৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: যদি sin θ = 1 হয়, তবে θ এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
আমরা জানি —
sin θ এর সর্বোচ্চ মান হলো 1  । 

এখন,
ত্রিকোণমিতির মান অনুসারে-
sin 0° = 0
sin 30° = 1/2
sin 90° = 1
sin 180° = 0 

অতএব, sin θ = 1 হয় কেবল যখন θ এর মান = 90° হয়।

প্রশ্ন: কোন বিন্দুটি x-অক্ষের উপর অবস্থিত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
x-অক্ষের উপর থাকা কোনো বিন্দুর y-সমন্বয় (y-coordinate) শূন্য হবে। 
অর্থাৎ, বিন্দুটি (x, 0) ফর্মে থাকবে। 

এবার অপশন টেস্ট করে পাই, প্রতিটির y-সমন্বয়: 
ক) (3, 4) → y = 4 (শূন্য নয়) → x-অক্ষের উপর নেই। 
খ) (0, 7) → y = 7 (শূন্য নয়) → x-অক্ষের উপর নেই। 
গ) (5, 0) → y = 0 → x-অক্ষের উপর আছে। 
ঘ) (−2, −3) → y = −3 (শূন্য নয়) → x-অক্ষের উপর নেই। 

সুতরাং, কেবল (5, 0) বিন্দুটিই x-অক্ষের উপর অবস্থিত।

প্রশ্ন: সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ 2 সে.মি. এবং উচ্চতা 6 সে.মি. হলে সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ, r = 2 সে.মি এবং 
সিলিন্ডারের ভূমির উচ্চতা, h = 6 সে.মি

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh 
=  2 π × 2 × 6
= 24π

∴ সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 24π বর্গ সে.মি।

প্রশ্ন: cos 60° এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,

ত্রিকোণমিতির মান তালিকা অনুযায়ী- 
cos 0° = 1
cos 30° = √3/2
cos 45° = 1/√2
cos 60° = 1/2
cos 90° = 0 

অতএব, cos 60° এর মান = 1/2 ।

প্রশ্ন: কেন্দ্র (0, 0) এবং ব্যাসার্ধ 5 বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ কোনটি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
কেন্দ্র (h, k) এবং ব্যাসার্ধ r হলে বৃত্তের সমীকরণ হবে- 
(x − h)² + (y − k)² = r² 

দেওয়া আছে,
কেন্দ্র = (0, 0) ⇒ h = 0, k = 0 এবং 
ব্যাসার্ধ = 5 ⇒ r = 5 হলে, 
সমীকরণ হবে- 
(x − 0)² + (y − 0)² = 5²
∴ x² + y² = 25

প্রশ্ন: যদি sec θ = 1/cos θ হয়, তাহলে sec 60° এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
sec θ = 1 / cos θ

এখন, 
cos 60° = 1/2 

সুতরাং,
sec 60° = 1 / (1/2)
= 1 × 2
= 2  

প্রশ্ন: সরলরেখা 2x + 3y = 12 এর y-অবস্থানান্তর কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সরলরেখা- 
2x + 3y = 12 

আমরা জানি, 
y-অবস্থানান্তর (y-intercept) নির্ণয় করতে x = 0 বসাতে হবে। 
2(0) + 3y = 12
বা, 3y = 12 
বা, y = 12/4
∴ y = 4

প্রশ্ন: 16 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাস 7 সে.মি.। সিলিন্ডারটির আয়তন কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের উচ্চতা, h = 16 সে.মি. এবং
ভূমির ব্যাস, d = 7 সে.মি.
∴ সিলিন্ডারটির ভূমির ব্যাসার্ধ, r = d/2 সে.মি.
= 7/2 সে.মি.

আমরা জানি, 
সিলিন্ডারটির আয়তন = πr²h ঘন একক
= (22/7) × (7/2)² × 16 ঘন সে.মি.
= (22/7) × (49/4) × 16 ঘন সে.মি.
= 22 × 7 × 4 ঘন সে.মি.
= 616 ঘন সে.মি. 

