৪৫ দিনে ৫০তম বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক] - Archived

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : x ≤ 20 এবং x, 5 এর গুণিতক} হলে, A সেটের তালিকা পদ্ধতি কোনটি?

সমাধান:
x এর মান 20 অপেক্ষা ছোট বা সমান এবং 5 এর গুণিতক।
5 এর গুণিতক সমূহ:
1 × 5 = 5
2 × 5 = 10
3 × 5 = 15
4 × 5 = 20
5 × 5 = 25
∴ নির্ণেয় সেট = {5, 10, 15, 20}

প্রশ্ন: log_√55 - log_√327 + log_√216 এর মান কত?

সমাধান:
= log_√55 - log_√327 + log_√216
= log_√5(√5)² - log_√3(√3)⁶ + log_√2(√2)⁸
= 2log_√5√5 - 6log_√3√3 + 8log_√2√2
= 2 - 6 + 8
= 4

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + … + 91 ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
3 + 7 + 11 + … + 91

এখানে,
প্রথম পদ = 3
শেষ পদ = 91
সাধারণ অন্তর = 7 - 3 = 4

∴ পদসংখ্যা = {( শেষ পদ - প্রথম পদ )/ সাধারণ অন্তর } + 1
= {(91 - 3)/4} + 1
= 22 + 1
= 23

∴ ধারাটির পদসংখ্যা 23টি 

আবার,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 4
∴ n তম পদ = a + (n -1)d
= 3 + (n - 1)4
 
ATQ, 
3 + (n - 1)4 = 91
⇒ n - 1 = 88/4
⇒ n = 22 + 1
∴ n = 23

∴ ধারাটির পদসংখ্যা 23টি 

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক ৪। সংখ্যাটির দুই অঙ্কের যোগফল সংখ্যাটির ৪ ভাগের ১ ভাগ। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একক স্থানীয় অঙ্ক ৪

ধরি,
সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = x

অতএব,
সংখ্যাটি = ১০x + ৪

প্রশ্নমতে,
⇒ x + ৪ = (১০x + ৪)/৪
⇒ ৪(x + ৪) = ১০x + ৪
⇒ ৪x + ১৬ = ১০x + ৪
⇒ ১০x - ৪x = ১৬ - ৪
⇒ ৬x = ১২
⇒ x = ১২/৬ = ২

∴ সংখ্যাটি = ১০ × ২ + ৪ = ২৪

প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন:
- 18 < x < - 6

সমাধান:
- 18 < x < - 6
∴ গড় = {(- 18) + (- 6)}/2
= - 24/2
= - 12

∴ - 18 + 12 < x + 12 < - 6 + 12
⇒ - 6 < x + 12 < 6
⇒ |x + 12| < 6

প্রশ্ন: ৮ জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)!
৮ জনকে গোল টেবিলে বসানো যাবে = (৮ - ১)!
= 7!
= ৭ × ৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২ × ১
= ৫০৪০ উপায়ে

প্রশ্ন: নিচের উপাত্তগুলো মানের উর্ধ্বক্রমে সাজানো আছে। যদি উপাত্তগুলোর মধ্যক 30 হয় তাহলে x এর মান নির্ণয় করুন।
18, 22, x, 28, x + 6, 38, 40, 50, 60

সমাধান:

18, 22, x, 28, x + 6, 38, 40, 50, 60
এখানে মোট ৯টি উপাত্ত রয়েছে যা বিজোড় সংখ্যক।
∴ মধ্যক হবে (৯ + ১)/২ = ৫ তম পদ

∴ মধ্যক = x + 6

প্রশ্নমতে,
x + 6 = 30
∴ x = 24

প্রশ্ন: a = 3 এবং b = 2 হলে, 8a³ - 6a²b + 4ab² - 7b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 3 এবং b = 2

প্রদত্ত রাশি
= 8a³ - 6a²b + 4ab² - 7b³
= 8 × 3³ - 6 × 3²2 + 4 × 3 × 2² - 7  × 2³
= 216 - 108 + 48 - 56
= 264 - 164
= 100

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা নিরপেক্ষভাবে একসাথে নিক্ষেপ করা হলে যে সংখ্যা দুইটি উঠবে তাদের গুণফল ১২ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দুটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপে মোট ঘটনা = ৬^২ = ৩৬ টি
দুটির সংখ্যার গুণফল ১২ হওয়ার অনুকূল ঘটনা = (৬, ২), (২, ৬), (৩, ৪), (৪, ৩)  = ৪ টি

∴ সম্ভাবনা = ৪/৩৬
= ১/৯

প্রশ্ন: 2, 4, 5, 7 এবং 9 অংকগুলোর প্রতিটি একবার নিয়ে দুই অংকের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
মোট অংক 5টি।
যেহেতু দুই অংকের সংখ্যা গঠন করতে হবে, তাই প্রতিবার 2টি অংক নিয়ে গঠিত সংখ্যা
= ⁵P₂ = 5!/(5 - 2)!
= 5 × 4 × 3!/3!
= 20

প্রশ্ন: নিচের কোনটি (a² - 11a + 30) এবং (a² - 8a + 15) এর একটি সাধারণ উৎপাদক?

