হলে, (x, y)=?

সমাধান: 
2x + 3y = 13

x - y = 4
⇒ 3x - 3y = 12

2x + 3y + 3x - 3y = 13 + 12
⇒ 5x = 25 
∴ x = 5 

5 - y = 4
⇒  y = 5 - 4
= 1

∴ (x, y) = (5, 1)

প্রশ্ন:



সমাধান: 
প্রথম পদ a = 8 
সাধারণ অনুপাত r = 2/8 = 1/4 


অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r) 
= 8/1 - (1/4)
= 8/3/4
= 32/3 

প্রশ্ন: 


সমাধান:

প্রশ্ন: কোন শ্রেণীতে যতজন শিক্ষার্থী তাদের প্রত্যেকে ততটি করে ২০ টাকা চাঁদা দেয়াতে ৫০,০০০ টাকা সংগৃহীত হলো। উক্ত শ্রেণীর শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

সমাধান: 
ধরি, শিক্ষার্থী সংখ্যা x  জন। 
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় 20x টাকা 

প্রশ্নমতে, 
x × 20x = 50000 
⇒ 20x² = 50000
⇒ x² = 50000/20 = 2500 
⇒ x = √2500 = 50 

∴ শিক্ষার্থী সংখ্যা ৫০  জন।

প্রশ্ন: z₁ = 4 + i এবং z₂ = 2 + 3i হলে, z₁ - z₂ এর মডুলাস কত? 

সমাধান:
 z1 - z2 = 4 + i - 2 - 3i 
= 2 - 2i

z1 - z2 এর মডুলাস = ।z1 - z2। 
= √{2² + (-2)²}
=  √8 
= 2√2

প্রশ্ন: খাইরুল ৩০০০০ টাকা দুটি অংশে ভাগ করে ব্যাংকে ৮% হারে ৫ বছরের জন্য এবং পোস্ট অফিসে ১০% হারে এমনভাবে রাখলেন যে, মেয়াদ শেষে সুদে আসলে সমান টাকা পাবেন। তিনি যদি ব্যাংকে ১৬০০০ টাকা রাখেন, তবে পোস্ট অফিসে কয় বছরের জন্য টাকা রেখেছিলেন?

সমাধান: 
সমাধান:
ব্যাংক থেকে সুদ পান = ১৬০০০ × ৫ × ৮/১০০
= ৬৪০০ টাকা
সুদে-আসলে পান = ১৬০০০ + ৬৪০০ টাকা
= ২২৪০০ টাকা

ধরি, পোস্ট অফিসে n বছরের জন্য (৩০০০০ - ১৬০০০) বা ১৪০০০ টাকা রেখেছিলেন।
প্রশ্নমতে,
১৪০০০ + (১৪০০০× n × ১০/১০০) = ২২৪০০
⇒ ১৪০০০ × n × ১/১০ = ২২৪০০ - ১৪০০০ = ৮৪০০
⇒ ১৪০০ × n = ৮৪০০
∴ n = ৬


অতএব, পোস্ট অফিসে ৬ বছরের জন্য টাকা রেখেছিলেন

প্রশ্ন: নিচের কোন উপাত্তসমূহের গড়, মধ্যক, প্রচুরক একই? 

সমাধান:
৪, ৩, ৪, ৩, ৪, ৬, ৪ এর গড় = (৪ + ৩ + ৪ + ৩ + ৪ + ৬ + ৪)/ ৭ 
= ২৮/৭ 
= ৪ 

প্রচুরক = ৪ 

উর্ধ্ব ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই, ৩, ৩, ৪, ৪, ৪, ৪, ৬ 
মধ্যক = ৪ 

প্রশ্ন: AB ও CD রেখাদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে। ∠AOC = 4x - 16 এবং ∠BOC = 2(x + 20) হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 

∠AOC + ∠BOC = 180°
⇒ 4x - 16 + 2(x + 20) = 180°
⇒ 4x - 16 + 2x + 40 = 180°
⇒ 6x + 24 = 180°
⇒ 6x = 180 - 24 = 156
⇒ x = 26°

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীদের ৬৮% উত্তীর্ণ হল। যদি আরও ১৪ জন বেশি পাশ করত তাহলে পাশের হার ৭৫% হতো। কতজন পরীক্ষায় অনুত্তীর্ণ হয়েছে? 

সমাধান: 
ধরি, পরিক্ষার্থীদের সংখ্যা  ক জন

উত্তীর্ণ হয়েছে = ক × ৬৮/১০০ 
= ১৭ক/২৫

প্রশ্নমতে,
(১৭ক/২৫) + ১৪ = ৭৫ক/১০০ = ৩ক/৪
⇒  ৭ক/১০০ = ১৪
∴ ক = ২০০ জন

পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়েছে = ২০০ × ৬৮/১০০
= ১৩৬ জন

অনুত্তীর্ণ হয়েছে = ২০০ - ১৩৬ জন 
= ৬৪ জন

প্রশ্ন: দুটি ট্রেনের গতিবেগের অনুপাত ৭ : ৮। যদি প্রথম ট্রেনটি ৩ ঘণ্টায় ২৩১ কি.মি. যায়। তাহলে, দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ কত? 