∴ সিলিন্ডারটির আয়তন = 616 ঘন সে.মি.।

প্রশ্ন: sec A+ tan A = 5/3 হলে, sec A - tan A এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sec A+ tan A = 5/3 

আমরা জানি, 
sec² A = 1 + tan² A
বা, sec² A - tan² A = 1
বা, (sec A + tan A) (sec A - tan A) = 1
বা, 5/3 (sec A - tan A) = 1 
∴ sec A - tan A = 3/5

প্রশ্ন: রেখাংশের দুই প্রান্ত A(−2, 4) এবং B(6, −8) হলে মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক কী? 

সমাধান: 
প্রদত্ত বিন্দু- 
A(−2, 4) এবং B(6, −8) 

আমরা জানি, 
মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের সূত্র হচ্ছে- 
(x_m, y_m) = {(x₁​ + x₂)/2​​, (y₁​ + y₂​​)/2} 
= {(−2 + 6​)/2, (4 + (−8))​/2}
= {(−2 + 6​)/2, (4 − 8)​/2} 
= (4​/2, − 4/2) 
= (2, − 2)

∴ নির্ণয় মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক =  (2, − 2) । 

প্রশ্ন: ১৮ ফুট উঁচু একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সঙ্গে ৩০° কোণে মাটি স্পর্শ করলো। খুঁটিটি মাটি থেকে কত উঁচুতে ভেঙ্গে গিয়েছিল?

সমাধান: 
 
ধরি, 
মাটি থেকে h ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গে যায়।

আমরা জানি, 
sin 30° = লম্ব/অতিভুজ 
বা, ১/২ = h/(১৮ - h)
বা, (১৮ - h) = ২h
বা, ৩h = ১৮
বা, h = ১৮/৩ 
∴ h = ৬

সুতরাং, মাটি থেকে ৬ ফুট উঁচুতে খুঁটিটি ভেঙ্গ যায়।

প্রশ্ন: যে সরলরেখাটি y = 3x – 5 এর সমান্তরাল, তার ঢাল কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত সরলরেখা- 
y = 3x – 5 

আমরা জানি, 
সমান্তরাল রেখার ঢাল (slope) সদা সমান থাকে। 
y = mx + c আকারের সমীকরণে ঢাল  m দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 

এখন, 
y = 3x – 5 সমীকরণের সাথে তুলনা করলে ঢাল পাওয়া যায়- 
ঢাল, m = 3 তাই সমান্তরাল রেখার ঢালও 3 ।

প্রশ্ন: 1° সমান কত রেডিয়ান? 

সমাধান: 
রেডিয়ান: 
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে। 

আমরা জানি, 
180° = π রেডিয়ান 
∴ 1° = π/180 রেডিয়ান ।

প্রশ্ন: y = 5 এবং x = 3y + 2 সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
y = 5 ...... (১) 
x = 3y + 2 ........ (২) 

১ম সমীকরণ হতে পাই,
y = 5

২য় সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই, 
x = 3 × 5 + 2 
⇒ x = 15 + 2 
⇒ x = 17 

∴ সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (17, 5)  । 

প্রশ্ন: কোন বেলনের উচ্চতা h এবং ব্যাসার্ধ r হলে, বেলনটির বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
বেলন বা সিলিন্ডার: 
- কোনো আয়তক্ষেত্রের যে কোনো বাহুকে অক্ষ ধরে আয়তক্ষেত্রটিকে ঐ বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তুর সৃষ্টি হয়, তাকে সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডার বলা হয়।

- সমবৃত্তভূমিক বেলনের দুই প্রান্তকে বৃত্তাকার তল, বক্রতলকে বক্রপৃষ্ঠ এবং সমগ্রতলকে পৃষ্ঠতল বলা হয়।
- বেলনের উচ্চতা h এবং ব্যাসার্ধ r হলে-
• ভূমির ক্ষেত্রফল = πr²
• আয়তন (Volume) = πr²h
• বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2πrh
• সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)  । 

প্রশ্ন: sin(A + 18°) = 1/√2 হলে, A এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sin (A + 18°) = 1/√2 
⇒ sin (A + 18°) = sin 45° 
⇒ A + 18° = 45° 
⇒ A = 45° - 18° 
∴ A = 27°

প্রশ্ন: দুটি বিন্দু A(1, 2) এবং B(4, 6)-এর মধ্যে দূরত্ব কত?

