১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

প্রশ্ন: একটি ভাগ অঙ্কের ভাগফলের এক-তৃতীয়াংশ ভাজক, ভাগশেষ ভাজকের অর্ধেক। ভাগফল ১৩২ হলে, ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ভাজক = ভাগফলের এক তৃতীয়াংশ = ১৩২/৩ = ৪৪ 
ভাগশেষ = ভাজকের অর্ধেক = ৪৪/২ = ২২ 

আমরা জানি, 
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= (৪৪ × ১৩২) + ২২ 
= ৫৮০৮ + ২২ 
= ৫৮৩০

প্রশ্ন: ​10x² - 27x + 18 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি,
​10x² - 27x + 18​
​= 10x² - 12x - 15x + 18
​= 2x(5x - 6) - 3(5x - 6)
​= (5x - 6)(2x - 3)

প্রশ্ন: স্থির পানিতে একটি নৌকার গতিবেগ ঘণ্টায় ৪ কি.মি.। স্রোতের অনুকূলে নৌকাটি ৩ ঘণ্টায় ১৮ কি.মি. পথ অতিক্রম করে। একই দূরত্ব স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসতে নৌকাটির কত সময় লাগবে? 

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে,
নৌকাটির গতিবেগ = দূরত্ব/সময় = (১৮/৩) কি.মি./ঘণ্টা = ৬ কি.মি./ঘণ্টা

আমরা জানি,
স্রোতের বেগ = স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ - স্থির পানিতে নৌকার বেগ
= (৬ - ৪) কি.মি./ঘণ্টা
= ২ কি.মি./ঘণ্টা

ফিরে আসার সময়,
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = স্থির পানিতে নৌকার বেগ - স্রোতের বেগ
= (৪ - ২)কি.মি./ঘণ্টা
= ২ কি.মি./ঘণ্টা

এখন, স্রোতের প্রতিকূলে,
২ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করে ফিরে আসতে সময় লাগে = ১ ঘণ্টা
∴ ১ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করে ফিরে আসতে সময় লাগে = ১/২ ঘণ্টা
∴ ১৮ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করে ফিরে আসতে সময় লাগে = (১ × ১৮)/২ ঘণ্টা = ৯ ঘণ্টা

প্রশ্ন: যদি p - q = 4 এবং pq = 45, তবে p² - q² = ?
​
​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​p - q = 4 এবং pq = 45
​
​আমরা জানি,
​(p + q)² = (p - q)² + 4pq
⇒ ​(p + q)² ​= (4)² + 4 × 45
⇒ ​​(p + q)² = 16 + 180
⇒ ​​(p + q)² = 196
⇒ ​p + q = √196 = 14
∴ ​​p + q = 14​
​
​এখন,
​ p² - q² = (p + q)(p - q) = 14 × 4 = 56

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব যদি তিন বাহুর দৈর্ঘ্য হয়-

সমাধান: 
অপশন ঘ হতে পাই,

আমরা জানি, 
পিথাগোরাসের উপপাদ্য,
a² + b² = c²
⇒ (৯^২) + (১২^২) = ১৫^২ 
⇒ ৮১ + ১৪৪ = ২২৫ 
∴ ২২৫ = ২২৫ 
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের শর্তপূরণ করে। 
সঠিক উত্তর ঘ 

অন্য অপশন গুলো পিথাগোরাসের উপপাদ্যের শর্তপূরণ করে না। 

প্রশ্ন: ক : খ = ৪ : ৫ এবং খ : গ = ২ : ৩ অনুপাতে যদি ক এর ১৬০০ টাকা থাকে তাহলে 'খ' এর টাকার পরিমান কত?

