৫১তম বিসিএস ফাইনাল মডেল টেস্ট ও রিভিশন

মনেকরি, 
সংখ্যা দুটি a ও b 

প্রশ্নমতে 
a - b = 4 
ab = 60

আমরা জানি, 
(a + b)² = (a - b)² + 4ab
(a + b)² = 4² + 4 × 60 
(a + b)² =16 + 240
(a + b)² = 256
(a + b)² = 16²
a + b = 16 

সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ ১৩৫° 
সুতরাং সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিস্থঃ কোণ = ১৮০° - ১৩৫° 
                                                       = ৪৫°
আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃ কোণের সমষ্টি = ৩৬০°

সুতরাং বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/৪৫°
                                                       = ৮

6x² - 7x - 5
= 6x² - 10x + 3x - 5 
= 2x(3x - 5) + 1(3x - 5)
= (3x - 5)(2x + 1)

 

 ΔOAC 
OA² = AC² + OC²
5²  = AC² + 3²
25 - 9 = AC² 
16 = AC² 
AC² = 4²
AC = 4

আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন কোন জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
AB = 2AC 
      = 2 × 4 
      = 8 সে.মি.

log₁₀ (x² -6x + 10) = 0
x² -6x + 10 = 10⁰
x² -6x + 10 = 1
x² - 6x + 10 -1 = 0 
x² - 6x + 9 = 0 
x² - 2.x.3 + 3² = 0
(x - 3)² = 0 
x - 3 = 0
x = 3 

ধরি, 
সংখ্যা দুটির গ.সা.গু x 
সংখ্যা দুটির ল.সা.গু 12x 

প্রশ্নমতে, 
x + 12x = 403 
13x = 403 
x = 403/13 
x  = 31 

সংখ্যা দুটির গ.সা.গু 31
সংখ্যা দুটির ল.সা.গু 12 × 31 = 372

আমরা জানি,
একটি সংখ্যা × অপর সংখ্যা = গ. সা. গু. × ল. সা. গু.

অপর সংখ্যা = (372 × 31)/93 = 124

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৬ টাকা
১ টাকার ১ বছরের সুদ ৬/১০০ টাকা
∴ ৪৫০〃  ১   〃    〃(৬×৪৫০)/১০০〃
                                = ২৭ টাকা

মোট সুদের পরিমাণ = (৫৫৮ - ৪৫০) = ১০৮ টাকা

২৭ টাকা সুদ হয় ১ বছরে
১০৮  ''     ''    '' ১০৮/২৭ 〃
                    = ৪ বছরে

বল দুটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = (১০/২০) × (৯/১৯)
                                             = ৯/৩৮

বল দুটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা = (১০/২০) × (৯/১৯)
                                            = ৯/৩৮

বল দুটি একই রঙের (দুটিই সাদা অথবা দুটিই নীল) হওয়ার সম্ভাবনা = (৯/৩৮) + (৯/৩৮)
                                                                                                     = (৯ + ৯)/৩৮
                                                                                                     = ১৮/৩৮
                                                                                                     = ৯/১৯

দেয়া আছে, 
x = 1 - a 
 y = 2a + 1 

এখন 
x = y 
1 - a  = 2a + 1 
- a - 2a = 1 - 1 
-3a = 0
a = 0

মনেকরি, 
সংখ্যাগুলো x  ও y 

 প্রশ্নমতে, 
x + y = 22 
x² +y² = 404 

 আমরা জানি, 
(x + y)² =  x² +y² + 2xy 
22² = 404 + 2xy 
2xy = 484 - 404 
2xy = 80 
xy = 40 

বাংলায় অকৃতকার্য হয়েছে ৪৫% ছাত্র
গণিতে  অকৃতকার্য হয়েছে ২০% ছাত্র 
উভয় বিষয়ে অকৃতকার্য হয়েছে ১০% ছাত্র