সমাধান:  
দেয়া আছে 
দুটি ট্রেনের গতিবেগের = ৭ : ৮

ধরি 
১ম ট্রেনের গতিবেগ = ৭ক 
২য় ট্রেনের গতিবেগ = ৮ক 

আবার 
১ম ট্রেনের গতিবেগ = ২৩১/৩কি.মি./ঘণ্টা
= ৭৭ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্নমতে 
৭ক = ৭৭
ক = ১১

২য় ট্রেনের গতিবেগ = (৮ × ১১) কি.মি./ঘণ্টা
= ৮৮  কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যাকে প্রথমে ১০% বৃদ্ধি করা হল। তারপর ১০% হ্রাস করা হল। সামগ্রিকভাবে, সংখ্যাটির শতকরা কত হ্রাস বা বৃদ্ধি পেয়েছে? 

সমাধান: 
ধরি, সংখ্যাটি ১০০
১০% বৃদ্ধিতে, সংখ্যাটি = ১০০ + ১০০ এর ১০%
= ১০০ + ১০০ × ১০/১০০
= ১০০ + ১০
= ১১০ টাকা

১০% হ্রাসে সংখ্যা = ১১০ - ১১০ এর ১০%
= ১১০ - ১১০ × ১০/১০০
= ১১০ - ১১
= ৯৯ 

সংখ্যাটি ১ হ্রাস পেয়েছে। 
শতকরা হ্রাস পেয়েছে = ১%

প্রশ্ন: একজন বোলার গড়ে ২০ রান দিয়ে ১০ উইকেট পান। পরবর্তী খেলায় গড়ে ৬ রান দিয়ে ৪ টি উইকেট পান। তিনি গড়ে উইকেট প্রতি কত রান দিয়েছেন?

সমাধান:
একজন বোলার গড়ে ২০ রান দিয়ে ১০ উইকেট পান
মোট রান দিয়েছেন = (২০ × ১০)
= ২০০ রান

পরবর্তী খেলায় গড়ে ৬ রান দিয়ে ৪ টি উইকেট পান।
মোট রান = (৬ ×৪) = ২৪ রান

∴ তিনি গড়ে উইকেট প্রতি  রান দিয়েছেন = (২০০ + ২৪)/(১০ + ৪)
= ২২৪/১৪
= ১৬

প্রশ্ন: f(x) = x² + 3x + 1 এবং g(x) = 2x - 3 হলে (gof)(2) এর মান কত? 

সমাধান: 
(gof)(2) = g(f(2))

f(2) = 2² + 3 × 2 + 1
= 4 + 6 + 1 
= 11 

g(11) = 2 × 11 - 3 
= 22 - 3 
= 19

প্রশ্ন: a³ - a² কে a - 2 দ্বারা ভাগ করলে কত অবশিষ্ট থাকবে? 

সমাধান: 

প্রশ্ন: যদি ‘ক’ কে ৮ দ্বারা ভাগ করার পর ভাগশেষ ৫ হয়, তাহলে নিচের কোন সংখ্যাটি জোড় নয়?

সমাধান: 
ক = ৮n + ৫ ; যেখানে n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা। 
৮n জোড় সংখ্যা। 
∴ ক বিজোড় সংখ্যা, যেহেতু জোড় সংখ্যা + বিজোড় সংখ্যা = বিজোড় সংখ্যা

ক + ৩ জোড় সংখ্যা। কারণ বিজোড় সংখ্যা + বিজোড় সংখ্যা = জোড় সংখ্যা
ক - ৩ জোড় সংখ্যা। 
৩ক + ১ জোড় সংখ্যা। 

৫ক + ২ বিজোড় সংখ্যা কারণ বিজোড় + জোড় = বিজোড় সংখ্যা। 

প্রশ্ন: 9^x + 9^x + 9^x এর মান নিচের কোনটি? 

সমাধান:
9^x + 9^x + 9^x
= 3×9^x
= 3.3^2x
= 3 ^{2x + 1}

প্রশ্ন: নিচের কোনটি x² - y² - 2y - 1 এর উৎপাদক?

সমাধান:
x² - y² - 2y - 1
= x² - (y² + 2y + 1)
= x² - (y + 1)²
= (x + y + 1) (x - y - 1)

প্রশ্ন: ৪/৫, ৮/১৫, ২/৩ ভগ্নাংশগুলোর গ. সা. গু কত? 

সমাধান: 
ভগ্নাংশগুলোর লব ৪, ৮, ২ এর গ. সা. গু = ২
ভগ্নাংশগুলোর হর ৫, ১৫, ৩ এর ল. সা. গু = ১৫
ভগ্নাংশগুলোর গ. সা. গু = ভগ্নাংশগুলোর লবগুলোর এর গ. সা. গু / ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর ল. সা. গু
= ২/১৫

প্রশ্ন: 5 - 5 + 5 - 5 + ............. ধারাটির (2n + 4) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধরি 
১ম পদ = 5
সাধারণ অনুপাত r = - 5/5 = - 1 

গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি a(1 - rⁿ)/(1- r)
গুণোত্তর ধারার (2n + 4) সংখ্যক পদের সমষ্টি 
= 5{1 - (- 1)(2n + 4)}/{1 - (- 1)}
= 5{1 - 1}/{1 + 1}
= 5 × 0/2
= 0/2
= 0

প্রশ্ন: কোনো ছাত্রাবাসে ৩৬ জন ছাত্রের ২৪ দিনের খাদ্য আছে। কয়েকজন নতুন ছাত্র আসায় ১৮ দিনে ঐ খাদ্য শেষ হলে নতুন ছাত্রের সংখ্যা কত? 