সমাধান: 
ক : খ = ৪ : ৫ = (৪ × ২) : (৫ × ২) = ৮ : ১০
খ : গ = ২ : ৩ = (২ × ৫) : (৩ × ৫) = ১০ : ১৫

∴ ক : খ : গ = ৮ : ১০ : ১৫

ধরি,
ক, খ ও গ এর টাকার পরিমাণ যথাক্রমে ৮ক, ১০ক ও ১৫ক টাকা

প্রশ্নমতে,
৮ক = ১৬০০
বা, ক = ১৬০০/৮
∴ ক = ২০০

∴ খ এর টাকার পরিমাণ = (১০ × ২০০) টাকা = ২০০০ টাকা।

প্রশ্ন: বাঁশের ৪/৯ অংশ কাদায়, ১/৩ অংশ পানিতে এবং বাকি ১০ মিটার পানির উপরে। বাঁশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

কাদায় ও পানিতে আছে= {(৪ক/৯) + (ক/৩)} অংশ
= {(৪ক + ৩ক)/৯} অংশ
= ৭ক/৯ অংশ

∴ পানির উপরে আছে = ক - (৭ক/৯)
= (৯ক - ৭ক)/৯ অংশ
= ২ক/৯ অংশ

প্রশ্নমতে,
২ক/৯ = ১০ মিটার
⇒ ২ক = ৯ × ১০ 
⇒ ২ক = ৯০
⇒  ক = ৯০/২ 
⇒  ক = ৪৫

অর্থাৎ সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ৪৫ মিটার

প্রশ্ন: যদি x√x = 27 হয়, তাহলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x√x = 27
⇒ (x√x)² = (27)²   ; [বর্গ করে পাই]
⇒ x² . x = (3³)²
⇒ x³ = (3²)³
⇒ x = 3²
∴ x = 9

প্রশ্ন: ৩০০ জন শ্রমিক ২৫ দিনে একটি বাঁধ তৈরি করতে পারে। একই কাজ ১৫ দিনে শেষ করতে হলে কতজন অতিরিক্ত শ্রমিক প্রয়োজন?
​
​সমাধান:
​বাঁধ তৈরি করতে,
২৫ দিনে শ্রমিক লাগে= ৩০০ জন 
∴ ১ দিনে শ্রমিক লাগে = (৩০০ × ২৫) জন
​∴ ১৫ দিনে শ্রমিক লাগে = (৩০০ × ২৫)/১৫ জন = ৫০০ জন

অতএব, অতিরিক্ত শ্রমিক প্রয়োজন হবে = (৫০০ - ৩০০) জন = ২০০ জন

প্রশ্ন: যদি একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 3r হয়, তবে তার আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গোলকের ব্যাসার্ধ = 3r

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (4/3) × πr³
= (4/3) × π(3r)³
= (4/3) × π × 27 × r³
= 36πr³ 

 প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা:  p/q  আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q  পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0।
সকল পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা।

অমূলদ সংখ্যা: যে সংখ্যাকে p/q  আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।

এখন, 
ক) π = 3.14159…
খ) √3 = 1.73205081…
গ) e = 2.71828…
ঘ)


সুতরাং, সঠিক উত্তর ঘ 

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ১৭/২ টাকা মুনাফায় কত টাকার ৬ বছরের মুনাফা ২৫৫০ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সুদের হার, r = ১৭/২% = ৮.৫%
সময় = ৬ বছর
মোট মুনাফা = ২৫৫০ টাকা

 আমরা জানি, 
মূলধন = (সুদ × ১০০)/(হার × সময়)
= (২৫৫০ × ১০০)/(১৭/২ × ৬)
= (২৫৫০ × ১০০)/৫১ 
= ৫০ × ১০০
= ৫০০০ 

সুতরাং, আসল ৫০০০ টাকা। 

প্রশ্ন: 


সমাধান: 

প্রশ্ন: একজন বিক্রেতা একটি রেফ্রিজারেটরের ধার্য মূল্য তার ক্রয়মূল্যের থেকে ৩০% বেশি নির্ধারণ করেন। যদি তিনি ১০% ছাড় দেন এবং ৮৫০ টাকা লাভ করেন, তাহলে রেফ্রিজারেটরের ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
তাহলে ধার্য মূল্য = ১০০ + ৩০% = ১৩০ টাকা 