শুধু বাংলায় অকৃতকার্য হয়েছে (৪৫ - ১০)% ছাত্র
                                              = ৩৫%
শুধু গণিতে অকৃতকার্য হয়েছে (২০ - ১০)% ছাত্র
                                              = ১০% ছাত্র 
বাংলা ,গণিত এবং উভয় বিষয়ে অকৃতকার্য হয়েছে = (৩৫ + ১০ +১০)% ছাত্র
                                                                            = ৫৫% ছাত্র 

    
∴ উভয় বিষয়ে কৃতকার্য হয়েছে = (১০০ - ৫৫)%
                                             = ৪৫%

ধরি , 
A, B, C এবং D এর টাকার পরিমাণ যথাক্রমে ৩ক, ৪ক, ৯ক ও ১০ক 

প্রশ্নমতে, 
৯ক - ৪ক = ২৫৮০ 
৫ক = ২৫৮০ 
ক = ২৫৮০/৫ 
ক = ৫১৬ 

A এবং D এর মোট টাকার পরিমাণ = ৩ক + ১০ক 
                                                     = ১৩ক 
                                                      = ১৩ × ৫১৬ 
                                                      = ৬৭০৮ টাকা 

n(A) < n(B) লেখা যাবে  যখন A সেটটি B  সেটের প্রকৃত উপসেট  অর্থাৎ A ⊂ B হবে।  

কোন সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে ঐ সেটের প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ -1 এবং উপসেট = 2ⁿ

ধরি 
কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা = 3 তাহলে,
ঐ সেটের প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা = 2­³ - 1
                                     = 8 - 1
                                      = 7
এবং উপসেটের সংখ্যা= 2³ = 8

এখানে,
P = ৫০০০ টাকা
r = ১০%,
n = ৩
∴ চক্রবৃদ্ধি সুদাসল = P (1 + r)ⁿ
= ৫০০০ × {১ + (১০/১০০)}^৩
= ৫০০০ × (১১০/১০০)^৩
= ৬৬৫৫ টাকা

∴ চক্রবৃদ্ধি সুদ = ৬৬৫৫ - ৫০০০
                       = ১৬৫৫ টাকা
আবার,
সরল সুদ = P × n × r
= ৫০০০ × ৩ × (১০/১০০)
= ১৫০০ টাকা
∴ সুদের পার্থক্য = ১৬৫৫ - ১৫০০
                         = ১৫৫ টাকা

মনে করি, 
সংখ্যাটি x 

প্রশ্নমতে, 
(x/5) + 4 = (x/ 4) - 10
(x/5)  -  (x/ 4) = - 10 - 4 
(4x - 5x)/20 = - 14 
-x/20 = -14 
x = 280

   
 ∠A +∠B + ∠C+ ∠D = 360°
∠A + ∠C + 180° = 360°
 ∠A + ∠C= 360° - 180°
∠A + ∠C = 180°

'ACCLAIM' শব্দটিতে মোট 7টি বর্ণ আছে যার 3টি স্বরবর্ণ ও 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
3টি স্বরবর্ণকে 1টি ধরে মোট বর্ণ সংখ্যা 5টি কে সাজানো যায় = 5!/2! (যেহেতু C দুইটি)
                                                                                            = 60 উপায়ে

আবার
3 টি স্বরবর্ণকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 3!/2! (যেহেতু A দুইটি)
                                                                    = 3 উপায়ে

সুতরাং নির্ণেয় সাজানো সংখ্যা = 3 × 60
                                              = 180 উপায়ে।

 
এখানে, 
∠CEF = ∠AED = 50° [বিপ্রতীপ কোণ] 

আমরা জানি,
কোন ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ অন্তঃস্থ বিপরীত দুই কোণের সমষ্টির সমান।

