১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

প্রশ্ন: a + b = 4 এবং a - b = 2 হলে, a² + b² এর মান কত? 

সমাধান: 
2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)² 
বা, 2(a² + b²) = (4)² + (2)²
বা, 2(a² + b²) = 16 + 4 
বা, 2(a² + b²) = 20 
বা, (a² + b²) = 20/2
∴ a² + b² = 10 

প্রশ্ন: 8² × 8⁰ = কত? 

সমাধান: 
8² × 8⁰
= 64 × 8⁰
= 64 × 1 
= 64 

প্রশ্ন: x কে চলক ধরে a²x + b = 0 সমীকরণের ঘাত নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
কোনো সমীকরণের চলকের সর্বোচ্চ শক্তিকে ঘাত বলে। 
প্রদত্ত সমীকরণ- a²x + b = 0 
বা, a²x¹ + bx⁰ = 0 

∴ x চলকের ঘাত = 1   ।

প্রশ্ন: যদি 2x + y = 2 এবং x + 3y > 6 হয়, তবে- 

সমাধান: 
2x + y = 2
বা, 2x = 2 - y

এখন, 
x + 3y > 6
বা, 2x + 6y > 12  [2 দ্বারা গুণ করে] 
বা, 2 - y + 6y > 12  [∴ 2x = 2 - y] 
বা, 5y > 12 - 2
বা, 5y > 10 
∴ y > 2

প্রশ্ন: একটি পূর্ণ তাসের প্যাকেট থেকে দৈবভাবে একটি তাস তোলা হলো। তাসটি লাল অথবা রাজা হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান:
ধরি,
তাসটি লাল হবার সম্ভাবনা, P(R) = 26/52 
তাসটি রাজা হবার সম্ভাবনা, P(K) = 4/52 
∴ তাসটি লাল এবং রাজা হবার সম্ভাবনা, P(R ∩ K) = 2/52 

∴ তাসটি লাল অথবা রাজা হবার সম্ভাবনা, P(R ∪ K) = P(R) + P(K) - P(R ∩ K) 
= 26/52 + 4/52 - 2/52 
= (26 + 4 - 2)/52
= 28/52
= 7/13 ।

প্রশ্ন: log_x√343 = 3/2 হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
log_x √343 = 3/2 
বা, x^3/2 = √343 
বা, x^3/2 = √7³ 
বা, x^3/2 = 7(^{1/2) × 3}
বা, x^3/2 = (7)^3/2
∴ x = 7

প্রশ্ন: ৪ + ৭ + ১০ + .............. + ৬৭ ধারাটির পদসংখ্যা কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ = ৪
ধারাটির শেষ পদ = ৬৭
ধারাটির সাধারন অন্তর = ৭ - ৪ = ৩ 

∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারন অন্তর} + ১ 
= {(৬৭ - ৪)/৩} + ১ 
= {(৬৩)/৩} + ১ 
= ২১ + ১ 
= ২২ । 

প্রশ্ন: x² - 2ax + (a + b)(a - b) এর উৎপাদক কত? 

সমাধান: 
x² - 2ax + (a + b)(a - b)
= x² - 2ax + a² - b²
= (x - a)² - b² 
= {(x - a) + b}{(x - a) - b} 
= (x - a + b)(x - a - b)

প্রশ্ন: "ELEPHANT" শব্দটির অক্ষরগুলোকে কতভাবে সাজানো যেতে পারে, যদি সব স্বরবর্ণ (E, E, A) একসাথে থাকে? 

সমাধান: 
ELEPHANT শব্দটির মোট অক্ষর আছে = 8 টি (E, L, E, P, H, A, N, T)
স্বরবর্ণ আছে = 3 টি (E, E, A)
ব্যঞ্জনবর্ণ আছে = 5 টি (L, P, H, N, T) 

এখন, 
ELEPHANT শব্দে স্বরবর্ণ আছে 3 টি (E, E, A) যার মধ্যে 2 টি (E) 
∴ স্বরবর্ণগুলোকে সাজানো যাবে = 3!/2!
= 3 ভাবে। 

আবার, 
স্বরবর্ণ (E, E, A)গুলোকে একত্রে ধরলে অক্ষর হয় = EEA, L, P, H, N, T 
এই ৬টি বর্ণকে সাজানো যাবে = 6!
= 720 ভাবে 

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট বিন্যাস = (720 × 3)
= 2160 ।

প্রশ্ন: a + b + c = 15 এবং a² + b² + c² = 83 হলে, ab + bc + ca = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 15
এবং a² + b² + c² = 83 

আমরা জানি, 
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca 
বা, 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²) 
বা, 2(ab + bc + ca) = (15)² - 83 
বা, 2(ab + bc + ca) = 225 - 83 
বা, 2(ab + bc + ca) = 142
বা, (ab + bc + ca) = 142/2 
∴ ab + bc + ca = 71

প্রশ্ন: 2a² - 4ab + 4b² রাশিটির সাথে কত যোগ বা বিয়োগ করলে রাশিটি একটি পূর্ণ বর্গ হবে? 