আবার, 
১০% ছাড় দেওয়ার পর বিক্রয়মূল্য = ১৩০ -  ১৩০ এর ১০%
= ১৩০ - ১৩ = ১১৭ টাকা  

∴ টাকা লাভ = ১১৭ - ১০০ = ১৭ টাকা

যখন ১৭ টাকা লাভ হয় তখন ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা  প্রশ্নে লাভ
∴ যখন ১ টাকা লাভ হয় তখন ক্রয়মূল্য = ১০০/১৭ টাকা
∴ যখন ৮৫০ টাকা লাভ হয় তখন ক্রয়মূল্য = (১০০/১৭) × ৮৫০ = ৫০০০ টাকা

সুতরাং, রেফ্রিজারেটরের ক্রয়মূল্য ৫০০০ টাকা। 

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণ ১০ মিটার, এবং ক্ষেত্রফল ১৪০ বর্গমিটার। যদি দ্বিতীয় কর্ণটি ২০% বৃদ্ধি করা হয়, তাহলে ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি কর্ণ, d₁ = ১০ মিটার
এবং ক্ষেত্রফল A = ১৪০ বর্গমিটার।

আমরা জানি, 
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × d₁ × d₂
⇒ ১৪০ = (১/২) ​× ১০ × d₂​
⇒ ৫ × d₂​ = ১৪০
⇒ d₂ ​= ২৮

দ্বিতীয় কর্ণটি ২০% বৃদ্ধি করলে:
d₂′ = ২৮ × ১.২
= ৩৩.৬ মিটার

∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (১/২) × ১০ × ৩৩.৬
= ৫ × ৩৩.৬
= ১৬৮ বর্গমিটার
 
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = ১৬৮ বর্গমিটার

প্রশ্ন: চিনির মূল্য ২০% কমে গেল, কিন্তু এর ব্যবহার ২০% বৃদ্ধি পেল। এতে চিনি বাবদ ব্যয় শতকরা কত বাড়লো বা কমলো?

সমাধান: 
২০% কমে যাওয়ায় চিনির বর্তমান মূল্য = (১০০ - ২০) = ৮০ টাকা
চিনির ব্যবহার ২০% বৃদ্ধি পাওয়ায়, বর্তমানে চিনি ব্যবহৃত হয় = (১০০ + ২০) = ১২০ টাকা

∴ ১০০ টাকার চিনির স্থানে ব্যবহার হয় ১২০ টাকার চিনি
∴ ১ টাকার চিনির স্থানে ব্যবহার হয় = ১২০/১০০ টাকার চিনি 
∴ ৮০ টাকার চিনির স্থানে ব্যবহার হয় = (১২০ × ৮০)/১০০ = ৯৬ টাকা চিনি

চিনি বাবদ শতকরা ব্যয় কমে (১০০ - ৯৬)= ৪ টাকা

প্রশ্ন: ৭৫৬ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
৭৫৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৭
= ২^২ × ৩^৩ × ৭^১

এখানে,
২ এর সূচক ২, ৩ এর সূচক ৩ এবং ৭ এর সূচক হলো ১

এখন, প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (৩ + ১) × (১ + ১)
= ৩ × ৪ × ২
= ২৪

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ২৪।

প্রশ্ন: x² - 3x - 10 এবং x³ + 6x² + 8x এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = x² - 3x - 10
= (x² - 5x + 2x - 10)
= {x(x - 5) + 2(x - 5)}
= (x + 2)(x - 5) 

২য় রাশি = x³ + 6x² + 8x
= x(x² + 6x + 8)
= x(x² + 2x + 4x + 8)
= x {x(x + 2) + 4(x + 2)}
= x(x + 2)(x + 4) 

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (x + 2) 

প্রশ্ন: (0, - 4) বিন্দুগামী এবং 3 ঢালযুক্ত সরলরেখার সমীকরণ কী ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
(0, -4) বিন্দুগামী এবং 3 ঢালযুক্ত

