৪৫ দিনে ৫০তম বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক] - Archived

প্রশ্ন: 7 + 12 + 17 + 22 +.……….ধারাটির কোন পদ 297?

সমাধান:
ধরি,
n তম পদ = 297
এখানে,
১ম পদ, a = 7,
সাধারণ অন্তর, d = 12 - 7 = 5

প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = 297
বা, 7 + (n - 1) × 5 = 297
বা, (n - 1) × 5 = 297 - 7
বা, (n - 1) × 5 = 290
বা, (n - 1) = 290/5
বা, n - 1 = 58
∴ n = 59

প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'BRASIL' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

সমাধান:
"BRASIL" শব্দটিতে মোট বর্ণ 6টি যেখানে সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন এবং স্বরবর্ণ 2টি (A, I)।
6টি বর্ণকে সাজানো যায় = 6! = 720
স্বরবর্ণ দুটিকে একটি ধরে মোট ভিন্ন বর্ণ 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
স্বরবর্ণ দুটিকে সাজানো যায় = 2!
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস = 5! × 2!
= 120 × 2
= 240

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস = 720 - 240
= 480

প্রশ্ন: 5 দ্বারা বিভাজ্য প্রথম 12 টি সংখ্যার মধ্যক কত?

সমাধান:
৫ দ্বারা বিভাজ্য প্রথম ১২টি সংখ্যা: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60
এখানে, n = 12

মধ্যক = {(12/2) তম পদ ও (12/2) + 1 তম পদের যোগফল}/2
= {6 তম পদ ও 7 তম পদের যোগফল}/২
=(30 + 35)/2
= 65/2
= 32.5

প্রশ্ন: tanA = 8/15 হলে, secA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tan A = 8/15

আমরা জানি, 
⇒ sec²A = 1 + tan²A
= 1 + (8/15)²
= 1 + (64/225)
= (225 + 64)/225
= 289/225
⇒ secA =√(289/225)
= 17/15

প্রশ্ন: 1/√3, - 1, √3, ..... অনুক্রমটির সপ্তম পদটি কত?

সমাধান:
এখানে, a = 1/√3
r = - 1/(1/√3) = - √3
∴ সপ্তম পদ = ar^{7 - 1}
= (1/√3) · (- √3)^{7 - 1}
= (1/√3) · (- √3)⁶
= (√3√3√3√3√3√3)/√3
= 9√3

প্রশ্ন: রাজুর ইংরেজিতে পাসের সম্ভাব্যতা 3/7, ইংরেজি ও বিজ্ঞান দুইটি বিষয়ে পাসের সম্ভাব্যতা 2/7 এবং দুইটির যে কোন একটিতে পাশের সম্ভাব্যতা 5/7 হলে, বিজ্ঞানে পাসের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
এখানে,
P(E) = 3/7
P(E ∩ S) = 2/7
P(E ∪ S) = 5/7
P(S) = ?

আমরা জানি,
P(E ∪ S) = P(E) + P(S) - P(E ∩ S)
⇒ 5/7 = (3/7) + P(S) - (2/7)
⇒ (5/7) - (3/7) + (2/7) = P(S)
⇒ (35 - 21 + 14)/49 = P(S)
⇒ 28/49 = P(S)
⇒ P(S) = 28/49 = 4/7

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ........... + 70² = ?

সমাধান:
1² + 2² + 3² + 4² + ...... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6
∴ 1² + 2² + 3² + ........ + 70² = 70(70 + 1)(2 × 70 + 1)/6
= (70 × 71 × 141)/6
= 116795

প্রশ্ন: ২, ৩, ৪, ৫ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে ৪০০০ অপেক্ষা বৃহত্তর কয়টি সংখ্যা গঠন করা যায়?

সমাধান:
যদি সংখ্যাটি ৪০০০ অপেক্ষা বড় হয় তবে প্রথম অঙ্কটি অবশ্যই ৪ অথবা ৫ হতে হবে।

প্রথম অঙ্কটি ৪ হলে, বাকি তিনটি অঙ্ক সাজানো যায় = ৩! উপায়ে
= ৬ উপায়ে

অনুরূপভাবে, প্রথম অঙ্কটি ৫ হলে, বাকি তিনটি অঙ্ক সাজানো যায় = ৩! উপায়ে
= ৬ উপায়ে

∴ ৪০০০ অপেক্ষা বড় সংখ্যা গঠন করা যায় = ৬ + ৬ = ১২টি

প্রশ্ন: একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপ করা হলে জোড় সংখ্যা বা 5 এর চেয়ে বড় সংখ্যা পাবার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কা নিক্ষেপে মোট ঘটনা সংখ্যা হবে = 6 টি