ΔADE এর বহিঃস্থ কোণ 
∠BDE = ∠AED +  ∠DAE 
         = 50° + 60°
          = 110°

এখানে
১ম পদ a = 29,
সাধারণ অন্তর d = 25 - 29 = - 4

ধরি, ধারাটির n তম পদ = -15

আমরা জানি,
 n তম পদ = a + (n - 1)d
বা, -15 = 29 +(n - 1)×(- 4)
বা, -15 = 29 - 4n + 4 
বা, 4n = 33 + 15
বা 4n = 48 
      n = 12

2^{2x - 1}= 1/8^{x- 3}
2^{2x - 1} = 1/(2³)^{x - 3}
2^{2x - 1} =1/2^{3x - 9}
2^{2x - 1} =2^{-(3x - 9)}
2x - 1 = -(3x - 9)
2x - 1 = - 3x + 9 
2x+ 3x = 9 +1 
5x = 10 
x = 10/5 
x = 2 

মনে করি,
ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা x জন

প্রশ্নমতে,
x(x+25) = 75 × 100 [∵ 75 টাকা = 7500 পয়সা]
⇒ x² + 25x -7500 = 0
⇒ x² +100x - 75x-7500 = 0
⇒ x(x+100) -75(x+100) = 0
হয়                              অথবা
x-75 = 0                          x + 100=0
∴ x=75                              x = -100 [ গ্রহণযোগ্য নয়]

∴ ঐ শ্রেণিতে 75 জন ছাত্র ছাত্রী আছে।

ধরি, 
১ টি বলের ক্রয়মূল্য ক টাকা 

প্রশ্নমতে, 
১৭ক  = ৭২০ + ৫ক 
১৭ক - ৫ক = ৭২০ 
১২ক = ৭২০ 
ক = ৭২০/১২
ক = ৬০ টাকা 

আমরা জানি,
যদি উপাত্তের সংখ্যা n হয় আর n যদি জোড় হয় তবে মধ্যক হবে n/2 তম ও {(n/2) + 1} তম পদ দুইটির সাংখ্যিক মানের গড়।

উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই- 
15, 16, 17, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 24
 উপাত্ত সংখ্যা = 10

মধ্যক হবে 10/2 তম ও {(10/2) + 1)} তম পদ দুইটির সাংখ্যিক মানের গড়
  = 5 তম ও 6 তম পদ দুইটির সাংখ্যিক মানের গড়

∴ মধ্যক = (18 + 20)/2 =19

3 জন পুরুষ ও 1জন মহিলা বিশিষ্ট কমিটি= ⁸C₃ × ⁶C₁
                                                              = 56 × 6 = 336 
2 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলা বিশিষ্ট কমিটি= ⁸C₂ × ⁶C₂
                                                               =28×15=420

1 জন পুরুষ ও 3 মহিলা বিশিষ্ট কমিটি= ⁸C₁ × ⁶C₃
                                                        =8 × 20 = 160

0 জন পুরুষ ও 4 মহিলা বিশিষ্ট কমিটি=⁶C₄ = 15

মোট উপায়= (336 + 420 + 160 + 15)= 931 

ধরি, 
দশক স্থানীয় অঙ্ক x 
একক স্থানীয় অঙ্ক y 
সংখ্যাটি = 10x + y 

10x  + y = 7(x + y)
10x + y = 7x + 7y 
10x - 7x = 7y - y 
3x = 6y 
x = 2y................ (1)

 অঙ্কগুলো স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তাহলো = 10y + x 

10x + y - ( 10y + x ) = 18
10x + y - 10y - x = 18 
9x - 9y = 18 
x - y = 2 
2y - y = 2 
y = 2 

(1)নং হতে পাই, 
x = 2y
   = 2 × 2 
   = 4

সংখ্যাটি = 10x + y 
             = 10 × 4 + 2
              = 42

x ও y দুটি বিজোড় সংখ্যা হলে জোড় সংখ্যা = x + y 

দুটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল জোড়  সংখ্যা হয়।

ধরি 
বর্গক্ষেত্রের একবাহু = a
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a