সমাধান: 
প্রদত্ত বিন্দু:
A(1, 2) এবং B(4, 6) 

আমরা জানি, 
দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র হলো- 
d = √{(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²} 

প্রদত্ত সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, 
d = √{(4 − 1)² + (6 − 2)²}
= √{(3)² + (4)²}
= √(9 + 16)
= √25
= 5

∴ দূরত্ব = 5 । 

প্রশ্ন: যদি A = π/2 ও B = π/6 হয়, তাহলে sin(A + B) = কত?

সমাধান: 
 sin(A + B) = sin(π/2 + π/6)
= sin (2π/3)
= sin 120°
= sin (90° + 30°)
= cos30°
= √3/2

প্রশ্ন: y = 2x + 1 এর লম্ব রেখার ঢাল কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত রেখা-
y = 2x + 1 
এখানে, ঢাল (slope) m₁ = 2 

আমরা জানি, 
কোনো সরলরেখার উপর লম্ব রেখার ঢাল বের করতে হলে, মূল রেখার ঢালের ঋণাত্মক বিপরীত মান (negative reciprocal) নিতে হয়। যদি মূল রেখার ঢাল m₁ হয়, তবে লম্ব রেখার ঢাল m₂ হবে- 
m₁⋅m₂ = −1
বা, 2⋅m₂ = −1 
বা, m₂ = −1/2 

∴ লম্ব রেখার ঢাল = −1/2  ।

প্রশ্ন: sin 60° . cos 30° + cos 60° . sin 30° এর মান কত? 

সমাধান: 

আমরা জানি, 
ত্রিকোণমিতির মান তালিকা অনুযায়ী- 
sin 60° = cos 30° = √3/2
cos 60° = sin 30° = 1/2

এখন, 
sin 60° . cos 30° + cos 60° . sin 30°
= (√3/2) . (√3/2) + (1/2) . (1/2)
= (3/4) + (1/4)
= (3 + 1)/4
= 4/4
= 1

প্রশ্ন: দুটি বিন্দু (1, 2) ও (5, 10) যুক্ত রেখার ঢাল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
দুটি বিন্দুগামী রেখার ঢালের সূত্র-
m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)

প্রদত্ত বিন্দুর সাথে তুলনা করে পাই, 
(x₁, y₁) = (1, 2) এবং (x₂, y₂) = (5, 10)

∴ রেখার ঢাল, m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)
= (10 - 2)/(5 -1)
= 8/4
= 2

∴ রেখার ঢাল = 2 । 

প্রশ্ন: একটি গাছের পাদদেশ থেকে কিছু দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 45°। গাছটি 15 মিটার উঁচু হলে ঐ স্থানটি গাছটি হতে কত দূরে অবস্থিত? 

সমাধান: 

ধরি, 
গাছটি a মিটার দূরে অবস্থিত 
∴ tan 45° = AB/AC 
বা, 1 = 15/a 
∴ a = 15 মিটার 

∴ গাছটি 15 মিটার দূরে অবস্থিত ।

প্রশ্ন: বিন্দু (1, 2) থেকে রেখা x + y - 3 = 0 পর্যন্ত দূরত্ব কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত বিন্দু-
 (x1, y1) = (1, 2)
প্রদত্ত রেখা-
 x + y − 3 = 0 যেখানে A = 1, B = 1, C = −3 

আমরা জানি, 
বিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র- 
d = ​|Ax₁​ + By₁​ + C |/√(A² + B²)
= ​|(1​).(1) + (1​).(2)+ (−3) |/√(1)² + (1)²) 
= ​|1​ + 2 − 3) |/√(1 + 1))
= ​|3 − 3|/√2
= ​|0| /√2
= 0