জোড় সংখ্যা বা ৫ এর চেয়ে বড় সংখ্যা = 2, 4, 6 = 3 টি

∴ সম্ভাব্যতা = 3/6
= 1/2

প্রশ্ন: যদি tan θ + sec θ = 3 হয়, তবে tan θ এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে, tan θ + sec θ = 3 ...... (1)
আমরা জানি, sec²θ - tan²θ = 1
⇒ (sec θ + tan θ)(sec θ - tan θ) = 1
⇒ sec θ - tan θ = 1/(sec θ + tan θ)
⇒ sec θ - tan θ = 1/3 ...... (2) [কারণ (1) থেকে sec θ + tan θ = 3]
সমীকরণ (1) থেকে (2) বিয়োগ করলে:
2tan θ = 3 - (1/3)
⇒ 2tan θ = 8/3
∴ tan θ = 4/3

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 5 এবং 8-তম পদটি 43 হলে 20-তম পদটি-

সমাধান:
প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d হলে,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 8 তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 43 = a + (8 - 1)5
⇒ 43 = a + 35
⇒ a = 43 - 35
∴ a = 8

∴ 20 তম পদ = 8 + (20 - 1)5
= 8 + 95
= 103

প্রশ্ন: 15 টি ফলের মধ্যে 6 টি ফল কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট তিনটি ফল সর্বদা বাদ থাকে?

সমাধান:
নির্দিষ্ট তিনটি ফল সর্বদা বাদ থাকে, অতএব (15 - 3) বা 12 টি থেকে 6 টি বাছাই করতে হবে।

∴ বাছাই করার উপায় = ¹²C₆
= 12!/(6! 6!)
= 924

প্রশ্ন: একটি বাক্সে সবুজ বল 20 টি, হলুদ বল 25 টি এবং নীল বল 10 টি আছে। দৈবভাবে একটি বল নিলে বলটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
সবুজ বল আছে = 20 টি
মোট বল = 20 + 25 + 10 = 55

বলটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = 20/55 = 4/11
∴ বলটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (4/11)
= 7/11

প্রশ্ন: 7sin²θ + 3cos²θ = 4 হলে, tan30° = কত?

সমাধান:
7sin²θ + 3cos²θ = 4
⇒ 7sin²θ + 3(1 - sin²θ) = 4
⇒ 7sin²θ + 3 - 3sin²θ = 4
⇒ 4sin²θ = 1
⇒ sin²θ = 1/4
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
⇒ θ = 30°
⇒ tanθ = tan30°
∴ tanθ = 1/√3

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদটি 32 এবং ষষ্ঠ পদটি 4 হলে, প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত q হলে n তম পদ = aq^{n - 1}
সুতরাং, তৃতীয় পদ = aq^{3 - 1} = aq² = 32
∴ aq² = 32 ......... (i)
আবার ষষ্ঠ পদ = aq^{6 - 1} = aq⁵ = 4
∴ aq⁵ = 4 ......... (ii)
(i) থেকে, a = 3²/q² (ii) তে বসালে,
(32/q²)q⁵ = 4
বা, 32q³ = 4
বা, q³ = 1/8
বা, q = 1/2
∴ প্রথম পদ = 32/q² = 32/(1/4) = 128

প্রশ্ন: একটি পার্টিতে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলো। লোকের সংখ্যা 20 জন হলে করমর্দনের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লোকজনের সংখ্যা, n = 20

∴ করমর্দনের সংখ্যা = ⁿC₂ = ²⁰C₂
= 20!/{2!(20 - 2)!}
= 20!/(2! × 18!)
= 190

প্রশ্ন: M = {x: x, 24 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং N = {x: x, 6 এর গুনিতক এবং x ≤ 24} হলে M - N = কত?

সমাধান:
এখানে,
M = {x: x, 24 এর গুণনীয়কসমূহ}
24 এর গুণনীয়কসমূহ = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
∴ M = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
N = {x: x, 6 এর গুনিতক এবং x ≤ 24}
6 এর গুনিতকসমূহ যা 24 এর সমান বা ছোট = 6, 12, 18, 24
∴ N = {6, 12, 18, 24}

∴ M - N = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} - {6, 12, 18, 24}
= {1, 2, 3, 4, 8}

প্রশ্ন: একটি 51 মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙেছিল?