সমাধান:
(a² - 11a + 30)
= a² - 5a -6a +30
= a(a - 5) - 6(a - 5)
= (a - 5)(a - 6)

আবার, 
(a² - 8a + 15)
= a² - 3a - 5a + 15
= a(a - 3) - 5(a - 3)
= (a - 3)(a - 5)

∴  সাধারণ উৎপাদক (a - 5).

প্রশ্ন:


সমাধান:

প্রশ্ন: একটি থলেতে 6 টি নীল মার্বেল, 4 টি সবুজ মার্বেল এবং 5 টি কালো মার্বেল আছে। থলে থেকে দৈবভাবে একটি মার্বেল নেওয়া হলে মার্বেলটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট মার্বেল আছে = (6 + 4 + 5) টি = 15 টি
সবুজ মার্বেল আছে = 4 টি

∴ মার্বেলটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = 4/15

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ৫০% এর সাথে ৭৫ যোগ করলে যোগফল যদি ঐ সংখ্যাটিই হয়, তাহলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

তাহলে,
৫০% of x + ৭৫ = x
⇒ (৫০/১০০) x + ৭৫ = x
⇒ (১/২) x + ৭৫ = x
⇒ ৭৫ = x – (১/২) x
⇒ ৭৫ = (১/২) x
⇒ x = ৭৫ × ২
⇒ x = ১৫০

প্রশ্ন: a + b = 7 এবং a - b = 3 হলে, a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²
বা, 2(a² + b²) = (7)² + (3)²
বা, 2(a² + b²) = 49 + 9
বা, 2(a² + b²) = 58
বা, a² + b² = 58/2
∴ a²+ b² = 29

প্রশ্ন: নিম্নের সেটটি তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করুন:
A = {x : x একটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং x² − 4 = 0} 

সমাধান: 
x² - 4 = 0 
বা, x² = 4
বা, x = √4 
∴ x = ± 2 
কিন্তু x স্বাভাবিক সংখ্যা তাই ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়। 
∴ x = 2 

∴ নির্ণেয় সেট: {2}

প্রশ্ন: যদি 3x + y = 7 এবং 2x + 3y > 12 হয়, তবে-

সমাধান:
3x + y = 7,
∴ y = 7 - 3x

Now substitute in the inequality:
2x + 3y > 12
⇒ 2x + 3(7 - 3x) > 12
⇒ 2x + 21 - 9x > 12
⇒ -7x + 21 > 12
⇒ -7x > 12 - 21
⇒ -7x > -9
∴ x < 9/7

প্রশ্ন: log_x √512 = 3/2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log_x √512 = 3/2
⇒ (1/2) log_x 512 = 3/2
⇒ log_x 512 = 3
⇒ x³ = 512
⇒ x³ = 8³
∴ x = 8

প্রশ্ন: a + b + c = 13 এবং a² + b² + c² = 51 হলে, ab + bc + ca = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 13
এবং a² + b² + c² = 51

আমরা জানি, 
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca 
বা, 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²) 
বা, 2(ab + bc + ca) = (13)² - 51 
বা, 2(ab + bc + ca) = 169 - 51 
বা, 2(ab + bc + ca) = 118
বা, (ab + bc + ca) = 118/2 
∴ ab + bc + ca = 59

প্রশ্ন: নিম্নের উপাত্তগুলো দেওয়া হলো-
6, 4, 9, 2, 11, 7, 5, 9, 3, 14, 9, 1, 8, 10, 12, 15, 13, 9, 16, 17
প্রদত্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?
 
সমাধান:
প্রথমে উপাত্তগুলোকে ক্রমানুসারে সাজাই-
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17

এখানে লক্ষ্য করি,
9 সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশি সংখ্যক বার (৪ বার) উপস্থিত আছে।

অতএব,
প্রদত্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরক = 9

প্রশ্ন: x^-2 = 1/4 হলে 13^x এর মান নির্ণয় কর?