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি = 2a² - 4ab + 4b² 
= a² + a² - 4ab + 4b² 
= a² - 2.a.2b + (2b)² + a² 
= (a - 2b)² + a² 

∴ a² বিয়োগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ হবে।
---------------------------------
2a² - 4ab + 4b² 
= 2a² - 4ab + 2b² + 2b²
= (√2a)² - 2.√2a.√2b + (√2b)²  + 2b²
= (√2a - √2b)² + 2b² 

2a² - 4ab + 4b² রাশিটি থেকে 2b² বিয়োগ করলে রাশিটি একটি পূর্ণ বর্গ হবে.

অপশনে দ্বৈত উত্তর থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হলো। 

প্রশ্ন: a^{- 3} = 0.2 হলে, a¹² = কত? 

সমাধান: 
a^{- 3} = 0.2
বা, 1/a³ = 2/10
বা, 1/a³ = 1/5
বা, a³ = 5 
বা, (a³)⁴ = (5)⁴ 
বা, a^{(3 × 4)} = (5)⁴
∴ a¹² = 625

প্রশ্ন: |x - 2| ≤ 5 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত? 

সমাধান: 
|x - 2| ≤ 5 
বা, - 5 ≤ x - 2 ≤ 5 
বা, - 5 + 2 ≤ x - 2 + 2 ≤ 5 + 2 
∴ - 3 ≤ x ≤ 7 
এখানে,
x এর সর্বনিম্ন মান = - 3 
এবং x এর সর্বোচ্চ মান = 7  । 

প্রশ্ন: ১ হতে ৫৯ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর গড় কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটির পদগুলো হলো- ১, ২, ৩, ৪, ৫, ............... ৫৯ 
এটি একটি সমান্তর ধারা, 
∴ ধারাটির প্রথম পদ = ১ 
ধারাটির শেষ পদ = ৫৯ 

∴ নির্ণেয় গড় = (শেষ পদ + প্রথম পদ)/২ 
= (৫৯ + ১)/২ 
= ৬০/২ 
= ৩০ ।

প্রশ্ন: x + (2/x) = 3 হলে x³ + (8/x³) = কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি = x³ + (8/x³) 
= {x + (2/x)}³ - 3.x.2/x {x + (2/x)} 
= (3)³ - 6 × 3 
= 27 - 18 
= 9

প্রশ্ন: A = {21, 22, 23, 24} হলে, এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান: 
এখানে, 
A সেটের মোট উপাদান = 4 
A সেটের সর্বমোট উপসেট = 2⁴ = 16 

∴ প্রকৃত উপসেট = 16 - 1 
= 15 ।

প্রশ্ন: 3 জন পুরুষ ও 3 জন মহিলা হতে কতভাবে 2 সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ন্যূনতম পক্ষে 1 জন পুরুষ ও 1 জন মহিলা থাকবে? 

সমাধান: 
3 জন পুরুষ হতে ন্যূনতম পক্ষে 1 জন পুরুষ বেছে নেয়ার উপায় = ³C₁ = 3
3 জন মহিলা হতে ন্যূনতম পক্ষে 1 জন মহিলা বেছে নেয়ার উপায় = ³C₁ = 3

∴ 2 সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করার মোট উপায় = 3 × 3 = 9  ।

প্রশ্ন: 2log₂x - log₂(x - 2) = 3 সমীকরণের সমাধান কোনটি? 

সমাধান: 
2log₂x - log₂(x - 2) = 3 
বা, log₂x² - log₂(x - 2) = 3 
বা, log₂{x²/(x - 2)} = 3
বা, {x²/(x - 2)} = 2³ 
বা, {x²/(x - 2)} = 8
বা, x² = 8(x - 2)
বা, x² - 8x + 16 = 0
বা, x² - 2.x.4 + 4² = 0 
বা, (x - 4)² = 0 
বা, x - 4 = 0 
∴ x = 4

প্রশ্ন: প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় ৩৫ । প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় ৪০ হলে, তৃতীয় সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গড় = ৩৫
∴ প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (৩৫ × ২)
= ৭০ 

আবার, 
প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গড় = ৪০
∴ প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার সমষ্টি = (৪০ × ৩)
= ১২০ 

∴ তৃতীয় সংখ্যাটি = (১২০ - ৭০) 
= ৫০ ।

প্রশ্ন: a² + 7a + x যদি a - 5 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশিটি a - 5 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে a - 5 রাশিটির একটি উৎপাদক এবং a = 5 এর জন্য রাশিটির মান শূন্য হবে। 
অর্থাৎ, a² + 7a + x = 0 
বা, (5)² + 7 × 5 + x = 0 
বা, 25 + 35 + x = 0 
বা, 60 + x = 0 
∴ x = - 60 

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদটি 6 এবং পঞ্চম পদটি 48 হলে, সধারণ অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অনুপাত = r 

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = a × r^{n - 1} 
∴ ২য় পদ = a × r^{2 - 1} = 6
বা, ar = 6 .......... (i)

আবার, 
৫ম পদ = a × r^{5 - 1} = 48
∴ ar⁴ = 48 ...........(¡¡)

(ii) ÷ (i) নং হতে পাই, 
ar⁴/ar = 48/6
বা, r³ = 8 
বা, r³ = 2³
∴ r = 2 

∴ সাধারণ অনুপাত = 2  ।