আমরা জানি,
y - y1 = m(x - x1)
যেখানে (x₁, y₁) একটি বিন্দু এবং m হল ঢাল।
⇒ y - (- 4) = 3(x - 0)
⇒ y + 4 = 3x
∴ y = 3x - 4

প্রশ্ন: যদি 1 + tan²θ = 4 এবং θ < 90° হয়, তবে θ মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
1 + tan²θ = 4 and θ < 90°
⇒ sec²θ = 4    ; [sec²θ = 1 + tan2θ]
⇒ (secθ)² = (2)²
⇒ secθ = 2
⇒ secθ = sec60°
⇒ θ = 60°

প্রশ্ন: সমানুপাতের দ্বিতীয় ও তৃতীয় রাশিকে বলে-

সমাধান:
সমানুপাত হলো, a : b : : c : d
অথবা a/b = c/d

এখানে, 
প্রথম ও চতুর্থ রাশি → প্রান্ত রাশি (Extremes)
দ্বিতীয় ও তৃতীয় রাশি → মধ্য রাশি (Means)
অর্থাৎ,
a এবং d → প্রান্ত রাশি
b এবং c → মধ্য রাশি

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যা তৃতীয় একটি সংখ্যার চেয়ে যথাক্রমে ২৫% এবং ৪০% কম। তাহলে দ্বিতীয় সংখ্যাটি প্রথম সংখ্যার থেকে কত শতাংশ কম?

সমাধান: 
ধরি,
তৃতীয় সংখ্যাটি হলো ১০০ 

প্রথম সংখ্যাটি তৃতীয় সংখ্যার চেয়ে ২৫% কম।
∴ প্রথম সংখ্যাটি = ১০০ - [(২৫/১০০) × ১০০] = ১০০ - ২৫ = ৭৫

আবার, 
দ্বিতীয় সংখ্যাটি তৃতীয় সংখ্যার চেয়ে ৪০% কম। 
∴ দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ১০০ - [(৪০/১০০) × ১০০] = ১০০ - ৪০ = ৬০

∴ প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার পার্থক্য = ৭৫ - ৬০ = ১৫ 

∴ দ্বিতীয় সংখ্যাটি প্রথম সংখ্যার থেকে কম = (১৫/৭৫) × ১০০% = ২০% 

প্রশ্ন: (5x/6) + 4 এবং (x/3) + 12 পরস্পর সমান হলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
(5x/6) + 4 =  (x/3) + 12 
⇒ (5x/6) - (x/3) = 12 - 4 
⇒ (5x - 2x)/6 = 8 
⇒ 3x/6 = 8 
⇒ x/2 = 8 
⇒ x = 8 × 2 
∴ x = 16

প্রশ্ন: x + 3x + 5x + .......... + 149x ধারাটিতে কতটি পদ রয়েছে?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।  যার
প্রথম পদ, a = x
সাধারণ অন্তর, d = 3x - x = 2x

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে, 
a + (n - 1)d = 149x
⇒ x + (n - 1)(2x) = 149x
⇒ x + 2nx - 2x = 149x
⇒ x(2n - 1) = 149x
⇒ 2n - 1 = 149
⇒ 2n = 149 + 1
⇒ n = 150/2
∴ n = 75

সুতরাং, ধারাটিতে 75 টি পদ রয়েছে। 

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথক্রমে 8 সে.মি. ও 10 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60°। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথক্রমে 8 সে.মি. ও 10 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60°

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের দুটি বাহু a ও b হলে, এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ হলে, 
ক্ষেত্রফল = (1/2) × absinθ
= (1/2) × 8 × 10 × sin60°
=  (1/2) × 8 × 10 × (√3/2)
= 20√3 বর্গসে.মি. 

প্রশ্ন: একজন লোকের কাছে ১ টাকা, ৫ টাকা ও ১০ টাকার নোট মিলে মোট ৪৮০ টাকা আছে। প্রত্যেক মূল্যের নোটের সংখ্যা সমান। মোট কতগুলি নোট আছে?

