ইউনিয়ন সমাজকর্মী প্রস্তুতি [Archived]

প্রশ্ন: (8a² - 6a - 5) এর একটি উৎপাদক (4a - 5) হলে, অপর উৎপাদকটি কত?

সমাধান:
8a² - 6a - 5
= 8a² + 4a - 10a - 5
= 4a(2a + 1) - 5(2a + 1)
= (4a - 5)(2a + 1)

প্রশ্ন: a² + b² = 25 এবং ab = 12 হলে, (a + b)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² = 25
এবং ab = 12

আমরা জানি,
(a  + b)² = a² + 2ab + b²
⇒ (a  + b)² = a² + b² + 2ab
⇒ (a  + b)² = 25 + (2 × 12)
⇒ (a  + b)² = 25 + 24
∴ (a  + b)² = 49

প্রশ্ন: 2p² + 6p - 80 এর একটি উৎপাদক-

সমাধান:
2p² + 6p - 80
= 2(p² + 3p - 40)
= 2(p² + 8p - 5p - 40)
= 2{p(p + 8) - 5(p + 8)}
= 2(p + 8)(p - 5)

প্রশ্ন: a + (1/a) = 4 হলে, a³ + (1/a³) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + (1/a) = 4

প্রদত্ত রাশি = a³ + (1/a³)
= {a + (1/a)}³ - 3 · a · (1/a){a + (1/a)}
= 4³ - (3 × 4)
= 64 - 12
= 52

প্রশ্ন: (2a² - 5a + 3) এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
2a² - 5a + 3
= 2a² - 3a - 2a + 3
= a(2a - 3) - 1(2a - 3)
= (2a - 3)(a - 1)

প্রশ্ন: যদি a + a^{- 1} = √7 হয়, তাহলে a² + a^{- 2} এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + a^{- 1} = √7
⇒ a + (1/a) = √7

প্রদত্ত রাশি = a² + a^{- 2}
= a² + (1/a²)
= {a + (1/a)}² - 2 · a · (1/a)
= (√7)² - 2
= (7 - 2)
= 5

প্রশ্ন: (7a² - 27a + 20) এবং (a² + 2a - 3) এর একটি সাধারণ উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
১ম ক্ষেত্রে,
7a² - 27a + 20
= 7a² - 20a - 7a + 20
= a(7a - 20) - 1(7a - 20) 
= (7a - 20)(a - 1)

২য় ক্ষেত্রে,
a² + 2a - 3
= a² + 3a - a - 3
= a(a + 3) - 1(a + 3)
= (a + 3)(a - 1)

প্রশ্ন: (a + b + c) = 6 এবং (a² + b² + c²) = 14 হলে, (ab + bc + ca) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 6
এবং a² + b² + c² = 14

আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
⇒ a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)
⇒ 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)
⇒ 2(ab + bc + ca) = 6² - 14
⇒ 2(ab + bc + ca) = (36 - 14)
⇒ 2(ab + bc + ca) = 22
⇒ (ab + bc + ca) = 22/2
∴ (ab + bc + ca) = 11

প্রশ্ন: নিচের কোনটি (a³ - a - 24) এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
ধরি, f(a) = a³ - a - 24
f(3) = 3³ - 3 - 24
= 27 - 27
= 0
∴ (a - 3), f(a) এর একটি উৎপাদক।

এখন,
a³ - a - 24
= a³ - 3a² + 3a² - 9a + 8a - 24
= a²(a - 3) + 3a(a - 3) + 8(a - 3)
= (a - 3)(a² + 3a + 8)

প্রশ্ন: a - (1/a) = 3 হলে, a⁴ + (1/a⁴) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - (1/a) = 3

∴ প্রদত্ত রাশি = a⁴ + (1/a⁴)
= {a² + (1/a²)}² - 2 · a² · (1/a²)
= [{a - (1/a)}² + 2 · a · (1/a)]² - 2
= {(3)² + 2}² - 2
= (9 + 2)² - 2
= (11)² - 2
= (121 - 2)
= 119

প্রশ্ন: নিচের কোনটি (a³ - 9a² + 26a - 24) এর একটি উৎপাদক নয়?