সমাধান:
x^-2 = 1/4
বা, 1/x² = 1/4
বা, x² = 4
বা, x = 2

13^x এর মান 13² = 169

প্রশ্ন: যদি |x + ৩| ≤ ৮ হয়, তবে x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
| x + ৩ | ≤ ৮
বা, - ৮ ≤ x + ৩ ≤ ৮
বা, - ৮ - ৩ ≤ x + ৩ - ৩ ≤ ৮ - ৩
বা, - ১১ ≤ x ≤ ৫
এখানে,
x এর সর্বনিম্ন মান = - ১১
এবং x এর সর্বোচ্চ মান = ৫

প্রশ্ন: ১ হতে ২৭ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর গড় কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটির পদগুলো হলো- ১, ২, ৩, ৪, ৫, ............... ২৭ 
এটি একটি সমান্তর ধারা, 
∴ ধারাটির প্রথম পদ = ১ 
ধারাটির শেষ পদ = ২৭ 

∴ নির্ণেয় গড় = (শেষ পদ + প্রথম পদ)/২ 
= (২৭ + ১)/২ 
= ২৮/২ 
= ১৪

প্রশ্ন: x + (3/x) = 5 হলে x³ + (27/x³) = কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি = x³ + (27/x³) 
= {x + (3/x)}³ - 3.x.3/x {x + (3/x)} 
= (5)³ - 9 × 5 
= 125 - 45 
= 80

প্রশ্ন: A = {21, 22, 23, 24, 25} হলে, এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান: 
এখানে, 
A সেটের মোট উপাদান = 5 
A সেটের সর্বমোট উপসেট = 2⁵ = 32 

∴ প্রকৃত উপসেট = 32 - 1 
= 31 

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা পরপর ৩ বার নিক্ষেপ করা হলো। এই পরীক্ষায় ঠিক একবার হেড (H) এবং বাকি দুইবার টেইল (T) আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
তিন বার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র হবে = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT} 
∴ মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ৮ টি 

এখানে, 
শুধুমাত্র একটি হেড আসে এমন ঘটনা = (HTT, THT, TTH} 
∴ মোট অনুকূল ফলাফল = ৩ টি 

∴ একবার হেড (H) এবং বাকি দুইবার টেইল (T) আসার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল​/মোট সম্ভাব্য ফলাফল 
= ৩/৮ 

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার 7 গুণ থেকে 3 গুণ বিয়োগ করলে 40 হয়? 

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
7x - 3x = 40
বা, 4x = 40
বা, x = 40/4
∴ x = 10 

∴ সংখ্যাটি = 10

প্রশ্ন: ৫ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলা থেকে কতভাবে ২ সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ন্যূনতম পক্ষে ১ জন পুরুষ ও ১ জন মহিলা থাকবে?

সমাধান: 
৫ জন পুরুষ হতে ন্যূনতম পক্ষে ১ জন পুরুষ বেছে নেয়ার উপায় = ^৫C_১  = ৫ 
৪ জন মহিলা হতে ন্যূনতম পক্ষে ১ জন মহিলা বেছে নেয়ার উপায় = ^৪C_১ = ৪ 

∴ ২ সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করার মোট উপায় = ৫ × ৪ = ২০

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বিয়োগফল তাদের যোগফলের অর্ধেক। সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যাদ্বয় যথাক্রমে x এবং y, যেখানে x > y

শর্তমতে, 
x - y = (x + y)/2 
বা, 2x - 2y = x + y 
বা, 2x - x = y + 2y 
বা, x = 3y
বা, x/y = 3/1
∴ x : y = 3 : 1 

প্রশ্ন: 2log₂x - log₂(x - 4) = 4 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান:
2log₂x - log₂(x - 4) = 4
⇒ log₂x² - log₂(x - 4) = 4
⇒ log₂ [x²/(x - 4)] = 4
⇒ x²/(x - 4) = 2⁴ = 16
⇒ x² = 16(x - 4)
⇒ x² = 16x - 64
⇒ x² - 16x + 64 = ০
⇒ (x - 8)² = ০
⇒ x = 8

প্রশ্ন: প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় ৩৮। প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় ৪২ হলে, তৃতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় = ৩৮
∴ প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (৩৮ × ২)
= ৭৬ 

আবার, 
প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় = ৪২
∴ প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (৪২ × ৩)
= ১২৬ 

∴ তৃতীয় সংখ্যাটি = (১২৬ - ৭৬) 
= ৫০ 

প্রশ্ন: a² + 9a + x যদি a - 3 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশিটি a - 3 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে a - 3 রাশিটির একটি উৎপাদক এবং a = 3 এর জন্য রাশিটির মান শূন্য হবে। 
অর্থাৎ, a² + 9a + x = 0 