সমাধান:
ধরি,
১ টাকার নোট = ক টি
৫ টাকার নোট = ক টি
১০ টাকার নোট = ক টি
(কারণ প্রত্যেক মূল্যের নোটের সংখ্যা সমান)

∴ মোট টাকা = (১ × ক) + (৫ × ক) + (১০ × ক) = ১৬ক টাকা

প্রশ্নমতে,
১৬ক = ৪৮০
⇒ ক = ৪৮০/১৬
∴ ক = ৩০

∴ প্রত্যেক মূল্যের নোট = ৩০টি করে
∴ মোট নোট = ৩০ + ৩০ + ৩০ = ৯০ টি

যাচাই
১ × ৩০ + ৫ × ৩০ + ১০ × ৩০
= ৩০ + ১৫০ + ৩০০
= ৪৮০ টাকা

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% হার সুদে কত বছরে ৮০০০ টাকার চক্রবৃদ্ধি মূলধন ১০৬৪৮ টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = ৮০০০ টাকা 
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, A = ১০৬৪৮ টাকা 
সুদের হার, r = ১০%
সময়, n = ?

আমরা জানি,
A = P{১ + (r/১০০)}ⁿ
⇒ ১০৬৪৮ = ৮০০০{১ + (১০/১০০)}ⁿ
⇒ ১০৬৪৮ =৮০০০{১ + (১/১০)}ⁿ
⇒ ১০৬৪৮ = ৮০০০{(১০ + ১)/১০}ⁿ
⇒ ১০৬৪৮ = ৮০০০(১১/১০)ⁿ
⇒ (১১/১০)ⁿ = ১০৬৪৮/৮০০০
⇒ (১১/১০)ⁿ = ১৩৩১/১০০০
⇒ (১১/১০)ⁿ = (১১/১০)^৩
⇒ n = ৩

∴ সময় = ৩ বছর

প্রশ্ন: এক বর্গকিলোমিটার কত বর্গমিটারের সমান হয়?

সমাধান:
আমরা জানি, 
১ কিলোমিটার = ১০০০ মিটার
∴ ১ বর্গকিলোমিটার = (১ কিলোমিটার) × (১ কিলোমিটার)
= (১০০০ × ১০০০) মিটার
= ১০,০০,০০০ বর্গমিটার
= ১০ লক্ষ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ২০ লিটার মিশ্রনে ২০% অ্যালকোহল এবং বাকিটা পানি আছে। যদি মিশ্রনে ৫ লিটার পানি যোগ করা হয় তবে মিশ্রনে অ্যালকোহলের শতকরা পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
মোট মিশ্রণ = ২০ লিটার
অ্যালকোহল = ২০%
পানি = (১০০ - ২০)% = ৮০% 

∴ মিশ্রণে অ্যালকোহলের পরিমাণ = ২০ এর ২০%
= ২০ এর ২০/১০০ = ৪ লিটার 

∴ পানির পরিমাণ = ২০ - ৪ = ১৬ লিটার

আবার,
৫ লিটার জল যোগ করার পর, 
নতুন পানি  = ১৬ + ৫ = ২১ লিটার
নতুন মোট মিশ্রণ = ৪ + ২১ = ২৫ লিটার

∴ নতুন মিশ্রণে অ্যালকোহলের শতকরা পরিমাণ = (৪/২৫) × ১০০% = ১৬% 

∴ নতুন মিশ্রণে অ্যালকোহলের শতকরা পরিমাণ = ১৬%

প্রশ্ন: দশ বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
একটি n বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের = [(n - 2) × ১৮০°] / n
= [(10 - 2) × 180°] / 10
= (8 × 180°)/10
= 144°

∴ দশ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ 144° 

প্রশ্ন: যদি a এবং b পূর্ণ সংখ্যা এবং a^b = 121 হয়, তাহলে (a - 1)^{b + 1} = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a^b = 121
a^b = 11²
যেখানে, 
a = 11 এবং b = 2

প্রদত্ত রাশি, 
(a - 1)^{b + 1}
= (11 - 1)^{2 + 1}  [a ও b এর মান বসিয়ে পাই]
= 10³
= 1000

প্রশ্ন: A, B, C, D চারটি বর্ণ। বর্ণ চারটি হতে পূনরাবৃত্তি না ঘটিয়ে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতভাবে সাজানো যায়? 