এখন 
পরিসীমা/কর্ণ =  4a/√2a
পরিসীমা/কর্ণ = 4/√2
 পরিসীমা/কর্ণ = 2√2.√2/√2
পরিসীমা/কর্ণ = 2√2
পরিসীমা = 2√2 × কর্ণ

একটি বর্গের পরিসীমা এর কর্ণের 2√2  গুণ

মনে করি
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
ক × ৪ + ১ = ক × ৩ + ৬
বা, ৪ক + ১ = ৩ক + ৬
বা, ৪ক - ৩ক = ৬ - ১
বা, ক = ৫
∴ সংখ্যাটি = ৫

1³ + 2³ + 3³ +...........+n³ = 441
{n(n + 1)/2}² =441
n(n + 1)/2 = 21
n(n + 1) = 42
n² + n - 42 = 0
n² + 7n - 6n - 42= 0
n(n+7) - 6(n+7) = 0
(n - 6)(n + 7) = 0

হয়                     অথবা
n - 6 = 0                   n + 7= 0
n = 6                          n = - 7  [গ্রহণযোগ্য নয়, কেননা n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না]

ধরি,
একটি ঘনকের এক ধার a 
অপর ঘনকের একধার b 

a³/ b³ = 27 /1
(a/b)³  = (3/1)³
a/b = 3/1 
a : b = 3 : 1 

ত্রিভুজের তিনকোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
ত্রিভুজটির তৃতীয় কোণের পরিমাপ = ১৮০°- (৫৩° + ৩৭°)
                                                    = ৯০°
অতএব, ত্রিভুজটি সমকোণী।

মনেকরি,
বেলনটির উচ্চতা h এবং ভূমির ব্যাসার্ধ r 

প্রশ্নমতে,
2πrh = 100 ...........  (1)
πr²h = 150 ............ (2)

(2)নং কে  (1) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
πr²h/2πrh = 150/100
r/2 =3/2 
r= 3

প্রশ্নমতে,
বা, ⁿC₂ = 55
বা,n(n - 1)/2 = 55
বা,n² - n - 110 = 0
বা,n² -11n + 10n - 110 = 0
বা n(n - 11) + 10(n - 11) = 0 
বা,(n -11)(n + 10) = 0
n = 11  [n =-10 গ্রহন যোগ্য নয়]

∴ ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা 11 জন।

রিফাত ও নিশাত ৪ দিনে করতে পারে কাজটির ১ অংশ 
রিফাত ও নিশাত ১ দিনে করতে পারে কাজটির ১/৪ অংশ 

রিফাত ৬ দিনে করতে পারে কাজটির ১ অংশ 
রিফাত ১ দিনে করতে পারে কাজটির ১/৬ অংশ 

নিশাত ১ দিনে করতে পারে কাজটির = (১/৪) - (১/৬)অংশ 
                                                        = (৩ - ২)/১২অংশ 
                                                         = ১/১২ অংশ 
নিশাত ১/১২ অংশ কাজ করতে পারে ১ দিনে 
নিশাত ১ অংশ কাজ করতে পারে ১× ১২ দিনে 
                                                  = ১২ দিনে

দেওয়া আছে, 
a² + b² = 4 
a² - b² = - 4

a⁴ + b⁴ = (a²)² + (b²)² 
             = {(a² + b²)² +(a² - b²)²}/2
             = {4² + (- 4)²}/2
              = (16 + 16)/2 
              = 32/2 
              = 16

ঘনকের ধার a হলে,
ঘনক আকৃতির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল= 6a²

প্রশ্নানুসারে,
6a² = 2904
a² = 2904/6
a²=484
a=22

∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3a
                 = 22√3

আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।

এখানে ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6/2 = 3 সে.মি.
এবং ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 4/2 = 2 সে.মি. 

সুতরাং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 3 + 2 = 5 সে.মি.

ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ x এবং
অপর কোণ x + 12°

এখন
x + x + 12° + 90° = 180°
⇒ 2x = 180° - 102°
⇒ x = 78°/2
∴ x = 39°