∴ f(3) = (3)² + 9 × 3 + x = 0 
বা, 9 + 27 + x = 0 
বা, 36 + x = 0 
∴ x = - 36 

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদটি 6 এবং পঞ্চম পদটি 48 হলে, সধারণ অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অনুপাত = r 

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = a × r^{n - 1} 
∴ ২য় পদ = a × r^{2 - 1} = 6
বা, ar = 6 .......... (i)

আবার, 
৫ম পদ = a × r^{5 - 1} = 48
∴ ar⁴ = 48 ...........(¡¡)

(ii) ÷ (i) নং হতে পাই, 
ar⁴/ar = 48/6
বা, r³ = 8 
বা, r³ = 2³
∴ r = 2 

∴ সাধারণ অনুপাত = 2 

প্রশ্ন: একটি খামারে কিছু মুরগি ও গরু রয়েছে। তাদের মাথার সংখ্যা ৫০ এবং মোট পায়ের সংখ্যা ১৪০। খামারে কতগুলো মুরগি রয়েছে?

সমাধান:
যেহেতু গরু ও মুরগির একটি করে মাথা থাকে তাই গরু ও মুরগির মোট সংখ্যা হবে = ৫০

ধরি,
খামারে গরুর সংখ্যা  = ক টি 
মুরগির সংখ্যা = (৫০ - ক) টি 
আমরা জানি,
গরুর পায়ের সংখ্যা = ৪ টি এবং মুরগির পায়ের সংখ্যা = ২ টি 
প্রশ্নমতে,
৪ক + ২(৫০ - ক) = ১৪০
⇒ ৪ক + ১০০ - ২ক = ১৪০
⇒ ২ক + ১০০ = ১৪০
⇒ ২ক = ১৪০ - ১০০
⇒ ২ক = ৪০
⇒ ক = ৪০/২
⇒ ক = ২০

∴ খামারে গরুর সংখ্যা = ২০ টি 
এবং মুরগির সংখ্যা = (৫০ - ২০) = ৩০ টি 

প্রশ্ন: |x + 2| < 6 অসমতাটির সমাধান কোনটি? 

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতাটি হলো,
|x + 2| < 6
⇒ - 6 < x + 2 < 6
⇒ (- 6 - 2) < (x + 2 - 2) < (6 - 2) [উভয়পক্ষে (- 2) যোগ করে]
⇒ - 8 < x < 4

∴ অসমতাটির সমাধান, S = {x ∈ R: - 8 < x < 4}

প্রশ্ন: log8 + log64 + log512 +............ ধারাটির প্রথম 12 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log8 + log64 + log512 +...........
= log8¹ + log8²+ log8³ +...........
= log8 + 2 log8 + 3 log8 +...........
=( 1 + 2 + 3 +.....) log8

এখন, 1 + 2 + 3 +..... ধারাটির 12 টি পদের সমষ্টি, 
= n(n + 1)/2
= {12 × (12 + 1)}/2
= (12 × 13)/2
= 156/2
= 78

সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি = 78 log8

প্রশ্ন: A = {x ∈ N এবং 7 ≤ x < 11} এবং B = {x ∈ N এবং x মৌলিক সংখ্যা < 11} হলে (A - B) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : 7 ≤ x < 11}
B = {x : x মৌলিক সংখ্যা < 11}

এখন, 
A = {x : 7 ≤ x < 11}
= {7, 8, 9, 10}
এবং
B = {x : x মৌলিক সংখ্যা < 11}
= {2, 3, 5, 7}

A - B = {x : x ∈ A এবং x ∉ B}
= {7, 8, 9, 10} - {2, 3, 5, 7}
= {8, 9, 10}

প্রশ্ন: MATH শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
MATH শব্দটিতে মোট বর্ণসংখ্যা = 4 টি 
বর্ণগুলো একটি করে আছে। 

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 4!
= 4!
= 24

প্রশ্ন: ৫২টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে নিরপেক্ষভাবে একটি তাস নির্বাচন করা হলো, তাসটি টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট তাস সংখ্যা = ৫২ টি
এর মধ্যে, টেক্কা = ৪ টি

∴ তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/৫২
= ১/১৩

∴ তাসটি টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/১৩)
= (১৩ - ১)/১৩
= ১২/১৩

প্রশ্ন: 10 টি বইয়ের মধ্য থেকে 6 টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 2 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু 2 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে তাই মোট সংখ্যা হবে = (10 - 2) = 8 টি

এখন,
8 টি বইয়ের মধ্য থেকে 6 টি বই বাছাই করার উপায় সংখ্যা,
= ⁸C₆ 
= 8!/{6! × (8 - 6)!}
= 8!/(6! × 2!)
= (8 × 7 × 6!)/(6! × 2!)
= (8 × 7)/2
= 28