সমাধান: 
মোট বর্ণ, n = 4
প্রতিবারে নিতে হবে 3 টি বর্ণ, r = 3 (এখানে কতটি বর্ণ নিতে হবে তা বলে দেয়া আছে)

মোট সাজানোর উপায় = ⁿP_r = n!/(n - r)!
= 4!/(4 - 3)!
= 4!/1!
= 4 × 3 × 2 × 1
= 24

সুতরাং, মোট ২৪টি ভাবে তিনটি বর্ণ সাজানো যায়।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যা যথাক্রমে ৯৬ এবং ৬৪। এই দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. এবং গ.সা.গু. -এর গুণফল কত?

সমাধান: 
৯৬ এবং ৬৪ ল.সা.গু. = ১৯২ 
এবং 
৯৬ এবং ৬৪ গ.সা.গু. = ৩২  

∴ ল.সা.গু. × গ.সা.গু. = ১৯২ × ৩২ = ৬১৪৪

প্রশ্ন: যদি f(n) = n³ + pn² - 4n - 8 হয়, তবে p এর কোন মানের জন্য f(- 2) = 0 হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
f(n) = n3 + pn2 - 4n - 8
f(- 2) = (- 2)3 + p(- 2)2 - 4(- 2) - 8
= - 8 + 4p + 8 - 8
∴ f(- 2) = 4p - 8

প্রশ্নমতে, 
4p - 8 = 0
⇒ 4p = 8
⇒ p = 8/4
∴ p = 2

সুতরাং,  p এর মান 2 হলে  f(- 2) = 0 হবে।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সে.মি.। যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ অর্ধেক করা হয়, তবে নতুন বৃত্তের ক্ষেত্রফল শতকরা কত হ্রাস পাবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2

এখন, 
মূল ব্যাসার্ধ, r₁ = 7 সে.মি.
∴ মূল ক্ষেত্রফল, A₁ = πr₁² = π × 7² = 49π বর্গ সে.মি.

আবার, 
নতুন ব্যাসার্ধ, r₂ = 7/2 = 3.5 সে.মি.
∴ নতুন ক্ষেত্রফল, A₂ =  πr₂² = π × (3.5)₂ = 12.25π বর্গ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফলের হ্রাস =  A₁ - A₂ = 49π - 12.25π = 36.75π বর্গ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা হ্রাস = (36.75π/49π) × 100% = 75%

প্রশ্ন: ৫০ মিটার দৈর্ঘ্য এবং ৪০ মিটার প্রস্থবিশিষ্ট একটি মাঠের ঠিক মাঝে আড়াআড়িভাবে ১.৫ মিটার প্রশস্ত দুইটি রাস্তা আছে । রাস্তা দুইটির মোট ক্ষেত্রফল কত ?

সমাধান:
দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = ৫০ × ১.৫ বর্গমিটার
= ৭৫ বর্গমিটার
প্রস্থ বরাবর রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = (৪০ - ১.৫) × ১.৫ বর্গমিটার
= ৩৮.৫ × ১.৫ বর্গমিটার
= ৫৭.৭৫ বর্গমিটার

অতএব, রাস্তাদ্বয়ের ক্ষেত্রফল
= (৭৫ + ৫৭.৭৫) বর্গমিটার
= ১৩২.৭৫ বর্গমিটার

∴ রাস্তাদ্বয়ের মোট ক্ষেত্রফল ১৩২.৭৫ বর্গমিটার 

প্রশ্ন: 2x² + 5x + 3 < 0 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
2x² + 5x + 3 < 0
⇒ 2x² + 2x + 3x + 3 < 0
⇒ 2x(x + 1) + 3 (x + 1) < 0
⇒ (x + 1)(2x + 3) < 0