সমাধান:

ধরি,
খুটিটি x মিটার উচুতে ভেঙ্গেছিল।
∴ অপর ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = (51 - x) মিটার
sinθ = x/(51 - x)
sin30° = x/(51 - x)
⇒ 1/2 = x/(51 - x)
⇒ 2x = 51 - x
⇒ 3x = 51
∴ x = 17

প্রশ্ন: 25 এবং 400 এর গুণোত্তর গড় কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি, n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড় = n√(x₁.x₂.x₃...x_n)
সুতরাং 25 ও 400 এর গুণোত্তর গড় = √(25 × 400)
= √(25 × 16 × 25)
= √(25 × 25 × 16)
= 5 × 5 × 4
= 100

প্রশ্ন: 52 টি তাসের প্যাকেট থেকে একটি তাস দ্বৈবভাবে নেয়া হল। তাসটি হরতন বা রাজা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি প্যাকেটে মোট তাসের সংখ্যা = 52
হরতন তাসের সংখ্যা ও রাজার সংখ্যা = 13 + 3 = 16

হরতন বা রাজা হওয়ার সম্ভাবনা = 16/52
= 4/13

প্রশ্ন: (5/sec²θ) + {2/(1 + cot²θ)} + 3sin²θ = কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ....... + 15³ = ?

সমাধান:
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের যোগফল = {n(n + 1)/2}²
1³ + 2³ + 3³ + ............. + 15³ ={15(15 + 1)/2}²
= {(15 × 16)/2}²
= 14400

প্রশ্ন: ⁹P_r = 504 হলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⁹P_r = 504
⇒ 9!/(9 - r)! = 504
⇒ (9 - r)! × 504 = 9!
⇒ (9 - r)! = (9 × 8 × 7 × 6!)/504
⇒ (9 - r)! = 6!
⇒ (9 - r) = 6
⇒ r = 9 - 6
∴ r = 3

প্রশ্ন: P(A) = 1/4 এবং P(B) = 3/8। A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা হলে P(B/A) = কত?

সমাধান:
A ও B স্বাধীন ঘটনা,
∴ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (1/4)(3/8)
= 3/32

∴ P(B/A) = P(A ∩ B) / P(A)
= (3/32) / (1/4)
= 3/8

প্রশ্ন: cos⁴θ - sin⁴θ = 2/3 হলে, 1 - 2sin²θ = কত?

সমাধান:
cos⁴θ - sin⁴θ = 2/3
⇒ (cos²θ - sin²θ)(cos²θ + sin²θ) = 2/3
⇒ cos²θ - sin²θ = 2/3
⇒ 1 - sin²θ - sin²θ = 2/3
∴ 1 - 2sin²θ = 2/3

প্রশ্ন: 3 + p + q + 192 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে q এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 3
ধরি, সাধারণ অনুপাত, r
চতুর্থ পদ = 192
ar^{4 - 1} = 192
3r³ = 192/3
r³ = 64
r = 4

এখানে, q হলো তৃতীয় পদ
∴ q = ar^{3 - 1}
= 3 × 4²
= 48

প্রশ্ন: 20 থেকে 40 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
20 থেকে 40 পর্যন্ত সংখ্যা= 21 টি
20 থেকে 40 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 23, 29, 31, 37 = 4 টি

মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা = 4/21

প্রশ্ন: 1 - 1+ 1 - 1 + 1 - 1 + ........... + n সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর r = - 1/1 = - 1
যেহেতু ,r < - 1 সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)
= 1{1 - (-1)ⁿ}/(1 - r)
= (1/2){1 - (- 1)ⁿ}

প্রশ্ন: 15 সদস্য বিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দল হতে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
15 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁵C₁ = 15 উপায়ে
14 জন থেকে 1 জন সহ-অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁴C₁ = 14 উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = (15 × 14)
= 210

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 3x < 15} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
A = {x ∈ N : 3x < 15}
3x < 15
x < 5
অর্থাৎ 5 এর চেয়ে ছোট সকল স্বাভাবিক সংখ্যা হলো A সেটের উপাদান।
∴ A = {1, 2, 3, 4}
A সেটের উপসেট সংখ্যা = 2⁴ = 16
∴ প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 16 - 1 = 15 টি

প্রশ্ন: 0° < A < 90° হলে, {sinA/(1 + cosA)} + {sinA/(1 - cosA) এর মান নির্ণয় করুন?

সমাধান:

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার n তম পদ 3n + 2 হলে ধারার সাধারণ অন্তর কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারার n তম পদ 3n + 2

∴ ধারার ১ম পদ = 3 × 1 + 2 = 3 + 2 = 5
∴ ধারার ২য় পদ = 3 × 2 + 2 = 6 + 2 = 8

∴ সাধারণ অন্তর = ২য় পদ - ১ম পদ
= 8 - 5
= 3

প্রশ্ন: B = {2, 4, 9} হলে, B এর কতটি উপসেট আছে?

সমাধান:
B = {2, 9, 4} সেটের উপাদান সংখ্যা 3 টি।

আমরা জানি,
উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ ; [ n = উপাদান সংখ্যা ]
∴ B সেটের উপসেট সংখ্যা = 2³ = 8