সমাধান:
a³ - 9a² + 26a - 24
= a³ - 3 · a² · 3 + 3 · a · 3² - 3³ - a + 3
= (a - 3)³ - 1(a - 3)
= (a - 3){(a - 3)² - 1}
= (a - 3)(a - 3 + 1)(a - 3 - 1)
= (a - 3)(a - 2)(a - 4)
= (a - 2)(a - 3)(a - 4)

প্রশ্ন: (a + b) = 7 এবং (a - b) = 5 হলে 4ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 7
এবং a - b = 5

আমরা জানি,
4ab = (a + b)² - (a - b)² 
⇒ 4ab = (7)² - (5)²
⇒ 4ab = 49 - 25
⇒ 4ab = 24

প্রশ্ন: p - (9/p) = 1 হলে, 9/(p² - p - 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p - (9/p) = 1  
⇒ (p² - 9)/p = 1
⇒ (p² - 9) = p
⇒ p² - p = 9

এখন,
9/(p² - p - 1)
= 9/(9 - 1)
= 9/8

প্রশ্ন: a + b = 5 এবং a² + b² = 13 হলে, a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 5
এবং a² + b² = 13
⇒ (a + b)² - 2ab = 13
⇒ - 2ab = 13 - (a + b)²
⇒ - 2ab = 13 - (5)² 
⇒ - 2ab = 13 - 25
⇒ - 2ab = - 12
∴ ab = 6

প্রদত্ত রাশি = a³ + b³
= (a + b)³ - 3ab(a + b)
= 5³ - 3 · 6 · 5
= 125 - 90
= 35

প্রশ্ন: a² + (1/a²) এর কোন মানের জন্য a³ - (1/a³) = 0 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a³ - (1/a³) = 0
⇒ (a⁶ - 1)/a³ = 0
⇒ a⁶ - 1 = 0
⇒ a⁶ = 1
⇒ a⁶ = 1⁶
∴ a = 1

প্রদত্ত রাশি = a² + (1/a²)
= 1² + (1/1⁶)
= (1 + 1)
= 2

প্রশ্ন: a - (1/a) = 6 হলে, (a⁴ + 1)/a² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - (1/a) = 6

প্রদত্ত রাশি = (a⁴ + 1)/a²
= {(a⁴)/(a²)} + (1/a²)
= a² + (1/a²)
= {a - (1/a)}² + 2 . a . (1/a)
= (6)² + 2
= 36 + 2
= 38

প্রশ্ন: a + b + c = 6 এবং a² + b² + c² = 12 হলে, (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 6
a² + b² + c² = 12

প্রদত্ত রাশি = (a - b)² + (b - c)² + (c - a)²
= a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ca + a²
= 2a² + 2b² + 2c² - 2(ab + bc + ca)
= 2(a² + b² + c²) - {(a + b + c)² - (a² + b² + c²)}
= (2 × 12) - {(6)² - 12}
= (2 × 12) - (36 - 12)
= 24 - 24
= 0

প্রশ্ন: a + b = 10 এবং ab = 16 হলে, a² + b² + 8ab = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 10
এবং ab = 16

প্রদত্ত রাশি = a² + b² + 8ab
= (a + b)² - 2ab + 8ab
= (a + b)² + 6ab
= 10² + (6 × 16)
= 100 + 96
= 196

প্রশ্ন: q² - 14q + 48 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে হবে-

সমাধান:
q² - 14q+ 48
= q² - 8q - 6q + 48
= q(q - 8) - 6(q - 8)
= (q - 8)(q - 6)

প্রশ্ন: (a/b) + (b/a) = 5 হলে, {(a²)/(b²)} + {(b²)/(a²)} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(a/b) + (b/a) = 5

প্রদত্ত রাশি = {(a²)/(b²)} + {(b²)/(a²)}
= (a/b)² + (b/a)²
= {(a/b) + (b/a)}² - 2 · (a/b) · (b/a)
= 5² - 2
= 25 - 2
= 23