2x² + 5x + 3 < 0 সত্য হবে যদি (x + 1) < 0 এবং (2x + 3) > 0 হয়।
এখন, x + 1 < 0 এবং 2x + 3 > 0
x < - 1 এবং x > - 3/2

- 1 এর চেয়ে ছোট এবং- 3/2 এর চেয়ে বড়
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.
সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ - 3/2 < x < - 1

আবার,
2x² + 5x + 3 < 0 সত্য হবে যদি x + 1 > 0 এবং 2x + 3 < 0 হয়।
এখন, x + 1 > 0 এবং 2x + 3 < 0
x > - 1 এবং x < - 3/2
x এর মান - 1 এর চেয়ে বড় এবং - 3/2 এর চেয়ে ছোট x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

∴ নির্ণেয় সমাধান = - 3/2 < x < - 1

প্রশ্ন: একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপ করলে বিজোড় সংখ্যা অথবা পাঁচ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
ছক্কা নিক্ষেপে মোট সম্ভাব্য ফলাফল (১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬) = ৬টি
বিজোড় সংখ্যা ১, ৩, ৫ = ৩টি)।
এবং পাঁচ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ৫ = ১টি

∴ বিজোড় সংখ্যা অথবা পাঁচ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ১, ৩, ৫ = ৩টি

∴ সম্ভাবনা(বিজোড় সংখ্যা অথবা পাঁচ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা) = অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা/মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা 
= ৩/৬
= ১/২ 

প্রশ্ন: A = {x : x, বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 1 < x < 7} এবং B = {x : x, 8 এর গুণনীয়কসমূহ} তাহলে A ∩ B এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = {x : x, বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 1 < x < 7}
∴ বিজোড় সংখ্যা যেগুলো 1 এর চেয়ে বড় এবং 7 এর চেয়ে ছোট সেই সংখ্যা গুলো হলো - 3, 5
∴ A = {3, 5}

এবং 
B = {x : x, 8 এর গুণনীয়কসমূহ}

8 এর গুণনীয়কসমূহ = 1, 2, 4, 8
∴ B = {1, 2, 4, 8}

∴ A ∩ B = {3, 5} ∩ {1, 2, 4, 8} = ∅ ; (অর্থাৎ কোনো সাধারণ উপাদান নেই)

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের পরিসীমা ৬০ মিটার এবং দৈর্ঘ্য ২০ মিটার হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পরিসীমা = ৬০ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার

আমরা জানি, 
পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
⇒ ২(২০ + প্রস্থ) = ৬০
⇒ ২০ + প্রস্থ = ৬০ ÷ ২ 
⇒ ২০ + প্রস্থ = ৩০
⇒ প্রস্থ = ৩০ - ২০
∴ প্রস্থ = ১০ মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ২০ × ১০ = ২০০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ১৮, ২৫, ৩২, ৪১, ২২, ৩৮, ১৫ উপাত্তগুলোর পরিসর কত?

সমাধান:
প্রদত্ত উপাত্ত সমূহের,
সর্বনিম্ন সংখ্যা = ১৫
সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৪১

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ সংখ্যা - সর্বনিম্ন সংখ্যা) + ১ 
= (৪১ - ১৫) + ১
= ২৬ + ১
= ২৭ 

প্রশ্ন: 2 - 4 + 8 - 16 +................ ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r =(- 4)/2 = 8/(- 4) = - 2;  [r < 1]

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদের সমষ্টি,  Sn = a(1 - rⁿ)/(1 - r)  ; r < 1
9 টি পদের সমষ্টি,  S₉ = 2{1 - (- 2)⁹}/(1 + 2)
= {2 × (1 + 512)}/3
= (2 × 513)/3
= 2 × 171
= 342

প্রশ্ন: ​P(A) = 1/3, P(B) = 1/4 এবং A ও B স্বাধীন হলে, P(A ∪ B) এর মান কত?