সমাধান:
২৪ দিনের খাবার আছে ৩৬জন ছাত্রের 
∴ ১ দিনের খাবার আছে (৩৬ × ২৪) জন ছাত্রের 
∴ ১৮ দিনের খাবার আছে (৩৬ × ২৪)/১৮ জন ছাত্রের = ৪৮ জনের 

∴ নতুন ছাত্রের সংখ্যা = (৪৮ - ৩৬ ) জন = ১২ জন 

প্রশ্ন: 4x² + (1/x²) = 2 হলে, 8x³ + (1/x³) এর মান কত? 

সমাধান: 
4x²+ (1/x²) = 2
⇒ (2x)² + (1/x²) = 2
⇒ (2x + 1/x)² - 4 = 2
⇒ (2x + 1/x)² = 6
∴ (2x + 1/x) = √6

8x³ + (1/x³)
= (2x)³ + (1/x)³
= (2x + 1/x) (4x² - 2x.1/x + 1/x²)
= √6 (2 - 2)
= √6.0
= 0

প্রশ্ন: কোন ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য ৪√২ সেমি হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
মনে করি, ঘনকের ধার, a সে.মি. 
ঘনকটির পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২ক সে.মি.   

প্রশ্নানুসারে,
√২ক = ৪√২
∴ ক = ৪
ঘনকের ধার ৪ সে.মি. 

আয়তন = a^৩
= ৪^৩
= ৬৪ ঘনসে.মি. 

প্রশ্ন: x² - 4x - 1 = 0 হলে, x² + (1/x²) + 3x - (3/x) =?

সমাধান: 
x² - 4x - 1 = 0
⇒ x² - 1 = 4x 
⇒ (x² - 1)/x = 4x/x
∴ x - (1/x) = 4

x² + (1/x²) + 3x - (3/x) 
= (x - 1/x)² + 2.x.1/x + 3(x - 1/x)
= 4² + 2 + 3 × 4
= 16 + 2 + 12
= 30

প্রশ্ন: 5, 6, 7, 6 তথ্যসারির ভেদাঙ্ক কত?

সমাধান: 
এখানে, তথ্য সংখ্যা, n = 4
গাণিতিক গড় = (5 + 6 + 7 + 6)/4
= 24/4
= 6

ভেদাঙ্ক = {(5 - 6)² + (6 - 6)² + (7 - 6)² + (6 - 6)²}/4
= (1 + 0 + 1 + 0)/4
= 2/4
= 1/2
= 0.5

প্রশ্ন: x + y = 7 এবং xy = 12 হলে, (1/x²) + (1/y²) এর মান কত? 

সমাধান: 
(1/x²) + (1/y²)
= (x² + y²)/x²y²
= {(x + y)² - 2xy}/(xy)²
= {7² - (2 × 12)}/12²
= (49 - 24)/144
= 25/144

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে ১৫টি সাদা ও ১০টি কালো রঙের বল আছে। ঐ ব্যাগ থেকে দৈবভাবে দুটি বল পরপর উঠিয়ে নিলে প্রতিবারে দুটি ভিন্ন রঙের বল হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান:
কালো বল = ১০টি 
সাদা বল = ১৫টি 
মোট বল = ১০ + ১৫ = ২৫টি 

প্রথম বলটি সাদা ও দ্বিতীয় বলটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা  = (১৫/২৫) × (১০/২৪) = ১/৪
প্রথম বলটি কালো ও দ্বিতীয় বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = (১০/২৫) × (১৫/২৪) = ১/৪

নির্ণেয় সম্ভাবনা = (১/৪) + (১/৪)
= (১ + ১)/৪
= ২/৪
= ১/২

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। একটি নল দ্বারা চৌবাচ্চা পূর্ণ হয় ১০ মিনিটে এবং অপরটি দ্বারা পূর্ণ হয় ১৫ মিনিটে। নল দুটি একত্রে খোলা থাকলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে? 

সমাধান: 
১ম নল দ্বারা,
১ মিনিটে পূর্ণ হয় ১/১০ অংশ

২য় নল দ্বারা,
১ মিনিটে পূর্ণ হয় ১/১৫ অংশ 

১ম ও ২য় নল একত্রে ১ মিনিটে পূর্ণ করে= (১/১০ + ১/১৫) অংশ
= (৩ + ২)/৩০ অংশ
= ৫/৩০ অংশ 
= ১/৬ অংশ

১ম ও ২য় নল একত্রে সম্পূর্ণ চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করবে ৬ মিনিটে