​​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​P(A) = 1/3, P(B) = 1/4
​
​আমরা জানি,
​P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) ........(১)
​
​এবং স্বাধীন ঘটনার জন্য, 
​P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
​
​∴ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A) × P(B)
​= (1/3) + (1/4) - {(1/3) × (1/4)}
​= (7/12) - (1/12)
​= (7 - 1)/12
​= 6/12
​= 1/2

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের পার্থক্য 40° হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
দুটি সম্পূরক কোণের মানে = 180°

ধরি,
বৃহত্তম কোণ = x°
∴ ছোট কোণ = 180° - x°

দেওয়া আছে, 
পার্থক্য = 40°

প্রশ্নমতে, 
x - (180° - x) = 40° 
⇒ x - 180° + x = 40°
⇒ 2x = 220°
∴ x = 110°

বৃহত্তম কোণটির মান হলো  110°। 

প্রশ্ন: চার বন্ধুর গড় বয়স ২৮ বছর। একজন চলে গেলে বাকি তিনজনের গড় বয়স ২৬ বছর। চলে যাওয়া বন্ধুটির বয়স কত?

সমাধান:
চারজনের মোট বয়স = ২৮ × ৪ = ১১২ বছর
তিনজনের মোট বয়স = ২৬ × ৩ = ৭৮ বছর

∴ চলে যাওয়া বন্ধুটির বয়স = ১১২ - ৭৮ = ৩৪ বছর

প্রশ্ন: | x + 1 | < 3 অসমতার সমাধান-

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
| x + 1 | < 3
⇒ - 3 < x + 1 < 3
⇒ - 3 - 1 < x + 1 - 1 < 3 - 1   ; [উভয় পাশ থেকে ১ বিয়োগ করি]
⇒ - 4 < x < 2

∴ অসমতার সমাধান সেট = (- 4, 2)

প্রশ্ন: কোন একজন মহিলার ২৪০৭৫ টাকা ছিল। তিনি নিজের জন্য ৬৭৫ টাকা রেখে অবশিষ্ট টাকা স্বামী, মা এবং কন্যাদ্বয়ের মধ্যে ১/৪ : ১/৬ : ২/৩ অনুপাতে ভাগ করে দিলেন। প্রত্যেক কন্যা কত পেল?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
মোট টাকা = ২৪০৭৫
নিজের জন্য রেখেছেন = ৬৭৫
∴ বাকি রইল = ২৪০৭৫ - ৬৭৫ = ২৩৪০০ টাকা
আবার,
দেওয়া অনুপাত,
স্বামী : মা : কন্যাদ্বয়
= ১/৪ : ১/৬ : ২/৩
= (১/৪ × ১২) : (১/৬ × ১২) : (২/৩ × ১২)
= ৩ : ২ : ৮

∴অনুপাতের সমষ্টি = ৩ + ২ + ৮ = ১৩

∴ দুই কন্যা = ২৩৪০০ × (৮/১৩) = ১৪৪০০ 

∴ প্রত্যেক কন্যা পায় = ১৪৪০০/২ = ৭২০০ টাকা। 

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ১০ ও ১৫ ঘণ্টায় পানি পূর্ণ করে। নল দুটি একত্রে খোলা রাখলে চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পানি পূর্ণ হবে?

সমাধান: 
১০ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় ১ টি চৌবাচ্চাটির ১ অংশ 
১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১০ অংশ 

১৫ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় ১ টি চৌবাচ্চাটির ১ অংশ 
১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১৫ অংশ

দুইটি নল দ্বারা একত্রে ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় (১/১০) + (১/১৫) অংশ
=(৩ + ২)/৩০ অংশ
= ৫/৩০ অংশ
= ১/৬ অংশ

দুইটি নল দ্বারা
১/৬ অংশ পূর্ণ হয় ১ ঘণ্টায় 
১ অংশ বা সম্পূর্ণ  পূর্ণ হয় (১ × ৬)/১  = ৬ ঘণ্টায়